八年級數(shù)學(xué)上冊 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形的性質(zhì)課件 （新版）滬科版.ppt

第15章軸對稱圖形與等腰三角形 15 3等腰三角形 第1課時等腰三角形的性質(zhì) 1 課堂講解 等腰三角形的邊角性質(zhì) 等邊對等角等腰三角形的軸對稱性 三線合一 2 課時流程 逐點導(dǎo)講練 課堂小結(jié) 作業(yè)提升 等腰三角形是一類特殊的三角形 等腰三角形除具有一般三角形的性質(zhì)外 還具有什么樣的特殊性質(zhì)呢 1 知識點 等腰三角形的邊角性質(zhì) 等邊對等角 操作畫一個等腰三角形abc 如圖 1 把邊ab疊合到邊ac上 這時點b與點c重合 并出現(xiàn)折痕ad 如圖 2 觀察圖形 adb與 adc有什么關(guān)系 圖中哪些線段或角相等 ad與bc垂直嗎 為什么 知1 導(dǎo) 知1 導(dǎo) 等腰三角形是軸對稱圖形 底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸 知1 講 等腰三角形的邊角性質(zhì) 等邊對等角定理1 等腰三角形的兩底角相等 簡稱 等邊對等角 要點精析 1 適用條件 必須在同一個三角形中 2 應(yīng)用格式 在 abc中 因為ab ac 所以 b c 3 作用 它是證明角相等常用的方法 應(yīng)用它可省去三角形全等的證明 因而更簡便 例1已知 如圖 在 abc中 ab ac bac 120 點d e是底邊上兩點 且bd ad ce ae 求 dae的度數(shù) 解 ab ac 已知 b c 等邊對等角 b c 又 bd ad 已知 bad b 30 等邊對等角 同理 cae c 30 dae bac bad cae 120 30 30 60 知1 講 來自 點撥 知1 講 本例中去掉ab ac這個條件 能否求得 dae的度數(shù) 本題給你怎樣的啟示 例2 1 在 abc中 ab ac 若 a 50 求 b 2 若等腰三角形的一個角為70 求頂角的度數(shù) 3 若等腰三角形的一個角為90 求頂角的度數(shù) 導(dǎo)引 給出的條件中 若底角 頂角已確定 可直接運用三角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)求解 若給出的條件中底角 頂角不確定 則要分兩種情況求解 解 1 ab ac b c a b c 180 50 2 b 180 解得 b 65 知1 講 知1 講 來自 點撥 2 當(dāng)?shù)捉菫?0 時 頂角為180 70 2 40 當(dāng)頂角為70 時 70 即為所求 因此頂角為40 或70 3 若頂角為90 則底角為若底角為90 則三個內(nèi)角的和將大于180 不符合三角形內(nèi)角和定理 因此頂角為90 總結(jié) 知1 講 來自 點撥 在等腰三角形中求角時 要看給出的角是否確定為頂角或底角 若已確定 則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解 若沒有指出所給的角是頂角還是底角 要分兩種情況討論 并看是否符合三角形內(nèi)角和定理 若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角 則此角必為頂角 知1 講 例3 廣西賀州 如圖 在等腰 abc中 ab ac dbc 15 ab的垂直平分線mn交ac于點d 則 a的度數(shù)是 導(dǎo)引 根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可得ad bd 根據(jù)等邊對等角可得 a abd 然后表示出 abc 再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得 c abc 然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可 mn是ab的垂直平分線 ad bd a abd dbc 15 abc a 15 ab ac c abc a 15 a a 15 a 15 180 解得 a 50 50 來自 點撥 總結(jié) 知1 講 來自 點撥 由線段的垂直平分線可以得到相等的線段 運用等腰三角形性質(zhì)可以將同一個三角形中線段的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為所對內(nèi)角之間的相等關(guān)系 知1 講 例4已知 如圖 在 abc中 ab ac 點d在ac上 且bd bc ad 求 a和 c的度數(shù) 解 ab ac bd bc ad 已知 abc c bdc a abd 等邊對等角 設(shè) a x 則 bdc a abd 2x 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 abc c bdc 2x x 2x 2x 180 三角形內(nèi)角和等于180 解方程 得x 36 a 36 c 72 來自教材 知1 講 例5求證 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等 已知 如圖 1 