概率論全概率公式VIP

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 作業(yè)交兩面內(nèi)容全學(xué)的頁碼 2 1990年 美國 Parade展示 雜志 AskMarilyn 專欄的主持人瑪莉蓮 莎凡收到了一名讀者的提問 假設(shè)你正在參加一個(gè)游戲節(jié)目 你被要求在三扇門中選擇一扇 其中一扇后面有一輛汽車 其余兩扇后面則是山羊 你選擇了一扇門 假設(shè)是一號(hào)門 然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門 假設(shè)是三號(hào)門 他然后問你 你想選擇二號(hào)嗎 一個(gè)教授都容易回答錯(cuò)誤的概率問題 3 1 4條件概率與事件的獨(dú)立性 一 條件概率 1 問題E 產(chǎn)品 N個(gè)產(chǎn)品中含M個(gè)次品 隨機(jī)抽樣 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽樣時(shí) 不放回抽樣時(shí) P A2 P A2 P Ai P A2 4 2 定義 為在B發(fā)生的條件下 A發(fā)生的條件概率 注2 條件概率滿足三條公理及概率的其它性質(zhì) 注1 P A B 是將樣本空間壓縮成B 事件A壓縮成AB后計(jì)算概率 P A B 本質(zhì)上是一個(gè)無條件概率 AB 設(shè)A B為兩隨機(jī)事件 且P B 0 則稱 5 例1設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80 在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85 現(xiàn)已知該地區(qū)已經(jīng)30年未發(fā)生特大洪水 問未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少 解記A 30年內(nèi)無特大洪水 B 未來10年內(nèi)有特大洪水 則 二 乘法公式 A 40年內(nèi)無特大洪水 6 例2設(shè)A盒內(nèi)有M個(gè)黑球 B盒內(nèi)有同種質(zhì)地 大小的M個(gè)白球 現(xiàn)讓某人從B盒內(nèi)隨機(jī)摸取一球放入A盒中 然后再從A盒中隨機(jī)摸取一球放入B盒中 稱此為一次交換 若經(jīng)M次交換后 A中恰有M個(gè)白球則此人可獲獎(jiǎng) 問此人獲獎(jiǎng)的概率是多少 解設(shè) 7 例3袋中有5個(gè)球 3個(gè)紅球 2個(gè)白球 現(xiàn)每次任取1個(gè) 取后放回 并同時(shí)放入3個(gè)同色的球 記Ai為第i次取到紅球 求概率P A2 解 問題 A3由哪幾個(gè)原因引起 8 三 全概率公式 B 則對(duì)任何事件B有 證 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 設(shè)A1 A2 An是對(duì)的一個(gè)劃分 注意 解題時(shí)先畫因果關(guān)系圖 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 礦工逃生問題 BA1 9 例從一副不含有大小王的撲克牌中不放回的抽取兩張 求兩張牌點(diǎn)數(shù)相同的概率 10 例從一副不含有大小王的撲克牌中不放回的抽取兩張 求第二張牌點(diǎn)數(shù)大于第一張的概率 11 例 2005 從數(shù)1 2 3 4中任取一個(gè) 記為X 再從1 X中任取一個(gè) 記為Y 則 解 試驗(yàn)分為兩個(gè)階段 Y 2是第2階段的結(jié)果 第1階段的所有結(jié)果是Y 2發(fā)生的一組前提條件 12 例某種產(chǎn)品的商標(biāo)為 MAXAM 其中有兩個(gè)脫落 有人撿起隨意放回 求放回仍為 MAXAM 的概率 解 試驗(yàn)分兩階段第一階段是字母脫落 第2階段是撿起放回 放回仍為 MAXAM 是第2階段的結(jié)果 設(shè)為A 它與第1階段脫落的情況有關(guān) 則 代入即得 用B表示脫落的兩個(gè)字母相同 13 賭徒輸光問題 設(shè)甲乙二人賭博 每局輸贏1元錢 每局甲贏的概率為p 開始時(shí)甲乙二人各有m n元錢 約定賭到一個(gè)人輸光為止 求甲輸光的概率 14 可以解得 15 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 設(shè)A1 A2 An是對(duì)的一個(gè)劃分 則 P Ai 先驗(yàn)概率 P Ai B 后驗(yàn)概率 B B 證明 16 例4一臺(tái)機(jī)床正常時(shí) 