江西撫州臨川第一中學高三數(shù)學下學期考前模擬考試文

江西省撫州市臨川第一中學2019屆高三數(shù)學下學期考前模擬考試試題 文（含解析）第卷 選擇題（共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求,將正確答案填涂在答題卡上.1.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足：，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出并化簡，從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，進而判斷其位于第四象限.【詳解】因為，所以復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故選.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，若是整數(shù)集合)，則集合可以為()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】從選項出發(fā)，先化簡集合，然后判斷是否等于，即可判斷出正確的答案.【詳解】A選項：若，則，不符合；B選項：若，則，不符合；C選項：若，則，符合；D選項：若，則集合的元素為所有整數(shù)的平方數(shù)：，則，不符合.故答案選C.【點睛】本題主要考查了集合的化簡和集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.對于數(shù)集的化簡，一般用列舉法表示，或者化為范圍的形式.3.已知向量，且，則值為（ ）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的方程，從而求出. 【詳解】因為，所以，因為，則，解得所以答案選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.4.某民航部門統(tǒng)計2019年春運期間12個城市售出的往返機票的平均價格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表如圖所示，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是( )A. 同去年相比，深圳的變化幅度最小且廈門的平均價格有所上升B. 天津的平均價格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價格最高C. 2019年平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州D. 同去年相比，平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京【答案】A【解析】【分析】弄清楚條形圖的意義，以及折線圖的意義，即可對選項進行判斷.【詳解】根據(jù)條形圖，可以判斷2019年平均價格前三位分別為北京、深圳、廣州，根據(jù)折線圖，可以判斷漲幅前三位分別為天津、西安、南京，漲幅最小的是廈門，由此可判斷B、C、D均正確，A不正確.故選A.【點睛】本題主要考查了統(tǒng)計圖的理解與判斷，屬于基礎(chǔ)題.5.已知平面直角坐標角系下，角頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則 （ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過點，即可利用公式求出與，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式對式子進行化簡，然后代入求值.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，因為，故答案選.【點睛】本題主要考查了已知角終邊上一點坐標求三角函數(shù)值，以及誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 已知角終邊上一點坐標，則.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三視圖還原幾何體，結(jié)合幾何體的特征求解表面積.【詳解】該幾何體為兩個三棱錐組合體，直觀圖如圖所示，所以表面積為.故選A.【點睛】本題主要考查三視圖組合體的表面積，考查空間想象能力.7.已知直線與拋物線相切，則雙曲線的離心率等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線的相關(guān)知識即可建立方程求出，再利用雙曲線的標準方程以及相關(guān)性質(zhì)，即可求出離心率.【詳解】設(shè)切點坐標為，而拋物線方程為，則，因為直線與拋物線相切，所以有，解得，則，所以雙曲線方程為，即標準方程為，所以有，則，所以離心率，故答案選B.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，切線方程問題以及雙曲線離心率的求解，屬于中檔題.對于切線問題，關(guān)鍵是抓住這三個關(guān)系：（1）切點在曲線上；（2）切點在切線方程上；（3）曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.8.中國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰:“我羊食半馬、“馬主曰:“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還( )升粟？A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，羊馬牛的三主人應(yīng)償還的量構(gòu)成了公比為2的等比數(shù)列，而前3項和為50升，即可利用等比數(shù)列求和公式求出，進而求出馬主人應(yīng)該償還的量.【詳解】因為斗=升，設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還的量分別為，由題意可知其構(gòu)成了公比為2的等比數(shù)列，且則，解得，所以馬主人要償還的量為：，故選D.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量求解，以及數(shù)學文化，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用單調(diào)性，通過取中間值，即可得到.再不等式的性質(zhì)，以及對數(shù)的運算，即可得到.再通過作差法，即可得到，從而得到的大小比較.【詳解】因為，所以，因為，而，所以，即可得，因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了比較大小的問題，涉及到單調(diào)性的運用、對數(shù)運算公式以及不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.對于比較大小問題，常用的方法有：（1）作差法，通過兩式作差、化簡，然后與進行比較，從而確定大小關(guān)系；（2）作商法，通過兩式作商、化簡（注意分母不能為零），然后與進行比較，從而確定大小關(guān)系；（3）取中間值法，通過取特殊的中間值（一般取等），分別比較兩式與中間值的大小關(guān)系，再利用不等式的傳遞性即可得到兩式的大小關(guān)系；（4）構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù)，使得兩式均為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性以及對應(yīng)自變量的大小關(guān)系，從而得到兩式的大小關(guān)系.10.