《機(jī)械制圖教案》第二章

第七講 21 投影法的基本知識(shí) 22 三視圖的形成與投影規(guī)律課 題：1、投影法的基本知識(shí)2、三視圖的形成與投影規(guī)律課堂類型：講授教學(xué)目的：1、介紹投影法的概念、種類、應(yīng)用 2、講解正投影法的基本性質(zhì) 3、介紹三投影面體系和三視圖的形成、投影規(guī)律教學(xué)要求：1、掌握正投影法的基本性質(zhì) 2、理解并掌握三視圖的形成和投影規(guī)律教學(xué)重點(diǎn)：1、正投影法的基本性質(zhì) 2、三視圖的投影規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：三視圖與物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系教 具：自制的三投影面體系模型、簡(jiǎn)單幾何體模型教學(xué)方法：講授與課堂演示、舉例相結(jié)合。教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)舊課簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)平面圖形的作圖方法和步驟。二、引入新課題在工程技術(shù)中，人們常用到各種圖樣，如機(jī)械圖樣、建筑圖樣等。這些圖樣都是按照不同的投影方法繪制出來的，而機(jī)械圖樣是用正投影法繪制的。三、教學(xué)內(nèi)容（一）投影法的基本知識(shí) 1、投影法的概念舉例：在日常生活中，人們看到太陽光或燈光照射物體時(shí)，在地面或墻壁上出現(xiàn)物體的影子，這就是一種投影現(xiàn)象。我們把光線稱為投射線(或叫投影線)，地面或墻壁稱為投影面，影子稱為物體在投影面上的投影。下面進(jìn)一步從幾何觀點(diǎn)來分析投影的形成。設(shè)空間有一定點(diǎn)S和任一點(diǎn)A，以及不通過點(diǎn)S和點(diǎn)A的平面P，如圖21所示，從點(diǎn)S經(jīng)過點(diǎn)A作直線SA，直線SA必然與平面P相交于一點(diǎn)a，則稱點(diǎn)a為空間任一點(diǎn)A在平面P上的投影，稱定點(diǎn)S為投影中心，稱平面P為投影面，稱直線SA為投影線。據(jù)此，要作出空間物體在投影面上的投影，其實(shí)質(zhì)就是通過物體上的點(diǎn)、線、面作出一系列的投影線與投影面的交點(diǎn)，并根據(jù)物體上的線、面關(guān)系，對(duì)交點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪B線。圖21 投影法的概念 圖22 中心投影法如圖22所示，作ABC在投影面P上的投影。先自點(diǎn)S過點(diǎn)A、B、C分別作直線SA、SB、SC與投影面P的交點(diǎn)a、b、c，再過點(diǎn)a、b、c作直線，連成abc ，abc即為空間的ABC在投影面P上的投影。上述這種用投射線（投影線）通過物體，向選定的面投影，并在該面上得到圖形的方法稱為投影法。2、投影法的種類及應(yīng)用（1）中心投影法投影中心距離投影面在有限遠(yuǎn)的地方，投影時(shí)投影線匯交于投影中心的投影法稱為中心投影法，如圖22所示。缺點(diǎn)：中心投影不能真實(shí)地反映物體的形狀和大小，不適用于繪制機(jī)械圖樣。優(yōu)點(diǎn)：有立體感，工程上常用這種方法繪制建筑物的透視圖。（2）平行投影法投影中心距離投影面在無限遠(yuǎn)的地方，投影時(shí)投影線都相互平行的投影法稱為平行投影法，如圖23所示。根據(jù)投影線與投影面是否垂直，平行投影法又可以分為兩種：1）斜投影法投影線與投影面相傾斜的平行投影法，如圖23（a）所示。2）正投影法投影線與投影面相垂直的平行投影法，如圖23（b）所示。 （a） 斜投影法 （b） 正投影法圖23 平行投影法正投影法優(yōu)點(diǎn)：能夠表達(dá)物體的真實(shí)形狀和大小，作圖方法也較簡(jiǎn)單，所以廣泛用于繪制機(jī)械圖樣。（二）三視圖的形成與投影規(guī)律在機(jī)械制圖中，通常假設(shè)人的視線為一組平行的，且垂至于投影面的投影線，這樣在投影面上所得到的正投影稱為視圖。一般情況下，一個(gè)視圖不能確定物體的形狀。如圖26所示，兩個(gè)形狀不同的物體，它們?cè)谕队懊嫔系耐队岸枷嗤Ｒ虼?，要反映物體的完整形狀，必須增加由不同投影方向所得到的幾個(gè)視圖，互相補(bǔ)充，才能將物體表達(dá)清楚。工程上常用的是三視圖。圖26 一個(gè)視圖不能確定物體的形狀1、三投影面體系與三視圖的形成（1）三投影面體系的建立三投影面體系由三個(gè)互相垂直的投影面所組成，如圖27所示。在三投影面體系中，三個(gè)投影面分別為：正立投影面：簡(jiǎn)稱為正面，用V表示；水平投影面：簡(jiǎn)稱為水平面，用H表示；側(cè)立投影面：簡(jiǎn)稱為側(cè)面，用W表示。三個(gè)投影面的相互交線，稱為投影軸。它們分別是：OX軸：是V面和H面的交線，它代表長度方向；OY軸：是H面和W面的交線，它代表寬度方向；OZ軸：是V面和W面的交線，它代表高度方向；三個(gè)投影軸垂直相交的交點(diǎn)O，稱為原點(diǎn)。 圖27 三投影面體系（2）三視圖的形成將物體放在三投影面體系中，物體的位置處在人與投影面之間，然后將物體對(duì)各個(gè)投影面進(jìn)行投影，得到三個(gè)視圖，這樣才能把物體的長、寬、高三個(gè)方向，上下、左右、前后六個(gè)方位的形狀表達(dá)出來，如圖28（a）所示。三個(gè)視圖分別為：主視圖：從前往后進(jìn)行投影，在正立投影面（V面）上所得到的視圖。俯視圖：從上往下進(jìn)行投影，在水平投影面（H面）上所得到的視圖。主視圖：從前往后進(jìn)行投影，在側(cè)立投影面（W面）上所得到的視圖。（a） （b）（c） （d）圖28 三視圖的形成遇展開（3）三投影面體系的展開在實(shí)際作圖中，為了畫圖方便，需要將三個(gè)投影面在一個(gè)平面（紙面）上表示出來，規(guī)定：使V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90與V面重合， W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90與V面重合，這樣就得到了在同一平面上的三視圖，如圖28（b）所示?？