產(chǎn)品的合格率為90 非正常時(shí) 產(chǎn)品的合格率為30 每天上班開動(dòng)機(jī)床時(shí) 機(jī)床正常的概率為75 檢驗(yàn)人員為檢驗(yàn)機(jī)床是否正常 開動(dòng)機(jī)床生產(chǎn)出了一件產(chǎn)品 經(jīng)檢驗(yàn) 該產(chǎn)品為不合格品 問此時(shí)機(jī)床處于正常狀態(tài)的概率是多少 解記A 機(jī)器處于正常狀態(tài) B 生產(chǎn)出的一件產(chǎn)品為不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此時(shí)機(jī)器處于不正常狀態(tài)的概率為0 7 應(yīng)檢修 17 注 已知某事件已發(fā)生 求另一事件的概率則為求條件概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié)果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié)果出現(xiàn)的概率P B 非條件概率 由Bayes公式 可求得結(jié)果B是由某原因引起的 后驗(yàn) 條件 概率 應(yīng)用全概率公式和Bayes公式時(shí)要注意其條件 原因兩兩不相容 18 19 關(guān)于條件概率的問題 20 例從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張 將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔 求2張都是假鈔的概率 解令A(yù)表示 從兩張中任抽一張 結(jié)果是假鈔 例2 C表示 2張至少有一張是假鈔 21 22 女孩問題 設(shè)有兩個(gè)孩子的一對(duì)新夫婦剛搬到某小鎮(zhèn) 假定有人在路上遇到母親與她的一個(gè)孩子散步 若這個(gè)孩子是女孩 問她的兩個(gè)孩子都是女孩的概率是多少 23 24 25 一個(gè)教授都容易回答錯(cuò)誤的問題的解答 26 一 什么是貝葉斯推斷 27 28 29 30 31 32 33 什么是貝葉斯過濾器 34 35 36 37 38 39 五 事件的獨(dú)立性 引例E 傳染病抽檢 已知該病犯病率為1 A 前99位查沒病 B 第100位有病 定義1若事件A B滿足 P AB P A P B 則稱A與B相互獨(dú)立 通常根據(jù)直觀意義判斷獨(dú)立性 再反用定義 40 定理下面四個(gè)等式是等價(jià)的 證明 1 2 類似地可證 2 3 3 4 4 1 41 解 定義2稱A B C相互獨(dú)立 是指下面等式成立 例5設(shè)有四張卡片 一張涂有紅色 一張涂有白色 一張涂有黑色 一張涂有紅 白 黑三種顏色 從中任意取一張 令A(yù) 抽出的卡片上出現(xiàn)紅色 B 抽出的卡片上出現(xiàn)白色 C 抽出的卡片上出現(xiàn)黑色 試分析A B C的獨(dú)立性 A B C 但 即A B C兩兩獨(dú)立 但A B C不相互獨(dú)立的 對(duì)比乘法公式看其意義 42 一般稱A1 A2 An相互獨(dú)立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6設(shè)某人玩電子射擊游戲 每次射擊命中目標(biāo)的概率是p 0 004 求他獨(dú)立地射擊n次能命中目標(biāo) 至少一次 的概率 解 記Ai 第i次命中目標(biāo) i 1 2 n A 射擊n次能命中目標(biāo)至少一次 則 獨(dú)立地 說明小概率事件也不能忽略 43 注 互不相容與相互獨(dú)立是兩個(gè)不同的概念 相互獨(dú)立 互不相容 一般二者不同時(shí)成立 相互獨(dú)立的性質(zhì) 若n個(gè)事件相互獨(dú)立 則其中任意m個(gè)事件也相互獨(dú)立 把其中任意m個(gè)事件換成對(duì)立事件以后 所得的n個(gè)事件也相互獨(dú)立 練習(xí)2討論兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 是非題1若P A 0 則A 若P A 1 則A 如幾何概型中任一基本事件概率為0 44 練習(xí)2討論互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 解 1 若P A P B 0 則二者不可能同時(shí)成立 因?yàn)?a 若A B互不相容 即AB 則 0 P AB P A P B 即A B不相互獨(dú)立 b 若A B相互獨(dú)立 即P AB P A P B 0 則 AB 即A B相容 2 若P A P B 0 則二者有可能同時(shí)成立 因?yàn)?A B互不相容 