高考數(shù)學(xué) 4.2平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算配套課件 文 新人教A版.ppt

第二節(jié)平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算 1 平面向量基本定理 不共線(xiàn) 1e1 2e2 2 平面向量的坐標(biāo)表示 1 向量的夾角 定義 如圖 已知兩個(gè) a和b 作則向量a與b的夾角是 或 范圍 向量a與b的夾角的范圍是 非零向量 0 180 aob 當(dāng) 0 時(shí) a與b 當(dāng) 180 時(shí) a與b 當(dāng) 90 時(shí) a與b 2 平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為 叫做把向量正交分解 同向 反向 垂直 兩個(gè)互相垂直的向量 3 平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i j作為基底 由平面向量基本定理知 該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a xi yj 由于a與數(shù)對(duì) x y 是一一對(duì)應(yīng)的 因此向量a的坐標(biāo)是 記作a 其中a在x軸上的坐標(biāo)是 a在y軸上的坐標(biāo)是 x y x y x y 4 規(guī)定 相等的向量坐標(biāo) 坐標(biāo) 的向量是相等的向量 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn) 終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān) 只與其相對(duì)位置有關(guān)系 相同 相同 3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 4 平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 則a b共線(xiàn)a b x1y2 x2y1 0 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底 2 在 abc中 向量的夾角為 abc 3 若a b不共線(xiàn) 且 1a 1b 2a 2b 則 1 2 1 2 4 平面向量的基底不唯一 只要基底確定后 平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示 5 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)在形式上完全一樣 但意義完全不同 向量的坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息 6 若a x1 y1 b x2 y2 則a b的充要條件可表示成 解析 1 錯(cuò)誤 只有不共線(xiàn)的兩個(gè)向量才能作為平面的一組基底 2 錯(cuò)誤 由向量夾角的定義知在 abc中 向量的夾角為 abc的補(bǔ)角 3 正確 由 1a 1b 2a 2b 得 1 2 a 1 2 b 0 又a b不共線(xiàn) 故 1 2 1 2 0 從而 1 2 1 2 4 正確 由基底的定義及平面向量基本定理知正確 5 正確 由向量的坐標(biāo)的意義可知正確 6 錯(cuò)誤 因?yàn)閤2 y2有可能等于0 所以應(yīng)表示為x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 4 5 6 1 若已知e1 e2是平面上的一組基底 則下列各組向量中不能作為基底的一組是 a e1與 e2 b 3e1與2e2 c e1 e2與e1 e2 d e1與2e1 解析 選d 由題意知向量e1與2e1共線(xiàn) 故不能作為平面的基底 2 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 則c a 3a b b 3a b c a 3b d a 3b 解析 選b 設(shè)c xa yb 則 3 設(shè)向量a m 1 b 1 m 如果a與b共線(xiàn)且方向相反 則m的值為 解析 選a 設(shè)a b 0 即m 且1 m 解得m 1 0 m 1 4 設(shè)向量a 1 3 b 2 4 若表示向量4a 3b 2a c的有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成三角形 則向量c 解析 選c 設(shè)c x y 則4a 3b 2a c 0 5 若a 0 1 b 1 2 c 3 4 則 解析 由題意知故答案 3 3 6 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 則m 解析 a b 1 m 1 a b c 2 1 m 1 0 m 1 答案 1 考向1平面向量基本定理及其應(yīng)用 典例1 1 下列各組向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是 a b c d 2 如圖 在 abc中 de bc交ac于e bc邊上的中線(xiàn)am交de于n 設(shè)用a b表示向量 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 選a 中的兩向量不共線(xiàn) 中e1 故兩向量共線(xiàn) 中故兩向量共線(xiàn) 綜上 只有 中的兩向量可作為平面的一組基底 又am是 abc的中線(xiàn) de bc 又 adn abm 互動(dòng)探究 在本例題 2 圖中 連結(jié)c d交am于點(diǎn)p 若求 的值 解析 拓展提升 用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路先選擇一組基底 并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式 再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決 在基底未給出的情況下 合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便 另外 要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理 變式訓(xùn)練 如圖所示 e f分別是四邊形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac bd的中點(diǎn) 已知 解析 方法一 連結(jié)af 考向2平面向量的基本運(yùn)算 典例2 1 2013 廣州模擬 在 abc中 點(diǎn)p在bc上 且點(diǎn)q是ac的中點(diǎn) 若則等于 a 2 7 b 6 21 c 2 7 d 6 21 2 已知點(diǎn)a 2 1 b 0 2 c 2 1 o 0 0 給出下面的結(jié)論 直線(xiàn)oc與直線(xiàn)ba平行 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè) 3 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 且則向量 思路點(diǎn)撥 1 利用三角形中線(xiàn)性質(zhì)求 再根據(jù)與的關(guān)系求 2 根據(jù)向量的共線(xiàn)及向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則逐一驗(yàn)證即可 3 利用平面向量的基本概念及其坐標(biāo)表示求解 規(guī)范解答 1 選b 2 選c 由題意得故又無(wú)公共點(diǎn) 故oc ba 正確 故 錯(cuò)誤 故 正確 故 正確 所以選c 3 a 2 4 b 3 1 c 3 4 答案 9 18 拓展提升 兩向量相等的充要條件兩向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分別相等 即利用向量相等可列出方程組求其中的未知量 從而解決求字母的取值 點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)等問(wèn)題 提醒 1 當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí) 向量的坐標(biāo)即為終點(diǎn)坐標(biāo) 反之也成立 2 運(yùn)用向量相等來(lái)解題時(shí) 可根據(jù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等建立方程 或方程組 解題時(shí)要注意方程思想的運(yùn)用 變式訓(xùn)練 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 o為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè) 1 求 2 求滿(mǎn)足 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 