梢钥闯觯┮晥D在主視圖的下方，左視圖在主視圖的右方。在這里應(yīng)特別注意的是：同一條OY軸旋轉(zhuǎn)后出現(xiàn)了兩個(gè)位置，因?yàn)镺Y是H面和W面的交線，也就是兩投影面的共有線，所以O(shè)Y軸隨著H面旋轉(zhuǎn)到OYH的位置，同時(shí)又隨著W面旋轉(zhuǎn)到OYW的位置。為了作圖簡(jiǎn)便，投影圖中不必畫出投影面的邊框，如圖28（c）所示。由于畫三視圖時(shí)主要依據(jù)投影規(guī)律，所以投影軸也可以進(jìn)一步省略，如圖28（d）所示。2、三視圖的投影規(guī)律從圖29可以看出，一個(gè)視圖只能反映兩個(gè)方向的尺寸，主視圖反映了物體的長度和高度，俯視圖反映了物體的長度和寬度，左視圖反映了物體的寬度和高度。由此可以歸納出三視圖的投影規(guī)律：主、俯視圖“長對(duì)正”（即等長）；主、左視圖“高平齊”（即等高）；俯、左視圖“寬相等”（即等寬）；三視圖的投影規(guī)律反映了三視圖的重要特性，也是畫圖和讀圖的依據(jù)。無論是整個(gè)物體還是物體的局部，其三面投影都必須符合這一規(guī)律。圖29 視圖間的“三等”關(guān)系3、三視圖與物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系物體有長、寬、高三個(gè)方向的尺寸，有上下、左右、前后六個(gè)方位關(guān)系，如圖210（a）所示。六個(gè)方位在三視圖中的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖210（b）所示。主視圖反映了物體的上下、左右四個(gè)方位關(guān)系；俯視圖反映了物體的前后、左右四個(gè)方位關(guān)系；左視圖反映了物體的上下、前后四個(gè)方位關(guān)系。（要求學(xué)生必須熟記 。）（a）立體圖 （b）投影圖圖210 三視圖的方位關(guān)系注意：以主視圖為中心，俯視圖、左視圖靠近主視圖的一側(cè)為物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一側(cè)為物體的前面。四、小結(jié)1、 概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。2、正投影法的基本性質(zhì)3、三視圖的投影規(guī)律4、三視圖與物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系第八講 23 點(diǎn)的投影課 題：1、點(diǎn)的投影及其標(biāo)記2、點(diǎn)的三面投影規(guī)律3、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)4、特殊位置點(diǎn)的投影5、兩點(diǎn)的相對(duì)位置課堂類型：講授教學(xué)目的：1、介紹空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記標(biāo)記符號(hào) 2、講解點(diǎn)的三面投影規(guī)律 3、講解特殊位置點(diǎn)的投影4、講解兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)教學(xué)要求：1、理解并掌握在兩面和三面投影圖中點(diǎn)的投影規(guī)律 2、熟練掌握點(diǎn)的投影與與其直角坐標(biāo)的關(guān)系以及由點(diǎn)的兩個(gè)投影求作第三投影的方法3、掌握由點(diǎn)的軸測(cè)圖作投影圖和由點(diǎn)的投影圖作軸測(cè)圖的方法4、根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的投影，能夠理解并判別該兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置5、掌握重影點(diǎn)的概念及其可見性的判別方法教學(xué)重點(diǎn)：1、在兩面和三面投影圖中點(diǎn)的投影規(guī)律 2、重影點(diǎn)的概念和兩點(diǎn)的相對(duì)位置教學(xué)難點(diǎn)：1、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 2、特殊位置點(diǎn)的投影教 具：自制的三投影面體系模型教學(xué)方法：課堂教學(xué)中要加強(qiáng)三等關(guān)系和六方位關(guān)系的基本訓(xùn)練，著重突出空間概念的培養(yǎng)，這是樹立空間概念，搭起空間架子的起步。這部分教學(xué)要突出空間位置的判斷。運(yùn)用直觀教具，采用講授和演示教學(xué)法，講情三投影面體系的有關(guān)內(nèi)容和展開方法。注意以下幾個(gè)要點(diǎn)：投影面展開前：（1）空間點(diǎn)對(duì)投影面的距離及對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系。（2）空間點(diǎn)的投影與其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系。 投影面展開后：要演示兩投影連線與投影軸的關(guān)系，從而引出投影規(guī)律。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)有關(guān)投影法的幾個(gè)基本概念。重點(diǎn)復(fù)習(xí)三視圖的形成、投影規(guī)律和方位關(guān)系。二、引入新課題任何物體都是由點(diǎn)、線、面等幾何元素構(gòu)成的，只有學(xué)習(xí)和掌握了幾何元素的投影規(guī)律和特征，才能透徹理解機(jī)械圖樣所表示物體的具體結(jié)構(gòu)形狀。本次課先來學(xué)習(xí)點(diǎn)的投影。三、教學(xué)內(nèi)容（一）點(diǎn)的投影及其標(biāo)記當(dāng)投影面和投影方向確定時(shí)，空間一點(diǎn)只有唯一的一個(gè)投影。