計(jì)算方法習(xí)題選編及參考解答.doc

一、選擇題（每小題4分，共20分） 1. 誤差根據(jù)來(lái)源可以分為四類，分別是（ A ）A. 模型誤差、觀測(cè)誤差、方法誤差、舍入誤差；B. 模型誤差、測(cè)量誤差、方法誤差、截?cái)嗾`差；C. 模型誤差、實(shí)驗(yàn)誤差、方法誤差、截?cái)嗾`差；D. 模型誤差、建模誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。 2. 若，則其六階差商（ C ）A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 數(shù)值求積公式中的Simpson公式的代數(shù)精度為 （ D ）A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若線性方程組Ax = b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則解方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （ B ）A. 都發(fā)散；B. 都收斂C. Jacobi迭代法收斂，Gauss-Seidel迭代法發(fā)散；D. Jacobi迭代法發(fā)散，Gauss-Seidel迭代法收斂。 5. 對(duì)于試驗(yàn)方程，Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為（ C ）A. ； B. ；C. ； D. ；二、填空題（每空3分，共18分） 1. 已知，則 ， 16 ， 2. 已知，則 f (x)的線性插值多項(xiàng)式為,且用線性插值可得f (7)= 2.6 。3. 要使的近似值的相對(duì)誤差界小于0.1%，應(yīng)至少取 4 位有效數(shù)字。三、利用下面數(shù)據(jù)表， 10.466758.030146.042414.425693.12014f (x) (x)2.62.42.22.01.8x 1. 用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分的近似值； 解：1.用復(fù)化梯形公式計(jì)算 取 1分 2. 用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值。(要求計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后六位). （14分） 解：用復(fù)化辛甫生公式計(jì)算 取 8分 4、 已知矩陣，求矩陣A的Doolittle分解。 （10分） 解：用緊湊格式法 2分 5分 8分 10分5、 用Newton迭代法求解方程在2.0附近的實(shí)根（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位）。 （12分） 解： ， 6分 8分 ， 11分 故，方程的近似根為1.8974 12分六、對(duì)下面線性方程組 （12分） 1.判別用雅可比迭代法是否收斂，若收斂則寫(xiě)出其迭代格式；2.判別用高斯-塞德?tīng)柕ㄊ欠袷諗?，若收斂則寫(xiě)出其迭代格式；解 1. 雅可比法: 是對(duì)角元素為正的實(shí)對(duì)稱陣,下面判別是否同時(shí)正定:正定 5分 不正定.即不同時(shí)正定 8分 故,Jacobi法發(fā)散. 9分2. 高斯-塞德?tīng)柗?由1知, 是實(shí)對(duì)稱正定矩陣,所以Gauss-Seidel法收斂. 10分其迭代格式為 12分七、已知初值問(wèn)題：，取步長(zhǎng)h =0.1，1. 用（顯式的）Euler方法求解上述初值問(wèn)題的數(shù)值解；2. 用改進(jìn)的Euler方法求上述初值問(wèn)題的數(shù)值解。 （14分）解：1 .建立具體的Euler公式: 3分已知，則有： 5分 7分 解：2.建立具體的改進(jìn)的Euler公式: 10分已知?jiǎng)t有： 12分 14分 習(xí)題一1. 設(shè) ， 假定 g是準(zhǔn)確的，而對(duì)的測(cè)量有秒的誤差，證明當(dāng)增加時(shí)的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。2. 設(shè) 且 ，求證：3. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過(guò)， 問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少？4. 求 在a,b上的分段線性插值函數(shù) ，并估計(jì)誤差。5. 已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù) 0.110.001.501.801.230.101.171.58 用插值法計(jì)算約為多少時(shí) （小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）6. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試用埃爾米特插值法求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式 ， 使其滿足 ，, 并寫(xiě)出誤差估計(jì)式。7、利用Remez算法，計(jì)算函數(shù) ，在區(qū)間0，1 上的二次最佳一致逼近多項(xiàng)式 （要求 精度為0.0005）.8、給定，試?yán)米钚×闫疃ɡ恚辞斜妊┓蚨囗?xiàng)式的最小零偏差性質(zhì)，在上 求的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式。9、設(shè)，分別在上求一元素，使其為的最佳平方 逼近，并比較其結(jié)果。10、用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并計(jì)算均方誤差。 