即AB 則二者可同時(shí)成立 此時(shí)P AB P A P B 0 AB 除非已知 即A B必相互獨(dú)立 但 45 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 列出式子即可 解記Bi為長機(jī)與i架僚機(jī)到達(dá)目標(biāo)上空 i 0 1 2 A為目標(biāo)被炸毀 則 P B0 0 8 0 22 0 032P B1 2 0 82 0 2 0 256 P B2 0 83 0 512 故 0 4765 B0B1B2 P A Bi A P Bi P A B0 0 3 或 P A B2 1 0 73 0 657 P A B1 1 0 72 0 51 46 隨機(jī)事件 第一章小結(jié) 隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 所有 關(guān)系 運(yùn)算 AB A B A AB 獨(dú)立P AB P A P B 公式P AB P A P B A P A B P A 公理化定義1 P A 02 3 條件概率 全概率公式P B i 1nP Ai P B Ai Bayes公式 統(tǒng)計(jì)古典幾何概率 47 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 作業(yè)交兩面內(nèi)容全學(xué)的頁碼 48 1990年 美國 Parade展示 雜志 AskMarilyn 專欄的主持人瑪莉蓮 莎凡收到了一名讀者的提問 假設(shè)你正在參加一個(gè)游戲節(jié)目 你被要求在三扇門中選擇一扇 其中一扇后面有一輛汽車 其余兩扇后面則是山羊 你選擇了一扇門 假設(shè)是一號(hào)門 然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門 假設(shè)是三號(hào)門 他然后問你 你想選擇二號(hào)嗎 一個(gè)教授都容易回答錯(cuò)誤的概率問題 49 1 4條件概率與事件的獨(dú)立性 一 條件概率 1 問題E 產(chǎn)品 N個(gè)產(chǎn)品中含M個(gè)次品 隨機(jī)抽樣 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽樣時(shí) 不放回抽樣時(shí) P A2 P A2 P Ai P A2 50 2 定義 為在B發(fā)生的條件下 A發(fā)生的條件概率 注2 條件概率滿足三條公理及概率的其它性質(zhì) 注1 P A B 是將樣本空間壓縮成B 事件A壓縮成AB后計(jì)算概率 P A B 本質(zhì)上是一個(gè)無條件概率 AB 設(shè)A B為兩隨機(jī)事件 且P B 0 則稱 51 例1設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80 在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85 現(xiàn)已知該地區(qū)已經(jīng)30年未發(fā)生特大洪水 問未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少 解記A 30年內(nèi)無特大洪水 B 未來10年內(nèi)有特大洪水 則 二 乘法公式 A 40年內(nèi)無特大洪水 52 例2設(shè)A盒內(nèi)有M個(gè)黑球 B盒內(nèi)有同種質(zhì)地 大小的M個(gè)白球 現(xiàn)讓某人從B盒內(nèi)隨機(jī)摸取一球放入A盒中 然后再從A盒中隨機(jī)摸取一球放入B盒中 稱此為一次交換 若經(jīng)M次交換后 A中恰有M個(gè)白球則此人可獲獎(jiǎng) 問此人獲獎(jiǎng)的概率是多少 解設(shè) 53 例3袋中有5個(gè)球 3個(gè)紅球 2個(gè)白球 現(xiàn)每次任取1個(gè) 取后放回 并同時(shí)放入3個(gè)同色的球 記Ai為第i次取到紅球 求概率P A2 解 問題 A3由哪幾個(gè)原因引起 54 三 全概率公式 B 則對(duì)任何事件B有 證 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 設(shè)A1 A2 An是對(duì)的一個(gè)劃分 注意 解題時(shí)先畫因果關(guān)系圖 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 礦工逃生問題 BA1 55 例從一副不含有大小王的撲克牌中不妨?xí)某槿蓮?求兩張牌點(diǎn)數(shù)相同的概率 56 例從一副不含有大小王的撲克牌中不妨?xí)某槿蓮?