5 5 考向3平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示 典例3 1 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 則銳角 等于 a 30 b 45 c 60 d 75 2 已知a 1 0 b 2 1 當(dāng)k為何值時(shí) ka b與a 2b共線(xiàn) 若且a b c三點(diǎn)共線(xiàn) 求m的值 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 選b 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 為銳角 所以 45 2 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b與a 2b共線(xiàn) 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得 方法一 a b c三點(diǎn)共線(xiàn) 即 方法二 a b c三點(diǎn)共線(xiàn) 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 m 拓展提升 1 向量共線(xiàn)的兩種表示形式 至于使用哪種形式 應(yīng)視題目的具體條件而定 一般情況涉及坐標(biāo)的用 2 兩向量共線(xiàn)的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(xiàn) 平行 可解決三點(diǎn)共線(xiàn)的問(wèn)題 另外 利用兩向量共線(xiàn)的充要條件可以列出方程 組 求出未知數(shù)的值 變式訓(xùn)練 1 若向量a 1 x 與b x 2 共線(xiàn)且方向相同 則x 解析 a 1 x 與b x 2 共線(xiàn) 1 2 x x 0 x a與b方向相同 答案 2 若三點(diǎn)a 2 2 b a 0 c 0 b ab 0 共線(xiàn) 則的值為 解析 由條件得 a 2 2 2 b 2 根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)得 a 2 b 2 4 整理得2 a b ab 所以答案 易錯(cuò)誤區(qū) 忽視平行四邊形的多樣性致誤 典例 2013 中山模擬 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 1 0 3 0 1 5 求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 誤區(qū)警示 1 解答此題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)因是思維定勢(shì) 認(rèn)為平行四邊形只是如圖1所示的一種情形 從而忽視了另外的兩種情形 2 若已知平行四邊形abcd的三個(gè)頂點(diǎn)a b c的坐標(biāo) 則點(diǎn)d的坐標(biāo)只有一種情形 而此題中給出了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn) 并沒(méi)有給出順序 故應(yīng)存在三種可能 規(guī)范解答 如圖2所示 設(shè)a 1 0 b 3 0 c 1 5 d x y 1 若四邊形abcd1為平行四邊形 則而 d1 3 5 2 若四邊形acd2b為平行四邊形 則而 d2 5 5 3 若四邊形acbd3為平行四邊形 則而綜上所述 平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 3 5 或 5 5 或 1 5 思考點(diǎn)評(píng) 1 注意轉(zhuǎn)化方法的利用求點(diǎn)的坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為求向量的坐標(biāo) 通過(guò)設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo) 進(jìn)而求得向量的坐標(biāo) 利用向量的共線(xiàn)或向量的相等建立方程 或方程組 進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo) 2 注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用由于平行四邊形的形狀不確定 故應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論 將平行四邊形的各種情況考慮全 以免漏解 1 2012 廣東高考 若向量 1 2 3 4 則 a 4 6 b 4 6 c 2 2 d 2 2 解析 選a 2 2013 揭陽(yáng)模擬 在 abc中 p是bc邊中點(diǎn) 角a b c的對(duì)邊分別是a b c 若則 abc的形狀為 a 等邊三角形 b 鈍角三角形 c 直角三角形 d 等腰三角形但不是等邊三角形 解析 選a 如圖 由而為不共線(xiàn)向量 a c c b 0 a b c 3 2013 湛江模擬 如圖所示 平面內(nèi)有三個(gè)向量其中的夾角為120 與的夾角為30 且若則 的值為 解析 以oc為對(duì)角線(xiàn) 方向?yàn)檫呑髌叫兴倪呅蝟dce 由已知 cod 30 coe ocd 90 在rt ocd中 在rt oce中 故 4 2 6 答案 6 4 2013 韶關(guān)模擬 已知a是以點(diǎn)a 3 1 為起點(diǎn) 且與向量b 3 4 平行的單位向量 則向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是 解析 設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是 x y 則a x 3 y 1 由題意可知 則解得則向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是答案 5 2012 山東高考 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 一單位圓的圓心的初始位置在 0 1 此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在 0 0 圓在x軸上沿正向滾動(dòng) 當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于 2 1 時(shí) 的坐標(biāo)為 解析 設(shè)圓心運(yùn)動(dòng)到c時(shí) 圓與x軸的切點(diǎn)為d 則弧pd的長(zhǎng)為2 所以 pcd 2 點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為2 cos 2 2 sin2 點(diǎn)p的縱坐標(biāo)為1 sin 2 1 cos2 所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為 2 sin2 1 cos2 即的坐標(biāo)為 2 sin2 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 1 在平面直角坐標(biāo)系中 若o為坐標(biāo)原點(diǎn) 則a b c三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù) 使得 成立 此時(shí)稱(chēng)實(shí)數(shù) 為 向量的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù) 若已知p1 3 1 p2 1 3 且向量與向量a 1 1 垂直 則 向量的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù) 為 a 3 b 3 c 1 d 1 解析 選d 由與向量a 1 1 垂直 可設(shè) t t t 0 由得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 兩式相加得2 2 0 1 2 在平面直角坐標(biāo)系中 o為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)向量其中若且0 1 c點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是 解析 選a 由題意知 3 3 取特殊值 0 0 知所求區(qū)域包含原點(diǎn) 取 0 1 知所求區(qū)域包含 1 3 從而選a 3 已知向量u x y 與向量v y 2y x 的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v f u 來(lái)表示 1 證明 對(duì)于任意向量a b及常數(shù)m n恒有f ma nb mf a nf b 成立 2 設(shè)a 1 1 b 1 0 求向量f a 及f b 的坐標(biāo) 3 求使f c p q p q為常數(shù) 的向量c的坐標(biāo)