如圖211（a）所示，假設(shè)空間有一點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向H面、V面和W面作垂線，得到三個(gè)垂足a、a、a，便是點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影。規(guī)定用大寫字母（如A）表示空間點(diǎn)，它的水平投影、正面投影和側(cè)面投影，分別用相應(yīng)的小寫字母（如a、a 和a）表示。根據(jù)三面投影圖的形成規(guī)律將其展開，可以得到如圖211（b）所示的帶邊框的三面投影圖，即得到點(diǎn)A兩面投影；省略投影面的邊框線，就得到如圖211（c）所示的A點(diǎn)的三面投影圖，（注意：要與平面直角坐標(biāo)系相區(qū)別。） （a） （b） （c）圖211 點(diǎn)的兩面投影（二）點(diǎn)的三面投影規(guī)律1、點(diǎn)的投影與點(diǎn)的空間位置的關(guān)系從圖211（a）、（b）可以看出，Aa、A a、A a 分別為點(diǎn)A到H、V、W面的距離，即：A a = aa x = aa y (即aaYW)，反映空間點(diǎn)A到H面的距離；A a =a a x = aa z ，反映空間點(diǎn)A到V面的距離；A a = aa z = a a y (即aYH)，反映空間點(diǎn)A到W面的距離；上述即是點(diǎn)的投影與點(diǎn)的空間位置的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，若已知點(diǎn)的空間位置，就可以畫出點(diǎn)的投影。反之，若已知點(diǎn)的投影，就可以完全確定點(diǎn)在空間的位置。2、點(diǎn)的三面投影規(guī)律由圖211中還可以看出：a aYH = aa z 即aaOXaa x = aaYW 即aaOZa a x = aa z這說明點(diǎn)的三個(gè)投影不是孤立的，而是彼此之間有一定的位置關(guān)系。而且這個(gè)關(guān)系不因空間點(diǎn)的位置改變而改變，因此可以把它概括為普遍性的投影規(guī)律：（1）點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直O(jiān)X軸，即aaOX；（2）點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直O(jiān)Z軸，即aaOZ；（3）點(diǎn)的水平投影a和到OX軸的距離等于側(cè)面投影a 到OZ軸的距離，即a a x = aa z 。（可以用45輔助線或以原點(diǎn)為圓心作弧線來反映這一投影關(guān)系）根據(jù)上述投影規(guī)律，若已知點(diǎn)的任何兩個(gè)投影，就可求出它的第三個(gè)投影。3、講解例題（例21） 已知點(diǎn)A的 正面投影a 和側(cè)面投影a（圖212），求作其水平投影a 。 （a）題目 （b）解答圖212 已知點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三個(gè)投影強(qiáng)調(diào)：一般在作圖過程中，應(yīng)自點(diǎn)O作輔助線（與水平方向夾角為45），以表明a a x = aa z的關(guān)系。（三）點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)1、點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系三投影面體系可以看成是一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，因此可用直角坐標(biāo)確定點(diǎn)的空間位置。投影面H、V、W作為坐標(biāo)面，三條投影軸OX、OY、OZ作為坐標(biāo)軸，三軸的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)。 由圖213可以看出A點(diǎn)的直角坐標(biāo)與其三個(gè)投影的關(guān)系： 點(diǎn)A到W面的距離 = Oa x = aa z = a aYH = x坐標(biāo)； 點(diǎn)A到V面的距離 = OaYH = a a x = aaz = y坐標(biāo)； 點(diǎn)A到H面的距離 = Oa z = a a x = aaYW = z坐標(biāo)。圖213 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)用坐標(biāo)來表示空間點(diǎn)位置比較簡(jiǎn)單，可以寫成A (x，y，z)的形式。由圖213（b）可知，坐標(biāo)x和z決定點(diǎn)的正面投影a ，坐標(biāo)x和y決定點(diǎn)的水平投影a，坐標(biāo)y和z決定點(diǎn)的側(cè)面投影 a，若用坐標(biāo)表示，則為a (x，y，0)，a (x，0，z)， a (0，y，z)。因此，已知一點(diǎn)的三面投影，就可以量出該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)；相反地，已知一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，就可以量出該點(diǎn)的三面投影。2、講解例題（例22） 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（20，10，18），作出點(diǎn)的三面投影，并畫出其立體圖。其作圖方法與步驟如圖214所示： （a） （b） （c）圖214 由點(diǎn)的坐標(biāo)作點(diǎn)的三面投影立體圖的作圖步驟如圖215所示； （a） （b） （c）圖215 由點(diǎn)的坐標(biāo)作立體圖（四）特殊位置點(diǎn)的投影1、在投影面上的點(diǎn)（有一個(gè)坐標(biāo)為0）有兩個(gè)投影在投影軸上，另一個(gè)投影和其空間點(diǎn)本身重合。例如在V面上的點(diǎn)A，如圖216（a）所示；2、在投影軸上的點(diǎn)（有兩個(gè)坐標(biāo)為0）有一個(gè)投影在原點(diǎn)上，另兩個(gè)投影和其空間點(diǎn)本身重合。例如在OZ軸上的點(diǎn)B，如圖216（b）所示；3、在原點(diǎn)上的空間點(diǎn)（有三個(gè)坐標(biāo)都為0）它的三個(gè)投影必定都在原點(diǎn)上。