抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考抽象代數(shù)試題及答案 本科一、單項(xiàng)選擇題(在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案，并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每小題3分)1. 設(shè)Q是有理數(shù)集，規(guī)定f(x)= +2；g(x)=+1,則（fg）(x)等于（ B ）A. B. C. D. 2. 設(shè)是到的單射，是到的單射，則是到的 （ A ）A. 單射B. 滿射C. 雙射D. 可逆映射 3. 設(shè) S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），則S3中與元素（1 32）不能交換的元的個(gè)數(shù)是( C )。A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是( B )。A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 4個(gè)D. 無限個(gè)5. 剩余類環(huán)Z10的子環(huán)有( B )。A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)6. 設(shè)G是有限群，aG, 且a的階|a|=12, 則G中元素的階為( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 97設(shè)G是有限群，對任意a,bG，以下結(jié)論正確的是( A ) A. B. b的階不一定整除G的階 C. G的單位元不唯一 D. G中消去律不成立8. 設(shè)G是循環(huán)群，則以下結(jié)論不正確的是( A ) A. G的商群不是循環(huán)群 B. G的任何子群都是正規(guī)子群 C. G是交換群 D. G的任何子群都是循環(huán)群9. 設(shè)集合 A=a,b,c, 以下AA的子集為等價(jià)關(guān)系的是( C )A. = (a,a),(a,b),(a,c),(b,b) B. = (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C. = (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D. = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10. 設(shè)是到的滿射，是到的滿射，則是到的 （ B ）A. 單射B. 滿射C. 雙射D. 可逆映射11. 設(shè) S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），則S3中與元素（1 2）能交換的元的個(gè)數(shù)是( B )。A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余類環(huán)中，其可逆元的個(gè)數(shù)是( D )。A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)13. 設(shè)（R，+，）是環(huán) ，則下面結(jié)論不正確的有( C )。A. R的零元惟一 B. 若，則C. 對，的負(fù)元不惟一 D. 若，則14. 設(shè)G是群，aG, 且a的階|a|=12, 則G中元素的階為( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 915設(shè)G是有限群，對任意a,bG，以下結(jié)論正確的是( A ) A. B. |b| = C. G的單位元不唯一 D. 方程在G中無解16. 設(shè)G是交換群，則以下結(jié)論正確的是( B )A. G的商群不是交換群 B. G的任何子群都是正規(guī)子群 C. G是循環(huán)群 D. G的任何子群都是循環(huán)群17. 設(shè)A=1，-1, i，-i，B = 1, -1, : AB, , aA，則是從A到B的( A )。A. 滿射而非單射B. 單射而非滿射 C. 一一映射D. 既非單射也非滿射18.設(shè)A=R（實(shí)數(shù)域）， B=（正實(shí)數(shù)集）， :a， aA，則 是從A到B的( C )。A.滿射而非單射 B.單射而非滿射 C.一一映射 D.既非單射也非滿射 19.設(shè)A=所有實(shí)數(shù)x，A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿射的是( C )。 A.x10x B.x2x C.x|x| D.x-x20. 數(shù)域P上的n階可逆上三角矩陣的集合關(guān)于矩陣的乘法( C )A. 構(gòu)成一個(gè)交換群 B. 構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群 C. 構(gòu)成一個(gè)群 D. 構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)21.在高斯整數(shù)環(huán)Zi中，可逆元的個(gè)數(shù)為（ D ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)22 . 剩余類加群Z8的子群有( B )。A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)23. 下列含有零因子的環(huán)是 （ B ）A. 高斯整數(shù)環(huán)Zi B.數(shù)域P上的n階全矩陣環(huán) C. 偶數(shù)環(huán) 2Z D. 剩余類環(huán)24 設(shè)(R,+,)是一個(gè)環(huán)，則下列結(jié)論正確的是（ D ） A. R中的每個(gè)元素都可逆 B. R的子環(huán)一定是理想 C. R一定含有單位元 D. R的理想一定是子環(huán)25設(shè)群G是6階循環(huán)群，則群G的子群個(gè)數(shù)為（ A ） A 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè)26. 設(shè)A = a, b, c，B = 1,2,3, 則從集合A到集合B的滿射的個(gè)數(shù)為 ( D )。A. 1B. 2 C. 3 D. 627. 設(shè)集合 A = a, b, c, 則以下集合是集合A的分類的是 ( C )A. = a, b,a, c B. = a,b, c,b,aC. = a,b,c D. = a,b,b,c,c28. 