已知如圖正方體中，為棱上異于其中點的動點，為棱的中點，設(shè)直線為平面與平面的交線，以下關(guān)系中正確的是（ ） A. B. C. 平面D. 平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)，以及線面平行、垂直的判定以及性質(zhì)定理即可判斷.【詳解】因為在正方體中，且平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以有，而，則與不平行，故選項不正確；若，則，顯然與不垂直，矛盾，故選項不正確； 若平面，則平面，顯然與正方體的性質(zhì)矛盾，故不正確；而因為平面，平面，所以有平面，所以選項C正確，.【點睛】本題考查了線線、線面平行與垂直的關(guān)系判斷，屬于中檔題.11.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，當時，在上為增函數(shù)，且，即可判斷其沒有零點，不符合條件；當時，在上先減后增，有最小值且小于零，再結(jié)合冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長速度大小關(guān)系，即可判斷當趨于時，趨于，由零點存在性定理即可判斷其必有零點，符合題意，從而確定的范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以令，因為，當 時，所以所以在上為增函數(shù)，則，當時，所以，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上沒有零點.當時，即，因為在上為增函數(shù)，則存在唯一的，使得，且當時，當時，；所以當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，當時，因為，當趨于時，趨于，所以在內(nèi)，一定存在一個零點.所以，故答案選D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點存在性問題中的應(yīng)用，屬于難題.對于零點存在性問題，有兩種思考方向：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，討論函數(shù)零點的情況；（2）先將函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，再利用導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合函數(shù)圖像討論兩函數(shù)交點情況，從而確定函數(shù)零點的情況.12.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點， 在內(nèi)有且只有兩個最值點，且最大值點大于最小值點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意畫出函數(shù)的圖像，然后結(jié)合圖像以及題目的條件，利用特殊點代入，結(jié)合參數(shù)范圍，即可求出函數(shù)的解析式.【詳解】根據(jù)題意可以畫出函數(shù)的圖像大致如下因為，由圖可知， 又因為，所以，所以，因為，由圖可知，解得，又因為，可得，所以當時，所以，故答案選D.【點睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖像，以及各個參數(shù)的幾何意義，利用特殊點代入求解.第卷二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上13.已知實數(shù)滿足，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義找出最優(yōu)解，從而求出最小值.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出的平面區(qū)域如陰影部分所示：由目標函數(shù)，得，畫出直線并平移，當直線經(jīng)過點時，軸上的截距最大，則取得最小值，因為，可得，所以.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.利用線性規(guī)劃求最值的一般步驟：（1）根據(jù)線性規(guī)劃約束條件畫出可行域；（2）設(shè)，畫出直線；（3）觀察、分析、平移直線，從而找出最優(yōu)解；（4）求出目標函數(shù)最大值或最小值.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義域以及的解集，即可得到的等價條件，從而求出其解集.【詳解】因為，則，解得，所以定義域為，因為等價于，解得，因為，所以 ，解得，所以解集為.【點睛】本題主要考查了不等式的求解，涉及到對數(shù)運算以及函數(shù)定義域的求解，屬于中檔題.15.在中,角所對的邊分別為,若,且 ，則的面積為_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理將恒等式中的角轉(zhuǎn)化為邊，化簡即可求出，再利用余弦定理求出，即可用面積公式求解.【詳解】因為，由余弦定理可得，化簡得，即，因為，所以，又因為，代入，得解得（舍去），所以.【點睛】本題考查了余弦定理在解三角形中的運用，以及面積公式得應(yīng)用，屬于中檔題.對于解三角形中恒等式的處理，主要有兩個方向：（1）角化成邊，然后進行代數(shù)化簡；（1）邊化角，然后利用三角恒等變換相關(guān)公式進行化簡.16.拋物線有如下光學性質(zhì):由其焦點射出光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線，如圖，一平行軸的光線射向拋物線上的點，經(jīng)過拋物線的焦點反射后射向拋物線上的點，再反射后又沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為6，則此拋物線的方程為_.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的方程，利用韋達定理得到的值，然后表示兩平行光線距離，并求出其最小值為，而由題意可知最小值為，從而得到，拋物線方程得解.【詳解】設(shè)，設(shè)兩平行光距離為，由題意可知，因為，而直線過點，則設(shè)直線方程為：，因為，消去得，由韋達定理可得，則，所以，故拋物線方程為.【點睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，涉及到韋達定理的應(yīng)用，屬于難題.對于涉及到直線與曲線相關(guān)的距離問題，常常運用到韋達定理以及弦長公式進行求解.三、 解答題:共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列中，且.（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（2）當時，求數(shù)列的前2020項和.【答案】（1）時，不是等比數(shù)列；時，是等比數(shù)列；（2）.【解析】【分析】（1）將遞推公式變形為，則當時，首項為零，不是等比數(shù)列；當時，數(shù)列是等比數(shù)列.（2）先求出的通項，然后利用分組求和法、并項求和法以及公式法即可求出.【詳解】（1），當時，故數(shù)列不是等比數(shù)列； 當時，數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為3.（2）由(1)且當時有：，即， ， .【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列證明、數(shù)列前項和的求解，屬于中檔題. 