高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(證明兩直線垂直或平行).doc

高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（證明兩直線垂直）一、利用三角形中的基本定理（1）勾股定理的逆定理：在ABC中，若，則ABAC;(2) 在ABC中，D在邊BC所在的直線上，若，則ADBC；（3）在RtABC中，BAC=90，D是邊BC上一點，若，則ADBC。1已知O和O相交于點A、B過點A的直線分別交O和O于點P、Q，且AP=AQ，又M為（不含點A的）中點，N為（不含點A的）中點，求證：MNAB。2圓內(nèi)接四邊形ABCD中，延長AB、DC交于點E，延長AD、BC交于F，EM、FN為圓的切線，分別以E、F為圓心，EM、FN為半徑作弧，兩弧交于K，求證：EKKF。3AB是O的直徑，PA切O于A，PA=AB，D為BP的三等分點（即2BD=DP），求證：ADPO。二、利用全等、相似或圓的性質(zhì)，直接計算4ABC的內(nèi)心為I，內(nèi)切圓分別切BC、CA于點D、E，如果BI交DE于點G，求證：AGBG。5已知兩個半徑不相等的O和O相交于M、N兩點，且O和O分別與O內(nèi)切于S、T兩點，又S、N、T三點共線，求證：OMMN。6半圓圓心為O，直徑為AB，一直線交圓周于C、D，交AB于M（MBMA,MCMD）,設(shè)K是AOC與DOB的外接圓除點O之外的另一點，求證：MKO=90三、利用另外的線作“橋”7已知O和O相交于A、B兩點，P為O上的點，PA、PB分別交O于C、D，求證：POCD8已知O和O相交于A、D兩點，過點D作直線BC垂直于AD，分別交O、O于C、B兩點，K是BC中點，過點A的任一直線QP交O、O于Q、P兩點，M是PQ的中點，求證：MKPQ。9AB是O非直徑的弦，過AB中點P作兩弦，過點作O的切線得交點，過點作O的切線得交點，求證：OP。四、利用垂心、等腰三角形或矩形、菱形等10M是等腰ABC底邊AC的中點，MHBC于H，P是MH的中點，求證：AHBP11ABC的外接圓為O，C=60，N是的中點，H是垂心，求證：CNOH。12圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD和BC的延長線相交于點P，另一組對邊AB、DC的延長線相交于點Q，P和Q的平分線相交于點R，對角線AC與BD相交于點K，DKC的平分線交CP于M，求證：（1）PRQR；（2）QRKM。13O和O相交于P、Q兩點，O的弦PA與O相切，O的弦PB與O相切，設(shè)PAB的外心為O，證明：OQPQ。14證明：如果一個凸四邊形既有內(nèi)切圓，又有旁切圓，則這個四邊形的對角線相互垂直（這里四邊形的旁切圓是指與四邊形各邊的延長線相切的圓）五、利用同一法（利用這一點作已知直線的垂線是唯一的或某些幾何量是唯一的平面幾何的特性，用同一法來證明兩直線垂直）15AB是半圓O的直徑，過A、B引弦AC與BD，設(shè)AC、BD相交于E，又過C、D引圓的切線交于點P，連接PE，證明：PEAB。16在矩形ABCD中，AB=3AD，E、F為AB邊上的兩點，且AE=EF=FB，AC與DF交于點G，求證：EGDF。17以ABC的邊為直徑作半圓，與AB、AC分別交于D和E，過D、E作BC的垂線，垂足分別為F、G，線段DG、EF交于點M，求證：AMBC。六、利用旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)變換中，利用對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的性質(zhì)證明兩直線垂直，即如果兩個全等或相似的三角形中，有一組對應(yīng)邊互相垂直，那么另外的對應(yīng)邊互相垂直，對應(yīng)線（如對應(yīng)角的角平分線，對應(yīng)邊上的中線或高線）亦互相垂直）18在凸四邊形ABCD中，AC=BD=AB，且ACBD，垂足為E，設(shè)I為AEB的內(nèi)心，M為AB的中點，求證：MICD，且CD=2MI。 高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（證明兩直線平行）一、利用兩直線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補判定兩直線平行1等要ABC（AC=BC），O是它的外心，I是它的內(nèi)心，點D在BC上，且ODBI，證明：IDAC。2設(shè)H為ABC的垂心，P為該三角形外接圓上的點，E是高BH的垂足，并設(shè)PAQB與PARC都是平行四邊形，AQ與HR交于X，證明：EXAP。3菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在上分別作圓O的切線，交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQNP。二、利用平行線截線段成比例逆定理4在ABC中，AM是BC邊上的中線，AD是BAC的平分線，作BGAD，分別交AM和AD的延長線于F、G，求證：FDAB。三、利用別的線作中介（1）平行于同一直線的兩直線平行；（2）垂直于同一直線的兩直線平行，（平面內(nèi)）5四邊形ABCD對角線AC的中點為O，連接OB、OD，過O作ACB，BOC，COD和DOA的平分線分別交AB、BC、CD、DA于點E、F、G、H，求證：EFGH6設(shè)A、B、C、D是同一圓上順次四點，L、M、N分別是的中點，弦AM與CL相交于P，弦BN與DM相交于Q，求證：PQLN。四、利用平行四邊形等特殊圖形的性質(zhì)7在ABC中，D、E、F分別為BC、CA、AB的中點，過點A的直線分別交DE及FD的延長線于點G、H，求證：CGBH。五、利用面積法8若四邊形ABCD一雙對邊BC、AD中點M、N的直線將這四邊形面積二等分，則ADBC。9在ABC中，M為BC的中點，P、R分別在AB、AC上，Q為AM與PR的交點，且PQ=QR，求證：PRBC。六、利用同一法10在ABC中，A=，以AB為直徑作圓，D在這圓上，CD是切線，E在線段AB上，DE與BC相交于M，且DM=ME，求證：DEAC。11已知ABC的外接圓上三點P、Q、R分別是圓弧BC、AC、AB的中點，弦PR交AB于D，弦PQ交AC于E，求證：DEBC。七、其他證法