192531384419.032.349.073.387.811、用格拉姆施密特方法構(gòu)造正交多項(xiàng)式求在0，1上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（參 考講義與參考書(shū)）12、求在1，1上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（參考講義與參考書(shū)，利用Legendre正交多項(xiàng)式）13、編出用正交多項(xiàng)式(格拉姆施密特)作最小二乘擬合的程序或框圖。14、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)進(jìn)度。1）2）3）4）15用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。1）龍貝格方法；2）三點(diǎn)高斯公式；3）將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。16. 建立高斯型求積公式。（參考講義與參考書(shū)） 習(xí)題二1. 用矩陣的直接三角分解法（LU分解）解方程組 。2. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為 , 證明：當(dāng) 時(shí)，有最小值。3. 設(shè)有方程組，其中已知它有解。 如果右端有小擾動(dòng)，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。4. (編程題) 設(shè)計(jì)一通用的列主元消去法程序并可計(jì)算條件數(shù)（用于判斷方程病態(tài)程度）。5. 對(duì)線性代數(shù)方程組設(shè)法導(dǎo)出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯 賽德?tīng)枺℅-S）迭代法均收斂的迭代格式，要求分別寫(xiě)出迭代格式，并說(shuō)明收斂的理由。6. 設(shè)方程組 試考察解此方程組的雅可比 迭代法及高斯賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 設(shè)線性方程組為 （1） 證明用雅可比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M要么同時(shí)收斂，要么同時(shí)發(fā)散。（2） 當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)，試比較其收斂速度。8. 證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì) 是收斂的。9已知有一個(gè)近似特征值，用反冪法求對(duì)應(yīng)的特征向量，并改進(jìn) 特征值的精度。1011已知構(gòu)造一個(gè)Householder變換矩陣H，使得。 習(xí)題三1. 為求方程附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1） 迭代公式2） 迭代公式3） 迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性。2 已知在區(qū)間內(nèi)只有一根，而當(dāng)時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？ 將化為適于迭代的形式，并求（弧度）附近的根。3能不能用迭代法求解下列方程，如果不能時(shí)，試將方程改寫(xiě)成能用迭代法求解的形式。 （1） （2）4 用梯形方法解初值問(wèn)題 證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值 問(wèn)題的準(zhǔn)確解5. 寫(xiě)出用四階經(jīng)典的龍格庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題的計(jì)算公式：（無(wú)需計(jì)算）6. 證明對(duì)任意參數(shù)，下列龍格庫(kù)塔公式是二階的： 7. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法： PART II 參考解答 習(xí)題一1. 設(shè)，假定是準(zhǔn)確的，而對(duì)的測(cè)量有秒的誤差，證明當(dāng)增加時(shí)的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。 解： 2. 設(shè)且，求證解：由插值余項(xiàng)為 3. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾` 差不超過(guò)，問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少？ 解： 4. 求在a,b上的分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解： 5. 已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù)0.110.001.501.801.230.101.171.58 用插值法計(jì)算約為多少時(shí)（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位） 解：作輔助函數(shù)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為多少時(shí)，此時(shí)可作新的關(guān)于的函數(shù)表。 由單調(diào)連續(xù)知也單調(diào)連續(xù)，因此可對(duì)的數(shù)值進(jìn)行反插。的牛頓型插值多項(xiàng)式為 故 6. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試用埃爾米特插值法,求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式，使 其滿足，,。