對于等比數(shù)列的證明主要有兩種方法：（1）定義法，證得即可，其中為常數(shù)；（2）等比中項法：證得即可.18.三棱柱中，為的中點，點在側(cè)棱上，平面(1) 證明：是的中點；(2) 設(shè),四邊形為邊長為4正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為，求該三棱柱的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)32.【解析】【分析】（1）利用棱柱的性質(zhì)以及相似三角形判斷定理，證得，從而得到；連接分別交于，連，利用線面平行性質(zhì)定理證得，從而得到；再證得，從而得到，結(jié)論得證.（2）取的中點，連接，則或其補角為異面直線與所成的角，結(jié)合題目條件，設(shè)，分別求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，從而求出三棱柱的體積.【詳解】(1)證明：連接分別交于，連，平面，平面，平面平面=，, 又在三棱柱側(cè)面中，為的中點，由可得，所以， 故，在平面中同理可證得，故有是的中點. (2)取的中點，連接，可知，故或其補角為異面直線與所成的角， 設(shè)，則在中，可求，則余弦定理可求：，解得：， 故【點睛】本題考查了線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，相似三角形的判斷與性質(zhì)應(yīng)用，異面直線所成角以及三棱柱體積計算，屬于中檔題.19.黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一,為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村扶貧. 此幫扶單位為了了解某地區(qū)貧困戶對其所提供的幫扶的滿意度，隨機調(diào)查了40個貧困戶，得到貧困戶的滿意度評分如下：貧困戶編號評分貧困戶編號評分貧困戶編號評分貧困戶編號評分1234567891078738192958579846386111213141516171819208886957697788882768921222324252627282930798372749166808374823132333435363738394093787581847781768589用系統(tǒng)抽樣法從40名貧困戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機抽到的評分數(shù)據(jù)為92.（1）請你列出抽到的10個樣本的評分數(shù)據(jù)； （2）計算所抽到的10個樣本的均值和方差；（3）在（2）條件下，若貧困戶的滿意度評分在之間，則滿意度等級為“級”.運用樣本估計總體的思想，現(xiàn)從（1）中抽到的10個樣本的滿意度為“級”貧困戶中隨機地抽取2戶，求所抽到2戶的滿意度均評分均“超過80”的概率.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）92，84，86，78，89，74，83，78，77，89；（2）83，33；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則，第一組編號為4，則隨后第組編號為，即可確定系統(tǒng)抽抽取的樣本編號，從而得到對應(yīng)的樣本的評分數(shù)據(jù)。（2）利用平均數(shù)公式以及方差公式即可求得.（3）先確定樣本中符合級的人數(shù)以及級的人當中80分以上的人數(shù)，利用古典概型公式即可求出對應(yīng)概率.【詳解】（1）通過系統(tǒng)抽抽取的樣本編號為：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40則樣本的評分數(shù)據(jù)為：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.（2）由（1）中的樣本評分數(shù)據(jù)可得，則有 所以均值，方差. （3）由題意知評分在即之間滿意度等級為“A級”， 由（1）中容量為10的樣本評分在之間有5人，從5人中選2人共有10種情況，而80-分以上有3人，從這3人選2人共有3種情況，故.【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣，平均數(shù)和方差的計算以及古典概型，屬于中檔題.20.在平面直角坐標系中，橢圓過點，焦點，圓的直徑為（1）求橢圓及圓的方程；（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點，直線與橢圓交于兩點若的面積為，求直線的方程【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓焦點可以確定，再利用點代入橢圓方程即可求出，從而得到橢圓方程；由圓O的直徑為，即可知圓心坐標為，半徑為，從而得到圓的方程.（2）設(shè)切點坐標為，即可表示出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用求根公式求出，然后利用弦長公式表示，而由條件可求出，結(jié)合，即可求出,從而求出直線的方程.【詳解】(1)因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為因為圓O的直徑為，所以其方程為 （2）設(shè)直線與圓O相切于，則，所以直線的方程為，即由消去y，得 因為三角形OAB的面積為，所以，從而，設(shè)，由得， 所以因為， 所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標為 故直線l的方程為:【點睛】本題考查了橢圓方程以及圓的方程求解，橢圓與直線的相關(guān)弦長問題，屬于難題.對于直線與橢圓的弦長問題，關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，聯(lián)立兩方程，消去其中一個變量得到另一變量的一元二次方程，結(jié)合韋達定理以及弦長公式即可處理.21.已知函數(shù)存在極大值與極小值，且在處取得極小值. （1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），解得或，當時，只有極小值，不符合題意當時，符合題意，由此能求出實數(shù)的值 （2），當時，在上單調(diào)遞增，當時，令，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：（1）函數(shù)存在極大值與極小值，且在處取得極小值，,依題意知，解得或，當時，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，此時，只有極小值，不符合題意當時，,或時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，符合在處取得極小值的題意，綜上，實數(shù)的值為（2），當時，故在上單調(diào)遞增，當時，令，則，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，,時，故在上單調(diào)遞減，在上有兩個零點，此時當時，在有一個零點，當時，令，在有一個零點，綜上，實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的極值點與極值的概念等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力與創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，考查數(shù)學抽象、