如圖216（c）所示。 （a） （b） （c）圖216 特殊位置點(diǎn)的投影（五）兩點(diǎn)的相對(duì)位置1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置設(shè)已知空間點(diǎn)A，由原來的位置向上（或向下）移動(dòng)，則z坐標(biāo)隨著改變，也就是A點(diǎn)對(duì)H面的距離改變；如果點(diǎn)A，由原來的位置向前（或向后）移動(dòng)，則y坐標(biāo)隨著改變，也就是A點(diǎn)對(duì)V面的距離改變；如果點(diǎn)A，由原來的位置向左（或向右）移動(dòng)，則x坐標(biāo)隨著改變，也就是A點(diǎn)對(duì)W面的距離改變.綜上所述，對(duì)于空間兩點(diǎn)A、B的相對(duì)位置（1）距W面遠(yuǎn)者在左（x坐標(biāo)大）；近者在左（x坐標(biāo)?。?；（2）距V面遠(yuǎn)者在前（y坐標(biāo)大）；近者在后（y坐標(biāo)?。?；（3）距H面遠(yuǎn)者在左（z坐標(biāo)大）；近者在左（z坐標(biāo)?。?。2、舉例如圖217所示，若已知空間兩點(diǎn)的投影，即點(diǎn)A的三個(gè)投影a、a 、a 和點(diǎn)B的三個(gè)投影b、b 、b，用A、B兩點(diǎn)同面投影坐標(biāo)差就可判別A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置。 由于xA xB，表示B點(diǎn)在A點(diǎn)的右方；zB zA，表示B點(diǎn)在A點(diǎn)的上方；yA yB，表示B點(diǎn)在點(diǎn)的A后方?？偲饋碚f，就是B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、上方。圖217 兩點(diǎn)的相對(duì)位置3、重影點(diǎn)若空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合，則這兩點(diǎn)是該投影面的重影點(diǎn)。這時(shí)，空間兩點(diǎn)的某兩坐標(biāo)相同，并在同一投射線上。當(dāng)兩點(diǎn)的投影重合時(shí)，就需要判別其可見性，應(yīng)注意：對(duì)H面的重影點(diǎn)，從上向下觀察，z坐標(biāo)值大者可見；對(duì)W面的重影點(diǎn)，從左向右觀察，x坐標(biāo)值大者可見；對(duì)V面的重影點(diǎn)，從前向后觀察，y坐標(biāo)值大者可見。在投影圖上不可見的投影加括號(hào)表示，如（a）。4、舉例如圖218中，C、D位于垂直H面的投射線上，c、d重影為一點(diǎn)，則C、D為對(duì)H面的重影點(diǎn)，z坐標(biāo)值大者為可見，圖中zC zD，故c為可見，d為不可見，用c（d）表示。四、小結(jié)1、空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記標(biāo)記符號(hào)2、點(diǎn)的投影與與其直角坐標(biāo)的關(guān)系3、點(diǎn)的三面投影規(guī)律4、特殊位置點(diǎn)的投影5、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)五、布置作業(yè)習(xí)題集21（1）（8）第九講 24 直線的投影課 題：1、直線的投影圖2、直線對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性3、各種位置直線的投影特性4、一般位置直線的實(shí)長和對(duì)投影面的傾角課堂類型：講授教學(xué)目的：1、講解三種投影面平行線和三種投影面垂直線的投影特性 2、講解用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長和傾角教學(xué)要求：1、理解并掌握各種位置直線的投影特性，并能根據(jù)投影特性判別直線對(duì)投影面的相對(duì)位置2、熟練掌握求一般位置直線的實(shí)長及其對(duì)各投影面傾角的直角三角形法教學(xué)重點(diǎn)：1、各種位置直線的投影特性 2、直角三角形法教學(xué)難點(diǎn)：直角三角形法教 具：自制的三投影面體系模型； 掛圖：“投影面平行線的投影特性”、“投影面垂直線的投影特性”教學(xué)方法：直線投影的實(shí)質(zhì)，就是線段兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影的連線；尤其是投影面垂直線，實(shí)質(zhì)就是重影點(diǎn)。為了進(jìn)一步加強(qiáng)空間思維的訓(xùn)練，要用一定量的例題作演示性講解，并布置適當(dāng)?shù)木毩?xí)加以鞏固。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課1、 講評(píng)上次作業(yè)。2、復(fù)習(xí)點(diǎn)的投影與與其直角坐標(biāo)的關(guān)系3、復(fù)習(xí)點(diǎn)的三面投影規(guī)律4、復(fù)習(xí)特殊位置點(diǎn)的投影5、復(fù)習(xí)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)二、引入新課題空間兩點(diǎn)確定一條空間直線段，空間直線的投影一般也是直線。直線段投影的實(shí)質(zhì)，就是線段兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影的連線；所以學(xué)習(xí)直線的投影，必須于點(diǎn)的投影聯(lián)系起來。三、教學(xué)內(nèi)容（一）直線的投影圖空間一直線的投影可由直線上的兩點(diǎn)（通常取線段兩個(gè)端點(diǎn)）的同面投影來確定。如圖219所示的直線AB，求作它的三面投影圖時(shí)，可分別作出A、B兩端點(diǎn)的投影（a、a、a）、（b、b、b），然后將其同面投影連接起來即得直線AB的三面投影圖（a b、a b 、ab）。 （a） （b） （c）圖219 直線的投影（二）直線對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性空間直線相對(duì)于一個(gè)投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。1、真實(shí)性 當(dāng)直線與投影面平行時(shí)，則直線的投影為實(shí)長。如圖220（a）所示。2、積聚性 當(dāng)直線與投影面垂直時(shí)，則直線的投影積聚為一點(diǎn)。如圖220（b）所示。3、收縮性 當(dāng)直線與投影面傾斜時(shí)，則直線的投影小于直線的實(shí)長。如圖220（c）所示。（a） （b） （c）圖220 直線的投影（三）各種位置直線的投影特性 根據(jù)直線在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜線、投影面平行線、投影面垂直線三類。前一類直線稱為一般位置直線，后兩類直線稱為特殊位置直線。1、投影面平行線平行于一個(gè)投影面且同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線稱為投影面平行線。平行于V面的稱為正平線；平行于H面的稱為水平線；平行于W面的稱為側(cè)平線。直線與投影面所夾的角稱為直線對(duì)投影面的傾角。、分別表示直線對(duì)H面、V面、W面的傾角。舉例說明：正平線的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）斜線反映實(shí)長；（2）直線的傾角、?？偨Y(jié)投影面平行線的投影特性：兩平一斜。要求學(xué)生必須掌握表21中的圖例。對(duì)于投影面平行線的辨認(rèn)：當(dāng)直線的投影有兩個(gè)平行于投影軸，第三投影與投影軸傾斜時(shí)，則該直線一定是投影面平行線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個(gè)投影面。講解例題（例23） 如圖221所示，已知空間點(diǎn)A，試作線段AB，長度為15，并使其平行V面，與H面傾角30（只需一解）。（a）題目 （b）解答圖221 作正平線AB2、投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面且同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面的直線稱為投影面垂直線。垂直于V面的稱為正垂線；垂直于H面的稱為鉛垂線；垂直于W面的稱為側(cè)垂線。舉例說明：側(cè)垂線的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影反映實(shí)長；（2）一個(gè)投影積聚為一點(diǎn)?？偨Y(jié)投影面平行線的投影特性：兩線一點(diǎn)。要求學(xué)生必須掌握表22中的圖例。對(duì)于投影面垂直線的辨認(rèn)：直線的投影中只要有一個(gè)投影積聚為一點(diǎn)，則該直線一定是投影面垂直線，且一定垂直于其投影積聚為一點(diǎn)的那個(gè)投影面。講解例題（例24） 如圖222所示，已知正垂線AB的點(diǎn)A的投影，直線AB長度為10毫米，試作直線AB的三面投影（只需一解）。（a）題目 （b）解答圖222 作正垂線AB3、一般位置直線與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的直線稱為一般位置直線。舉例：如圖223（a）所示，直線AB與H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為、。其投影如圖223（b）所示。（a） （b）一般位置直線的投影特征可歸納為：（1）直線的三個(gè)投影和投影軸都傾斜，各投影和投影軸所夾的角度不等于空間線段對(duì)相應(yīng)投影面的傾角；（2）任何投影都小于空間線段的實(shí)長，也不能積聚為一點(diǎn)。對(duì)于一般位置直線的辨認(rèn)：直線的投影如果與三個(gè)投影軸都傾斜，則可判定該直線為一般位置直線。（四）一般位置直線的實(shí)長和對(duì)投影面的傾角1、直角三角形法的作圖原理如圖224所示，AB為一般位置直線，過端點(diǎn)A作直線平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜邊AB就是線段本身，底邊AC等于線段AB的水平投影ab，對(duì)邊BC等于線段AB的兩端點(diǎn)到H面的距離差（Z坐標(biāo)差），也即等于a b 兩端點(diǎn)到投影軸OX的距離差，而AB與底邊AC的夾角即為線段AB對(duì)H面的傾角。 圖224 直角三角形法的原理2、直角三角形法的作圖方法和步驟根據(jù)上述分析，只要用一般位置直線在某一投影面上的投影作為直角三角形的底邊，用直線的兩端點(diǎn)到該投影面的距離差為另一直角邊，作出一直角三角形。此直角三角形的斜邊就是空間線段的真實(shí)長度，而斜邊與底邊的夾角就是空間線段對(duì)該投影面的傾角。這就是直角三角形法。作圖方法與步驟如圖225所示，用線段的任一投影為底邊均可用直角三角形法求出空間線段的實(shí)長，其長度是相同的，但所得傾角不同。在直角三角形法中，直角三角形包含四個(gè) 圖225直角三角形法因素：投影長、坐標(biāo)差、實(shí)長、傾角。只要知道兩個(gè)因素，就可以將其余兩個(gè)求出來。3、講解例題（例25） 如圖226（a）所示，已知直線AB的實(shí)長L =15mm，及直線AB的水平投影ab和點(diǎn)A的正面投影a ，試用直角三角形法求出直線AB的正面投影a b。 （a）題目 （b）解答圖226 直角三角形法應(yīng)用示例四、小結(jié)1、三種位置直線（包括七種類型）的投影特性。尤其注意：實(shí)長和傾角的判斷。2、用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長及其對(duì)各投影面傾角的方法和步驟。