并寫(xiě)出誤差估計(jì)式。 解：由所給條件可用埃爾米特插值法確定多項(xiàng)式， 由題意可設(shè)為確定待定函數(shù)，作輔助函數(shù)： 則在0,3上存在四階導(dǎo)數(shù)且在0,3上至少有5個(gè)零點(diǎn)為二重零點(diǎn)），反復(fù)應(yīng)用羅爾 定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)使，從而得。 故誤差估計(jì)式為7編程實(shí)現(xiàn)題：略。8、給定，試?yán)米钚×闫疃ɡ?，即切比雪夫多?xiàng)式的最小零偏差性質(zhì)，在上 求的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式。 解：令設(shè)為在上的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式，由于的首項(xiàng)系數(shù)為，故 9. 設(shè)，分別在上求一元素，使其為的最佳平方逼近，并比較其結(jié)果。解： 由結(jié)果知（1）比（2）好。10. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并計(jì)算均方誤差。 192531384419.032.349.073.387.8解： 11、用格拉姆施密特方法構(gòu)造正交多項(xiàng)式求在0，1上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（參考講義與參考書(shū)） 解： 構(gòu)造正交多項(xiàng)式 于是 所以，在0，1上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式為 12、求在1，1上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（參考講義與參考書(shū)，利用Legendre正交多項(xiàng)式）解 先計(jì)算。 ； ； ；又有， ， ，得 均方誤差 13、編出用正交多項(xiàng)式(格拉姆施密特)作最小二乘擬合的程序或框圖。（參考講義與參考書(shū)） 略。14 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)進(jìn)度。1）2）3）4）解：（1）三個(gè)參數(shù)，代入 （2）三個(gè)參數(shù)，代入 15用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。1） 龍貝格方法；2） 三點(diǎn)高斯公式；3） 將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。 16 建立高斯型求積公式。（參考講義與參考書(shū)） 習(xí)題二1.用矩陣的直接三角分解法（LU分解）解方程組 2. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為,證明當(dāng)時(shí)，有最小值。3.設(shè)有方程組，其中已知它有解。如果右端有小 擾動(dòng)，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。 4. (編程題) 設(shè)計(jì)一通用的列主元消去法程序并可計(jì)算條件數(shù)（用于判斷方程病態(tài)程度）。(略)5. 對(duì)線性代數(shù)方程組 設(shè)法導(dǎo)出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯賽德?tīng)枺℅-S）迭代法均收斂的迭代格式，要求分別寫(xiě)出迭代格式，并說(shuō)明收斂的理由。解： 因其變換后為等價(jià)方程組，且嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故雅可比和高斯賽德?tīng)柕ň諗俊Ｑ趴杀鹊袷綖椋?高斯賽德?tīng)柎袷綖椋?.設(shè)方程組 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 設(shè)線性方程組為 （3） 證明用雅可比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M要么同時(shí)收斂，要么同時(shí)發(fā)散。（4） 當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)，試比較其收斂速度。證：（1）雅可比法的迭代矩陣為，其譜半徑為而高斯賽德?tīng)柗ǖ仃嚍?，故其譜半徑為顯然與同時(shí)小于1、等于或大于1，因而雅可比和高斯賽德?tīng)柗ň哂邢嗤臄可⑿浴?2)雅可比和高斯賽德?tīng)柗ㄍ瑫r(shí)收斂時(shí)，有故高斯賽德?tīng)柕ㄊ諗靠臁?. 證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。9 已知有一個(gè)近似特征值，用反冪法求對(duì)應(yīng)的特征向量，并改進(jìn)特征值的精度。解：由計(jì)算得：A的特征向量為（0.046147,0.374918,1），特征值為6.42107。10 11已知構(gòu)造一個(gè)Householder變換矩陣H，使得。解： 取，而其2范數(shù) 所以 ，Householder變換矩陣H為 。習(xí)題三1. 為求方程附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。4） 迭代公式5） 迭代公式6） 迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性。解：2. 已知在區(qū)間內(nèi)只有一根，而當(dāng)時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？ 將化為適于迭代的形式，并求（弧度）