不等式恒成立問題及能成立問題

例談不等式恒成立問題和能成立問題的解題策略談2008年江蘇高考數學試卷第14題摘要：所有問題均可分成三類：恒成立問題、能成立問題和不成立問題。例談不等式恒成立問題和能成立問題介紹了解決不等式恒成立問題和不等式能成立問題常用的直接法、分離參數法、分類討論法、數形結合法等，采用了等價轉化的處理策略。關鍵詞：分離參數、分類討論、數形結合、等價轉化，換元，求最值。 2008年江蘇高考數學試卷第14題是一道很好的恒成立問題：設函數若對于任意都有成立，則實數的值為 。解析如下：析：將中的分離，然后求函數的最值。解：函數若對于任意都有成立，函數對于任意有都成立。 若，設則，令，則單調遞減，（1）若，設，則，令，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減，（2）若則，成立（3）由題意知（1）（2）（3）應同時成立解題中采取了不等式恒成立問題的處理策略:1、若f(x)a對xD恒成立，只須f(x)min(xD)a即可。2、若f(x)a對xD恒成立，只須f(x)max(xD)a即可。該題在考查學生基礎知識的同時，注意考查了考生的分類討論的思想、換元的思想等，是一道突出理性思維、考查學生潛能及數學素養(yǎng)的題目。2000年上海高考數學試卷也考了一道不等式恒成立的題目，解析如下已知函數f(x)=,x. （1）當a=時，求函數f(x)的最小值； （2） 若對任意的x，恒成立，試求a的取值范圍。析：由于x，化繁為簡。解：（1）當時，在區(qū)間上為增函數， 在區(qū)間上的最小值為 （2）在區(qū)間上，恒成立恒成立，設，遞增，當時，于是當且僅當時，函數恒成立，故 本題著重考查了函數思想和等價轉化的思想。通過對前面的兩個高考題的分析我們可以得出結論：解不等式恒成立問題，首先要構建函數模型，然后求這個函數的最值，最后采取不等式恒成立問題的處理策略進行求解。等價轉化是思想，構建函數模型是手段，求函數的最值是關鍵。下面就不等式恒成立問題談幾種解決方法，以期對讀者有所啟迪。一、直接法例1已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是 析：本題可利用不等式求最值解： ，而對恒成立，則，解得例2若不等式0在1，2上恒成立，則實數a的取值范圍為 。析：本題可轉化為求二次函數的最值解：令，則 所以，因不等式0在1，2上恒成立 所以，即例3已知函數，（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍析：，且解：（1） 又，即，（2），且，即的取值范圍是二、分離參數法例4關于的不等式在上恒成立，則實數的范圍為 析：含參問題的考察始終是高考的熱點，要善于對問題先觀察思考后動手，避免不必要的麻煩。解析一： 兩邊同除以，則，當且僅當，兩等式同時成立，所以時，右邊取最小值6，解析二：（提示）可分和討論求分段函數的最小值答案：例5若a,b均為正實數，且恒成立，則m的最小值是 析：參數分離，然后求的最值，最后采取不等式恒成立問題的處理策略求m的最小值解：因a,b均為正實數，根據基本不等式得恒成立，則m的最小值是三、等價轉化法例6已知函數若在上單調遞增，求的取值范圍；析：本題的實質由在上恒成立，求的取值范圍。解： 由，得 若函數為上單調增函數，則在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述問題等價于，而為在上的減函數，則，于是為所求例7已知函數若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；析：本題可利用是偶函數將問題等價轉化為：已知對任意成立，確定實數的取值范圍解：由可知是偶函數于是對任意成立等價于對任意成立由得當時，此時在上單調遞增故，符合題意當時，當變化時的變化情況如下表：單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數的取值范圍是 例8已知P：2x2-9x+a 0,q： 且p是q的充分條件,求實數a的取值范圍.析：BA，即A中的不等式對于B中的恒成立解：由q： 得q:2x3設A=p=2x2-9x+a0，B=q=2x3pq, qp BA 即2x3滿足不等式 2x2-9x+a0 2x3滿足不等式 a9x-2x2當2x3時，9x-2x2=-2(x2-x+-) =-2(x-)2+99x-2x2 a9評：以上三例均是將它們轉化為不等式恒成立問題。等價轉化就是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉化意識，這將有利于強化解決數學問題的應變能力，提高思維能力和解決數學問題的技能、技巧。四、數形結合法根據恒成立不等式的特點，通過挖掘幾何圖形含意，利用函數圖象的高低位置關系找出參數的變化范圍.例9不等式ax在x0,3內恒成立，求a的變化范圍.解：畫出兩個函數y=ax與y=的圖象.（如圖）將x=3代入ax=,得a=a例10若對一切都成立，則k的取值范圍是_析：構造兩個函數，半圓應全在直線的下方，其中直線過點（0，1）斜率為2，直線與相切斜率為，畫圖易得：評：數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化,充分利用這種轉化，尋找解題思路，可使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.華羅庚先生說得好：“數形本是相依倚,焉能分作兩邊飛;數缺形時少直覺，形缺數時難入微;數形結合百般好，隔裂分家萬事休;幾何代數統(tǒng)一體,永遠聯系莫分離”。五、“能成立”與“恒成立”的問題“能成立”與“恒成立”的問題分屬于“存在性命題”和“全稱命題”的范疇，應區(qū)別對待。例11若關于的不等式的解集不是空集，則實數的取值范圍是 析：“關于的不等式的解集不是空集，等價于有解，則”與“關于的不等式的解集是，等價于恒成立，則”不同，應加以體會。解：設.則關于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或評：不等式能成立問題的處理策略:1、若f(x)a對xD能成立，只須f(x)max(xD)a即可。2、若f(x)a對xD能成立，只須f(x)min(xD)a即可例12若存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20成立，則實數x的取值范圍是 .析：一方面要進行主次元的轉換，把不等式ax2+(a2)x20看成關于的不等式，另一方面利用不等式能成立的條件求實數x的取值范圍。解：令可看成關于的一元一次函數，存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20成立的條件為 只須，即，則綜上所述：不等式恒成立問題的處理策略是：1、若f(x)a對xD恒成立，只須f(x)min(xD)a即可。2、若f(x)a對xD恒成立，只須f(x)max(xD)a即可。不等式能成立問題的處理策略是1、若f(x)a對xD能成立，只須f(x)max(xD)a即可。2、若f(x)a對xD能成立，只須f(x)min(xD)a即可。解題的關鍵是求函數最值，方法有直接法