求第二張牌點(diǎn)數(shù)大于第一張的概率 57 例 2005 從數(shù)1 2 3 4中任取一個(gè) 記為X 再從1 X中任取一個(gè) 記為Y 則 解 試驗(yàn)分為兩個(gè)階段 Y 2是第2階段的結(jié)果 第1階段的所有結(jié)果是Y 2發(fā)生的一組前提條件 58 例某種產(chǎn)品的商標(biāo)為 MAXAM 其中有兩個(gè)脫落 有人撿起隨意放回 求放回仍為 MAXAM 的概率 解 試驗(yàn)分兩階段第一階段是字母脫落 第2階段是撿起放回 放回仍為 MAXAM 是第2階段的結(jié)果 設(shè)為A 它與第1階段脫落的情況有關(guān) 則 代入即得 用B表示脫落的兩個(gè)字母相同 59 賭徒輸光問題 設(shè)甲乙二人賭博 每局輸贏1元錢 每局甲贏的概率為p 開始時(shí)甲乙二人各有m n元錢 約定賭到一個(gè)人輸光為止 求甲輸光的概率 60 可以解得 61 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 設(shè)A1 A2 An是對(duì)的一個(gè)劃分 則 P Ai 先驗(yàn)概率 P Ai B 后驗(yàn)概率 B B 證明 62 例4一臺(tái)機(jī)床正常時(shí) 產(chǎn)品的合格率為90 非正常時(shí) 產(chǎn)品的合格率為30 每天上班開動(dòng)機(jī)床時(shí) 機(jī)床正常的概率為75 檢驗(yàn)人員為檢驗(yàn)機(jī)床是否正常 開動(dòng)機(jī)床生產(chǎn)出了一件產(chǎn)品 經(jīng)檢驗(yàn) 該產(chǎn)品為不合格品 問此時(shí)機(jī)床處于正常狀態(tài)的概率是多少 解記A 機(jī)器處于正常狀態(tài) B 生產(chǎn)出的一件產(chǎn)品為不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此時(shí)機(jī)器處于不正常狀態(tài)的概率為0 7 應(yīng)檢修 63 一個(gè)教授都容易回答錯(cuò)誤的問題的解答 64 一 什么是貝葉斯推斷 65 66 67 68 69 70 71 什么是貝葉斯過濾器 72 73 74 75 76 77 注 已知某事件已發(fā)生 求另一事件的概率則為求條件概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié)果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié)果出現(xiàn)的概率P B 非條件概率 由Bayes公式 可求得結(jié)果B是由某原因引起的 后驗(yàn) 條件 概率 應(yīng)用全概率公式和Bayes公式時(shí)要注意其條件 原因兩兩不相容 78 五 事件的獨(dú)立性 引例E 傳染病抽檢 已知該病犯病率為1 A 前99位查沒病 B 第100位有病 定義1若事件A B滿足 P AB P A P B 則稱A與B相互獨(dú)立 通常根據(jù)直觀意義判斷獨(dú)立性 再反用定義 79 定理下面四個(gè)等式是等價(jià)的 證明 1 2 類似地可證 2 3 3 4 4 1 80 解 定義2稱A B C相互獨(dú)立 是指下面等式成立 例5設(shè)有四張卡片 一張涂有紅色 一張涂有白色 一張涂有黑色 一張涂有紅 白 黑三種顏色 從中任意取一張 令A(yù) 抽出的卡片上出現(xiàn)紅色 B 抽出的卡片上出現(xiàn)白色 C 抽出的卡片上出現(xiàn)黑色 試分析A B C的獨(dú)立性 A B C 但 即A B C兩兩獨(dú)立 但A B C不相互獨(dú)立的 對(duì)比乘法公式看其意義 81 一般稱A1 A2 An相互獨(dú)立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6設(shè)某人玩電子射擊游戲 每次射擊命中目標(biāo)的概率是p 0 004 求他獨(dú)立地射擊n次能命中目標(biāo) 至少一次 的概率 解 記Ai 第i次命中目標(biāo) i 1 2 n A 射擊n次能命中目標(biāo)至少一次 則 獨(dú)立地 說明小概率事件也不能忽略 82 注 互不相容與相互獨(dú)立是兩個(gè)不同的概念 相互獨(dú)立 互不相容 一般二者不同時(shí)成立 相互獨(dú)立的性質(zhì) 若n個(gè)事件相互獨(dú)立 則其中任意m個(gè)事件也相互獨(dú)立 把其中任意m個(gè)事件換成對(duì)立事件以后 所得的n個(gè)事件也相互獨(dú)立 練習(xí)2討論兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 是非題1若P A 0 則A 若P A 1 則A 如幾何概型中任一基本事件概