在rt abc和rt a b c 中 c c 90 ab a b ac a c 求證 rt abc rt a b c 本例是14 2節(jié)中已經(jīng)學(xué)過的判定兩個直角三角形全等的定理 hl 的證明 知1 講 證明 在平面內(nèi)移動rt abc和rt a b c 使點a和點a 點c和點c 重合 點b和點b 在ac的兩側(cè) 圖 2 bcb 90 90 180 等式性質(zhì) b c b 三點在一條直線上 平角的定義 在 abb 中 ab ab 已知 b b 等邊對等角 在rt abc和rt a b c 中 rt abc rt a b c aas 來自教材 1 填空 1 等腰直角三角形的每一個銳角的度數(shù)是 2 如果等腰三角形的底角等于40 那么它的頂角的度數(shù)是 3 如果等腰三角形有一個內(nèi)角等于80 那么這個三角形的最小內(nèi)角等于 中考 鹽城 若等腰三角形的頂角為40 則它的底角度數(shù)為 a 40 b 50 c 60 d 70 知1 練 來自教材 2 來自 典中點 3 中考 湘西州 如圖 在等腰三角形abc中 ab ac bd平分 abc a 36 則 1的度數(shù)為 a 36 b 60 c 72 d 108 中考 丹東 如圖 在 abc中 ab ac a 30 e為bc延長線上一點 abc與 ace的平分線交于點d 則 d的度數(shù)為 a 15 b 17 5 c 20 d 22 5 知1 練 來自 典中點 4 2 知識點 等腰三角形的軸對稱性 三線合一 知2 講 等腰三角形的軸對稱性 三線合一 定理2 等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊 結(jié)論 等腰三角形頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高相互重合 簡稱 三線合一 要點精析 1 含義 這是等腰三角形所特有的性質(zhì) 它實際是一組定理 應(yīng)用過程中 在三角形是等腰三角形前提下 頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高 只要知道其中 一線 就可以說明是其他 兩線 2 作用 是證明線段相等 角相等 垂直等關(guān)系的重要方法 應(yīng)用廣泛 知2 講 來自 點撥 3 對稱性 等腰三角形是軸對稱圖形 頂角平分線 或底邊上的高 底邊上的中線 所在的直線是它的對稱軸 4 應(yīng)用格式 如圖 在 abc中 ab ac ad bc ad平分 bac 或bd cd ab ac bd dc ad bc 或ad平分 bac ab ac ad平分 bac bd dc 或ad bc 知2 講 例6如圖 在 abc中 ab ac ad是bc邊上的中線 abc的平分線bg交ac于點g 交ad于點e ef ab 垂足為f 1 若 bad 25 求 c的度數(shù) 2 求證 ef ed 解 1 ab ac ad是bc邊上的中線 bad cad bac 2 bad 50 ab ac c abc 知2 講 證明 2 ab ac ad是bc邊上的中線 ad bc bde 90 ef ab bfe 90 bfe bde 又 bg平分 abc fbe dbe be為公共邊 bde bfe ef ed 來自 點撥 總結(jié) 知2 講 來自 點撥 等腰三角形 三線合一 的性質(zhì)是證明角相等 線段相等和垂直關(guān)系的既重要又簡便的方法 因為題目的證明或計算所求結(jié)果大多都是單一的 所以 三線合一 的性質(zhì)的應(yīng)用也是單一的 一般得出一個結(jié)論 因此應(yīng)用要靈活 在等腰三角形中 作 三線 中 一線 利用 三線合一 是等腰三角形中常用的方法 知2 講 例7如圖所示 ab ae bc de b e am cd 垂足為m 求證 cm md 導(dǎo)引 由已知am cd和結(jié)論cm md 聯(lián)想到等腰三角形 三線合一 的性質(zhì) 由此連接ac ad構(gòu)造等腰三角形 證明 如圖 連接ac ad 在 abc和 aed中 abc aed sas ac ad 又 am cd cm md 總結(jié) 知2 講 對于單一等腰三角形構(gòu)造 三線合一 的基本圖形 作底邊上的高 中線還是頂角平分線 可根據(jù)解題需要作輔助線 對于疊合等腰三角形構(gòu)造 三線合一 的基本圖形 則需巧作輔助線 下面就如下幾種圖形說明巧作輔助線的方法 總結(jié) 知2 講 來自 點撥 1 如圖甲的情形 需作底邊上的高 2 如圖乙的情形 需作頂角平分線 3 如圖丙的情形 需作中線 4 如圖丁的情形 需連接ad并延長再證其是 三線 即可 1 已知 如圖 ab ac ab的垂直平分線ed交ac于點d a 40 求 dbc的度數(shù) 如圖 在 abc中 ab ac 點d是bc邊的中點 點e在ad上 那么下列結(jié)論不一定正確的是 a ad bcb ebc ecbc abe aced ae be 知2 練 來自 典中點 2 來自教材 3 如圖 在 abc中 ab ac ad bc于點d de ab于點e df ac于點f 下列結(jié)論 bad cad de df bd cd 若點p在直線ad上 則pb pc 其中正確的是 a