高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 第十節(jié)二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布課件 理.ppt

第十節(jié)二項分布 超幾何分布 正態(tài)分布 第十章計數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 考綱要求 1 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程 并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用 2 理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布 并能解決一些簡單的實際問題 3 利用實際問題的直方圖 了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 課前自修 知識梳理 一 獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗 二 二項分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 當(dāng) 0 1時 正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 其相應(yīng)的函數(shù)表示式是f x x 其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 六 正態(tài)分布如果對于任何實數(shù)a b 隨機(jī)變量x滿足p a x b 則稱x的分布為正態(tài)分布 參數(shù) 表示隨機(jī)變量x的均值 參數(shù) 表示隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差 記作x n 2 其中n 0 1 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布n 2 是由均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 唯一決定的分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n 0 1 在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 七 正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 簡稱三個基本概率值 p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 p 3 x 3 0 9974 八 3 原則在實際應(yīng)用中 通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布n 2 的隨機(jī)變量x只取 3 3 之間的值 并簡稱之為3 原則 正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間 3 3 之內(nèi) 而在此區(qū)間以外取值的概率只有0 0026 通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 這是統(tǒng)計中常用的假設(shè)檢驗方法的基本思想 九 幾個重要分布的期望和方差1 若x服從兩點分布 則ex p dx p 1 p 2 若x b n p 則ex np dx np 1 p 基礎(chǔ)自測 2 正態(tài)總體n 0 1 在區(qū)間 2 1 和 1 2 上取值的概率為p1 p2 則 a p1 p2b p1 p2c p1 p2d 不確定 解析 根據(jù)正態(tài)曲線的特點知 關(guān)于x 0對稱 即在區(qū)間 2 1 和 1 2 上取值的概率相等 故選c 答案 c 3 在含有5件次品的100件產(chǎn)品中 任取3件 則取到的次品數(shù)x的分布列為 4 若隨機(jī)變量x n 2 則p x 答案 考點探究 考點一 超幾何分布 例1 2011 佛山市一模 某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐 對 25 55 歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查 若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為 低碳族 否則稱為 非低碳族 得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖 1 補(bǔ)全頻率分布直方圖 并求n a p的值 2 從 40 50 歲年齡段的 低碳族 中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動 其中選取3人作為領(lǐng)隊 記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在 40 45 歲的人數(shù)為x 求x的分布列和期望ex 解析 1 第二組的頻率為1 0 04 0 04 0 03 0 02 0 01 5 0 3 所以高為 0 06 頻率直方圖如下 第一組的人數(shù)為 200 頻率為0 04 5 0 2 所以n 1000 由題可知 第二組的頻率為0 3 所以第二組的人數(shù)為1000 0 3 300 所以p 0 65 第四組的頻率為0 03 5 0 15 所以第四組的人數(shù)為1000 0 15 150 所以a 150 0 4 60 2 因為 40 45 歲年齡段的 低碳族 與 45 50 歲年齡段的 低碳族 的比值為6030 21 所以采用分層抽樣法抽取18人 40 45 歲中有12人 45 50 歲中有6人 依題意知 隨機(jī)變量x服從超幾何分布 則 變式探究 1 2012 韶關(guān)調(diào)研 為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān) 對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為 1 請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整 不用寫計算過程 2 能否在犯錯誤的概率不超過0 005的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān) 說明你的理由 3 現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查 設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為 求 的分布列與數(shù)學(xué)期望 下面的臨界值表供參考 解析 1 列聯(lián)表補(bǔ)充如下 考點二 二項分布 例2 2012 廣東六校聯(lián)考 甲 乙兩人各射擊一次 擊中目標(biāo)的概率分別是和 假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo) 相互之間沒有影響 每人各次射擊是否擊中目標(biāo) 相互之間也沒有影響 1 求甲射擊3次 至少1次未擊中目標(biāo)的概率 2 假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo) 則停止射擊 問 乙恰好射擊4次后 被中止射擊的概率是多少 3 設(shè)甲連續(xù)射擊3次 用 表示甲擊中目標(biāo)時射擊的次數(shù) 求 的數(shù)學(xué)期望e 結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示 點評 判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布 