《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識講解（提高）

宇軒在線資源中心 銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（提高）責(zé)編：康紅梅 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30、45、60的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)；2能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；3理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題；4通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問題對微積分的思想有所感受.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在RtABC中，C=90，如果銳角A確定： (1)sinA=，這個比叫做A的正弦. (2)cosA=，這個比叫做A的余弦.(3)tanA=，這個比叫做A的正切.要點(diǎn)詮釋：(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示A三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“”， 但不能寫成sinA，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“”不能省略，應(yīng)寫成sinBAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.2.銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù).要點(diǎn)詮釋：1. 函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是A的函數(shù)，其中A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量A的取值范圍是0A90，函數(shù)值的取值范圍是0sinA1，0cosA1，tanA0.2銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式” 如A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函數(shù)值A(chǔ)304560sinAcosAtanA130、45、60角的三角函數(shù)值和解30、60直角三角形和解45直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.要點(diǎn)二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即A+B=90；邊邊關(guān)系：勾股定理，即；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即要點(diǎn)詮釋：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.2.常見應(yīng)用問題(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90A，銳角、對邊(如A，a)B=90A，斜邊、銳角(如c，A)B=90A， 2用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的基本方法是：把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼?銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1在RtABC中，C90，若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則A的正弦值是( ) A擴(kuò)大2倍 B縮小2倍 C擴(kuò)大4倍 D不變【答案】 D；【解析】根據(jù)知sinA的值與A的大小有關(guān)，與的比值有關(guān)當(dāng)各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍時，其的比值不變故選D.【總結(jié)升華】 銳角三角函數(shù)正弦、余弦和正切反映了直角三角形中邊與邊的關(guān)系舉一反三：【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固 高清ID號：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例3】【變式1】已知，如圖，中，求cosA及tanA【答案】易證點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，ADEABC，cosA= tanA=【變式2】如圖所示，已知ABC是O的內(nèi)接三角形，ABc，ACb，BCa，請你證明 【答案】 證明：O是ABC的外接圓，設(shè)圓的半徑為R，連結(jié)AO并延長交O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，則BDAD是O的直徑，ACD90即ADC為直角三角形，同理可證：，類型二、 特殊角三角函數(shù)值的計算2已知a3，且，則以a、b、c為邊長的三角形面積等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根據(jù)題意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且C90，所以【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45的值不要記錯舉一反三：【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固 高清ID號：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：計算】【變式】計算：60【答案】原式= =類型三、 解直角三角形3如圖所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一點(diǎn)，若，則AD的長為( ) A2 B C D1【思路點(diǎn)撥】 如何用好是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等【答案】 A；【解析】 作DEAB于點(diǎn)E因為ABC為等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又設(shè)DEx，則AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE【總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三角函數(shù)值；若已知一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過銳角三角函數(shù)列出含有未知元素和已知元素的等式求解 類型四 、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合4（2016連云港）如圖，在ABC中，C=150，AC=4，tanB=（1）求BC的長；（2）利用此圖形求tan15的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：=1.4，=1.7，=2.2）【思路點(diǎn)撥】（1）過A作ADBC，交BC的延長線于點(diǎn)D，由含30的直角三角形性質(zhì)得AD=AC=2，由三角函數(shù)求出CD=2，在RtABD中，由三角函數(shù)求出BD=16，即可得出結(jié)果；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，求出AMC=MAC=15，tan15=tanAMD=即可得出結(jié)果【答案與解析】 解：（1）過A作ADBC，交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖1所示：在RtADC中，AC=4，C=150，ACD=30，AD=AC=2，CD=ACcos30=4=2，在RtABD中，tanB=，BD=16，BC=BDCD=162；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：ACB=150，AMC=MAC=15，tan15=tanAMD=0.270.3【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵舉一反三：【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固 高清ID號：395953關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例6-例8】【變式】如圖，設(shè)P是矩形ABCD的AD邊上一動點(diǎn)，于點(diǎn)E，于F，求的值 【答案】如圖，sin1= sin2= 由矩形ABCD知1=2，則 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=，所以PE+PF= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1= 類型五、三角函數(shù)與實(shí)際問題5（2015保康縣模擬）如圖，某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且CB=5米（1）求鋼纜CD的長度；（精確到0.1米）（2）若AD=2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且EAB=120，則燈的頂端E距離地面多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan40=0.84，sin40=0.64，cos40=）【答案與解析】 解：（1）在RtBCD中，6.7；（2）在RtBCD中，BC=5，BD=5tan40=4.2過E作AB的垂線，垂足為F，在RtAFE中，AE=1.6，EAF=180120=60，AF=0.8.FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米答：鋼纜CD的長度為6.7米，燈的頂端E距離地面7米【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.6（2015攀枝花）如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60的方向一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30）以vkm/h的速度駛離港口O，同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給游船送去（1）快艇從港口B到小島C需要多長時間？（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時1h，求v的值及相遇處與港口O的距離 【答案與解析】解：（1）CBO=60，COB=30，BCO=90在RtBCO中，OB=120，BC=OB=60，