五、布置作業(yè)習(xí)題集22（1）、（2）、（7）第十講 24 直線的投影課 題：1、直線上點(diǎn)的投影2、兩直線的相對(duì)位置3、直角投影定理課堂類型：講授教學(xué)目的：1、講解直線上點(diǎn)的投影特性 2、講解兩直線各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特點(diǎn) 3、講解用直角投影定理教學(xué)要求：1、理解并掌握直線投影的定比性的解題方法2、會(huì)根據(jù)兩直線的投影判斷它們的相對(duì)位置，并熟練掌握兩直線平行、相交的作圖問題3、理解并掌握直角投影定理的特點(diǎn)和解題思路教學(xué)重點(diǎn)：1、兩直線各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特點(diǎn) 2、直角投影定理教學(xué)難點(diǎn)：利用直角投影定理圖解空間幾何問題教 具：自制的三投影面體系模型教學(xué)方法：例題輔助講解教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課1、三種位置直線（包括七種類型）的投影特性。尤其注意：實(shí)長和傾角的判斷。2、用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長及其對(duì)各投影面傾角的方法和步驟。二、引入新課題上次課我們學(xué)習(xí)了三種位置直線的投影特性，本次課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)空間直線的其他投影特性。三、教學(xué)內(nèi)容（一）直線上點(diǎn)的投影1、直線上點(diǎn)的投影點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影上，反之，若一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)投影都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必定在直線上。舉例：如圖227所示直線AB上有一點(diǎn)C，則C點(diǎn)的三面投影c、c、c 必定分別在該直線AB的同面投影ab、a b、ab 上。（a） （b）圖227 直線上點(diǎn)的投影2、直線投影的定比性直線上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比，這稱為直線投影的定比性。在圖227中，點(diǎn)C在線段AB上，它把線段AB分成AC和CB兩段。根據(jù)直線投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a c：c b = ac：cb 。3、講解例題（例26） 如圖228（a），已知側(cè)平線AB的兩投影和直線上K點(diǎn)的正面投影k，求K點(diǎn)的水平投影k 。 （a）題目 （b） 解法1 （c）解法2圖228 求直線上點(diǎn)的投影（二）兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有平行、相交、交叉三種情況。1、兩直線平行（1）特性若空間兩直線平行，則它們的各同面投影必定互相平行。如圖229所示，由于ABCD，則必定abcd、 a bc d、abcd 。反之，若兩直線的各同面投影互相平行，則此兩直線在空間也必定互相平行。 （a） （b）圖229 兩直線平行（2）判定兩直線是否平行1）如果兩直線處于一般位置時(shí)，則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否互相平行即可判定。2）當(dāng)兩平行直線平行于某一投影面時(shí)，則需觀察兩直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否互相平行才能確定。如圖230所示，兩直線AB、CD均為側(cè)平線，雖然abcd、 abcd，但不能斷言兩直線平行，還必需求作兩直線的側(cè)面投影進(jìn)行判定，由于圖中所示兩直線的側(cè)面投影ab 與cd相交，所以可判定直線AB、CD不平行。2、兩直線相交 圖230 判斷兩直線是否平行（1）特性若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必定相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖231所示，兩直線AB、CD相交于K點(diǎn)，因?yàn)镵點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，則此兩直線的各組同面投影的交點(diǎn) k、 k、k 必定是空間交點(diǎn)K的投影。反之，若兩直線的各同面投影相交，且各組同面投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間也必定相交。（a） （b） 圖231 兩直線相交（2）判定兩直線是否相交1）如果兩直線均為一般位置線時(shí)，則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否相交且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律即可判定。2）當(dāng)兩直線中有一條直線為投影面平行線時(shí)，則需觀察兩直線在該投影面上的投影是否相交且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律才能確定；或者根據(jù)直線投影的定比性進(jìn)行判斷。如圖232所示，兩直線AB、CD兩組同面投影ab與cd、a b 與c d 雖然相交，但經(jīng)過分析判斷，可判定兩直線在空間不相交。（a） （b）圖232 兩直線在空間不相交3、兩直線交叉兩直線既不平行又不相交，稱為交叉兩直線。（1）特性若空間兩直線交叉，則它們的各組同面投影必不同時(shí)平行，或者它們的各同面投影雖然相交，但其交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。如圖233（a）所示。（2）判定空間交叉兩直線的相對(duì)位置空間交叉兩直線的投影的交點(diǎn)，實(shí)際上是空間兩點(diǎn)的投影重合點(diǎn)。利用重影點(diǎn)和可見性，可以很方便地判別兩直線在空間的位置。