要看兩點 1 是否為n次獨立重復(fù)試驗 2 隨機(jī)變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù) 變式探究 2 2012 皖南八校聯(lián)考 今年夏季酷暑難熬 某品牌飲料抓住這一時機(jī)舉行夏季促銷活動 若瓶蓋中印有 中獎2元 字樣 則可以兌換2元現(xiàn)金 如果這種飲料每瓶成本為2元 投入市場按每瓶3元銷售 中獎2元 綜合中獎率為10 1 求甲購買飲料3瓶 至少有2瓶中獎的概率 2 若該廠生產(chǎn)這種飲料20萬瓶 假設(shè)全部售出 則盈利的期望值是多少 考點三 正態(tài)分布 例3 2012 佛山一模 佛山某學(xué)校的場室統(tǒng)一使用 佛山照明 的一種燈管 已知這種燈管使用壽命 單位 月 服從正態(tài)分布n 2 且使用壽命不少于12個月的概率為0 8 使用壽命不少于24個月的概率為0 2 1 求這種燈管的平均使用壽命 2 假設(shè)一間功能室一次性換上4支這種新燈管 使用12個月時進(jìn)行一次檢查 將已經(jīng)損壞的燈管換下 中途不更換 求至少兩支燈管需要更換的概率 解析 1 n 2 p 12 0 8 p 24 0 2 p 12 0 2 顯然p 12 p 24 由正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性可知 18 即每支這種燈管的平均使用壽命是18個月 2 每支燈管使用12個月時已經(jīng)損壞的概率為1 0 8 0 2 假設(shè)使用12個月時該功能室需要更換的燈管數(shù)量為 支 則 b 4 0 2 故至少兩支燈管需要更換的概率為 p 1 p 0 p 1 1 0 84 0 83 0 21 寫成 0 18也可以 點評 解答這類正態(tài)分布問題的關(guān)鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間 2 2 3 3 上的概率值以及正態(tài)分布曲線的對稱性 同時又要根據(jù)已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個區(qū)間中的哪一個 變式探究 3 2012 滄州七校聯(lián)考 2011年中國汽車銷售量達(dá)到1700萬輛 汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響 各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量 某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況 共抽查了1200名車主 據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8 0升 并且汽車的耗油量 服從正態(tài)分布n 8 2 已知耗油量 7 9 的概率為0 7 那么耗油量大于9升的汽車大約有 輛 解析 由題意可知 n 8 2 故正態(tài)分布曲線以 8為對稱軸 又因為p 7 9 0 7 故p 7 9 2p 8 9 0 7 所以p 8 9 0 35 而p 8 0 5 所以p 9 0 15 故耗油量大于9升的汽車大約有1200 0 15 180輛 答案 180 1 判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布 要看兩點 1 是否為n次獨立重復(fù)試驗 2 隨機(jī)變量是在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù) 2 二項分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布 也是重要的離散型隨機(jī)變量的概率模型 在解題時要注意判斷一個實際問題是否屬于二項分布 成功概率是多少 找出其他隨機(jī)變量與二項分布的隨機(jī)變量間的關(guān)系式 利用二項分布的均值與方差的計算公式求解 3 注意不同背景下的超幾何分布模型 用超幾何模型的概率公式計算 4 n次獨立重復(fù)試驗中某事件a發(fā)生k次的概率p k cpk 1 p n k正好是二項式 1 p p n展開式的第k 1項 5 對正態(tài)分布的問題關(guān)鍵是抓住兩個參數(shù) 和 理解兩個參數(shù)的實際意義 再利用三個基本概率值就能解決有關(guān)的計算問題 6 小概率事件 和假設(shè)檢驗的基本思想 小概率事件 通常指發(fā)生的概率小于5 的事件 認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的 這種認(rèn)識便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點 關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認(rèn)識 一是這里的 幾乎不可能發(fā)生 是針對 一次試驗 來說的 因為試驗次數(shù)多了 該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的 二是當(dāng)我們運用 小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理 進(jìn)行推斷時 我們也有5 的犯錯誤的可能 進(jìn)行假設(shè)檢驗一般分三步 第一步 提出統(tǒng)計假設(shè) 如課本例子里的統(tǒng)計假設(shè)是工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布n 2 第二步 確定一次試驗中的取值a是否落入范圍 3 3 第三步 做出推斷 如果a 3 3 接受統(tǒng)計假設(shè) 如果a 3 3 由于這是小概率事件 就拒絕統(tǒng)計假設(shè) 判斷某批產(chǎn)品是否合格 主要運用統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想 要記住三種區(qū)間內(nèi)取值的概率 簡稱3 原則 它對我們的解題可以帶來很大的幫助 感悟高考 品味高考 1 2012 新課標(biāo)全國卷 某一部件由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成 元件1或元件2正常工作 且元件3正常工作 則部件正常工作 設(shè)三個電子元件的使用壽命 單位 小時 均服從正態(tài)分布n 1000 502 且各個元件能否正常工作相互獨立 那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 2 2012 天津卷 現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動 該活動有甲 乙兩個游戲可供參加者選擇 為增加趣味性 約定 每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲 擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲 擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲 1 求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率 2 求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率 3 用x y分別表示這4個人中去參加甲 乙游戲的人數(shù) 記 x y 求隨機(jī)變量 的分布列與數(shù)學(xué)期望e 3 的所有可能取值為0 2 4 由于a1與a3互斥 a0與a4互斥 故p 0 p a2 p 2 p a1 p a3 p 4 p a0 p a4 所以 的分布列是 高考預(yù)測 1 2012 衡水調(diào)研 若 b n p 且e 6 d 3 則p 1 的值為 a 3 2 2b 3 2 10c 2 4d 2 8 解析 因 服從二項分布 所以e np 6