在圖233（b）中，判斷AB和CD的正面重影點(diǎn) k（l）的可見性時(shí)，由于K、L兩點(diǎn)的水平投影k比l的y坐標(biāo)值大，所以當(dāng)從前往后看時(shí)，點(diǎn)K可見，點(diǎn)L不可見，由此可判定AB在CD的前方。同理，從上往下看時(shí)，點(diǎn)M可見，點(diǎn)N不可見，可判定CD在AB的上方。 （a） （b）圖233 兩直線交叉（三）直角投影定理 1、概念空間垂直相交的兩直線，若其中的一直線平行于某投影面時(shí)，則在該投影面的投影仍為直角。反之，若相交兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時(shí)，則該兩直線在空間必互相垂直。這就是直角投影定理。如圖234所示。已知ABBC，且AB為正平線，所以ab必垂直于bc 。（a） （b） 圖234 垂直相交的兩直線的投影2、講解例題（目的是幫助學(xué)生理解掌握利用直角投影定理圖解空間幾何問題的解題思路和解題方法）（1）例27 求點(diǎn)A到直線BC的距離， 如圖235（a） （a）題目 （b）解法 圖235 求點(diǎn)到直線的距離（2）例28 如圖236（a）所示，已知菱形ABCD的一條對(duì)角線AC為一正平線，菱形的一邊AB位于直線AM上，求該菱形的投影圖。（a）題目 （b）解法圖236 求菱形的投影圖四、小結(jié)1、平行兩直線的投影特性和判別方法。2、相交兩直線的投影特性和判別方法。3、交叉兩直線的投影特性。4、直角投影定理的應(yīng)用五、布置作業(yè)習(xí)題集22（3）、（4）、（5）、（6）、（8）、（9）、（10）、（11）第十一講 25 平面的投影課 題：1、平面的表示法2、平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性3、各種位置平面的投影特性課堂類型：講授教學(xué)目的：1、介紹平面的兩種表示法2、講解三種投影面平行面和三種投影面垂直面的投影特性教學(xué)要求：1、熟悉平面在投影圖上的表示法2、理解并掌握各種位置平面的投影特性，并能根據(jù)投影特性判別平面對(duì)投影面的相對(duì)位置教學(xué)重點(diǎn)：各種位置平面的投影特性，教 具：自制的三投影面體系模型； 掛圖：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性”教學(xué)方法：平面投影的實(shí)質(zhì)，就是平面形各頂點(diǎn)的同面投影依次連線。各種位置平面的投影，講解重點(diǎn)放在投影特性和有無實(shí)形的判斷上；對(duì)于每一種位置平面形的投影，重點(diǎn)講解其中的一種類型，其他類型可由學(xué)生自己分析解決。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課1、復(fù)習(xí)兩直線各種相對(duì)位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判別方法。2、結(jié)合作業(yè)講解直角投影定理的應(yīng)用。二、引入新課題平面圖形具有一定的形狀、大小和位置，常見的有三角形、矩形、正多邊形等直線輪廓的平面形。另外，還有一些由直線或曲線圍成的平面形。平面投影的實(shí)質(zhì)，就是求平面形輪廓上的一系列的點(diǎn)的投影（對(duì)于多邊形而言則是其頂點(diǎn)），然后將各點(diǎn)的同面投影依次連線。三、教學(xué)內(nèi)容（一）平面的表示法在投影圖上表示平面有兩種方法。1、一組幾何元素的投影表示平面（1）不在同一直線上的三點(diǎn)，如圖237（a）（2）一直線和直線外一點(diǎn)，如圖237（b）（3）相交兩直線，如圖237（c）（4）平行兩直線，如圖237（d）（5）任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，如圖237（e） （a） （b） （c） （d） （e）圖237 用幾何元素表示平面注意：為了解題的方便，常常用一個(gè)平面圖形（如三角形）表示平面。2、跡線表示法跡線空間平面與投影面的交線，如圖238（a）所示。平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。PH 、PV 、PW兩兩相交的交點(diǎn)Px 、PY 、PZ稱為跡線集合點(diǎn)，它們分別位于OX、OY、OZ軸上。由于跡線既是平面內(nèi)的直線，又是投影面內(nèi)的直線，所以跡線的一個(gè)投影與其本身重合，另兩個(gè)投影與相應(yīng)的投影軸重合。在用跡線表示平面時(shí)，為了簡(jiǎn)明起見，只畫出并標(biāo)注與跡線本身重合的投影，而省略與投影軸重合的跡線投影，如圖238（b）所示。（a） （b）圖238 用跡線表示平面（二）平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性空間平面相對(duì)于一個(gè)投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。1、真實(shí)性 當(dāng)平面與投影面平行時(shí)，則平面的投影為實(shí)形，如圖239（a）所示。2、積聚性 當(dāng)平面與投影面垂直時(shí)，則平面的投影積聚成一條直線，如圖239（b）所示。3、類似性 當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時(shí)，則平面的投影是小于平面實(shí)形的類似形，如圖239（c）所示。（a） （b） （c）圖239 平面的投影特性（三）各種位置平面的投影特性 根據(jù)平面在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三類。前一類平面稱為一般位置平面，后兩類平面稱為特殊位置平面。1、投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面且同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。垂直于V面的稱為正垂面；垂直于H面的稱為鉛垂面；垂直于W面的稱為側(cè)垂面。平面與投影面所夾的角度稱為平面對(duì)投影面的傾角。、分別表示平面對(duì)H面、V面、W面的傾角。舉例說明：鉛垂面的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影均為類似形；（2）一個(gè)投影積聚為直線，并反映、角?？偨Y(jié)投影面平行線的投影特性：兩面一線。要求學(xué)生必須掌握表23中的圖例。對(duì)于投影面垂直面的辨認(rèn)：如果空間平面在某一投影面上的投影積聚為一條與投影軸傾斜的直線，則此平面垂直于該投影面。講解例題（例29） 如圖239（a）所示，四邊形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B點(diǎn)的V面投影b，且于H面的傾角= 45，求作該平面的V面和W面投影。（a）題目 （b）解答圖240 求作四邊形平面ABCD的投影2、投影面平行面平行于一個(gè)投影面且同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。平行于V面的稱為正平面；平行于H面的稱為水平面；平行于W面的稱為側(cè)平面；舉例說明：正平面的投影特性強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影積聚為直線；（2）一個(gè)投影反映實(shí)形?？偨Y(jié)投影面平行線的投影特性：兩線一面。要求學(xué)生必須掌握表24中的圖例。對(duì)于投影面垂直面的辨認(rèn)：如果空間平面在某一投影面上的投影積聚為一條與投影軸傾斜的直線，則此平面垂直于該投影面。3、一般位置平面與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的平面稱為一般位置平面。例如平面ABC與H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為、。其投影如圖241所示。一般位置平面的投影特征可歸納為：一般位置平面的三面投影，既不反映實(shí)形，也無積聚性，而都為類似形。 圖241 一般位置平面對(duì)于一般位置平面的辨認(rèn)：如果平面的三面投影都是類似的幾何圖形的投影，則可判定該平面一定是一般位置平面。四、小結(jié)1、平面的兩種表示法。2、三種位置平面（包括七種類型）的投影特性，尤其注意：有無實(shí)形的判斷。五、布置作業(yè)五、布置作業(yè)習(xí)題集23（1）、（4）、（5）第十二講 25 平面的投影課 題：1、平面上的直線和點(diǎn)2、平面上的投影面平行線課堂類型：講授教學(xué)目的：1、講解在平面上取點(diǎn)、取直線的作圖方法 2、講解在平面上取投影面平行線的作圖方法教學(xué)要求：1、能夠熟練掌握在平面上取點(diǎn)、取直線的作圖方法2、能夠根據(jù)在平面上的點(diǎn)、直線的投影規(guī)律，特別是用平面上的投影面平行線，完成一些簡(jiǎn)單的圖解問題教學(xué)重點(diǎn)：在平面上取點(diǎn)、取直線、取投影面平行線的作圖方法教學(xué)難點(diǎn)：利用在平面上的點(diǎn)、直線的投影規(guī)律，圖解空間幾何問題教 具：自制的三投影面體系模型；教學(xué)方法：例題輔助講解教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊課1、平面的兩種表示法：幾何元素法和跡線表示法。2、三種位置平面（包括七種類型）的投影特性。二、引入新課題上次課我們學(xué)習(xí)了三種位置直線的投影特性，本次課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)在平面上取點(diǎn)、取直線的作圖問題。三、教學(xué)內(nèi)容（一）平面上的直線和點(diǎn)1、平面上的點(diǎn)點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的一直線上，則該點(diǎn)必在平面上。因此在平面上取點(diǎn)，必須先在平面上取一直線，然后再在該直線上取點(diǎn)。這是在平面的投影圖上確定點(diǎn)所在位置的依據(jù)。舉例：如圖242所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P，點(diǎn)S取自直線AB，所以點(diǎn)S必在平面P上。（a） （b）圖242 平面上的點(diǎn)2、平面上的直線直線在平面上的幾何條件是：（1）若一直線通過平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線必定在該平面上。（2）若一直線通過平面上的一點(diǎn)并平行于平面上的另一直線，則此直線必定在該平面上。舉例之一：如圖243所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P，分別在直線AB、AC上取點(diǎn)E、F，連接EF，則直線EF為平面P上的直線。作圖方法見圖243（b）所示。（a） （b）舉例之二：如圖244所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P，在直線AC上取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線MNAB，則直線MN為平面P上的直線。作圖方法見圖244（b）所示。 （a） （b）圖243 平面上的直線3、講解例題（例210） 如圖245（a）所示，試判斷點(diǎn)K和點(diǎn)M是否屬于ABC所確定的平面。（a）題目 （b）解答 圖245 判斷點(diǎn)是否屬于平面（二）平面上的投影面平行線1、定義屬于平面且又平行于一個(gè)投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。平面上的投影面平行線一方面要符合平行線的投影特性，另一方面又要符合直線在平面上的條件。2、舉例：如圖246所示，過A點(diǎn)在平面內(nèi)要作一水平線AD，可過a 作a d OX軸，再求出它的水平投影ad，a d 和ad即為ABC上一水平線AD的兩面投影。如過C點(diǎn)在平面內(nèi)要作一正平線CE，可過c作c eOX軸，再求出它的正面投影c e，c e 和ce即為ABC上一正平線CE的兩面投影。 圖246 平面上的投影面平行線3、講解例題（例211） ABC平面如圖247（a）所示，要求在ABC平面上取一點(diǎn)K ，使K點(diǎn)在A點(diǎn)之下15mm ，在A點(diǎn)之前10mm ，試