設(shè)R = ，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，則這個(gè)矩陣環(huán)是( A )。A. 有單位元的交換環(huán) B. 無單位元的交換環(huán)C. 無單位元的非交換環(huán) D. 有單位元的非交換環(huán)29. 設(shè)S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），則S3的子群的個(gè)數(shù)是( D )。A. 1B. 2C. 3D. 630. 在高斯整數(shù)環(huán)Zi中，單位元是( B )。A. 0B. 1C. D. 31. 設(shè)G是運(yùn)算寫作乘法的群，則下列關(guān)于群G的子群的結(jié)論正確的是 ( B )。A. 任意兩個(gè)子群的乘積還是子群 B. 任意兩個(gè)子群的交還是子群 C. 任意兩個(gè)子群的并還是子群 D. 任意子群一定是正規(guī)子群32. 7階循環(huán)群的生成元個(gè)數(shù)是( C )。A. 1 B. 2 C. 6 D. 733. 設(shè)A=a,b,c，B=1,2,3, 則從集合A到集合B的映射有( D )。A. 1 B. 6 C. 18D. 2734. 設(shè)為群，其中是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ D ）A.0和； B.1和0； C.和； D.和35. 設(shè)和都是群中的元素，且，那么（ A ）A.； B.； C.； D.。36. 下列正確的命題是（ A ）A.歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； B.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； D.唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。37設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（ B ）A.6； B.24； C.10； D.12。38. 設(shè)G是有限群，則以下結(jié)論正確的是（ A ） A. G的子群的階整除G的階 B. G的任何子群都是正規(guī)子群 C. G是交換群 D. G的任何子群都是循環(huán)群39設(shè)是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（ D ）A.的同態(tài)核是的正規(guī)子群； B.的正規(guī)子群的原象是的正規(guī)子群；C.的子群的象是的子群； D.的正規(guī)子群的象是的正規(guī)子群。40. 關(guān)于半群，下列說法正確的是：（ A ）A. 半群可以有無窮多個(gè)右單位元 B. 半群一定有一個(gè)右單位元C. 半群如果有右單位元?jiǎng)t一定有左單位元 D. 半群一定至少有一個(gè)左單位元二、填空題(每空3分)1. 設(shè)A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 （ ）個(gè). 2. n次對稱群的階是（ ！ ）.3.一個(gè)有限非交換群至少含有（ 6 ）個(gè)元素.4.設(shè)G是p階群，（p是素?cái)?shù)），則G的生成元有（ 個(gè).5.除環(huán)的理想共有（ 2 ）個(gè).6.剩余類環(huán)的子環(huán)S=0,2,4，則S的單位元是（ 4 ）.7.在 i+3, , e-3中，（ ）是有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.8. 在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式是（ ）.9. 設(shè)集合A =a,b， B=1,2,3，則AB=（）10. 設(shè)R是交換環(huán)，則主理想=（ ）11設(shè) 則12 . 設(shè)F是9階有限域，則F的特征是（ 3 ）.13設(shè)是兩個(gè)循環(huán)置換，則（）14 . 設(shè)F是125階有限整環(huán)，則F的特征是 （ 5 ）.15. 設(shè)集合A含有3個(gè)元素，則的元素共有（ 9 ）個(gè).16. 設(shè)群G的階是 2n,子群H是G的正規(guī)子群，其階是n, 則G關(guān)于H的商群所含元素的個(gè)數(shù)是（ 2 ）.17.設(shè)a、b是群G的兩個(gè)元，則 =（ ）.18. 環(huán)的可逆元是（ ）.19. 歐式環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系是（主理想環(huán)不一定是歐式環(huán)， 但歐式環(huán)一定是主理想環(huán)）.20如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則。21.設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為（）。22設(shè)是一個(gè)5-循環(huán)置換，那么。23有限群G的階是素?cái)?shù)p，則G是（ 循環(huán) ）群。24若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達(dá)為（）。25群的子群有（ 6 ）個(gè)。26由凱萊定理，任一個(gè)抽象群都同一個(gè)（ 群的變換群 ）同構(gòu)。27設(shè)A、B分別是m、n個(gè)元組成的集合，則=（ ）。28設(shè)A=a,b,c，則可定義A的（ 5 ）個(gè)不同的等價(jià)關(guān)系。A的分類M=a,c,b確定的等價(jià)關(guān)系是R）。29. 設(shè)G是6階循環(huán)群，則G的生成元有（ 2 ）個(gè)。30. 非零復(fù)數(shù)乘群C*中由-i生成的子群是（ ）。31. 剩余類環(huán)Z7的零因子個(gè)數(shù)等于（ 0 ）。32. 素?cái)?shù)階有限群G的子群個(gè)數(shù)等于（ 2 ）。33. 剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S=0,3,則S的單位元是（ ）。34群:G，e是G的單位元，則是（的單位元 ）。35. 復(fù)數(shù)域的特征是（ 0 ）.36. 在剩余類環(huán)中， =（ ）.37. 在3-次對稱群中 ， 元素的階為：（ 3 ）.38. 設(shè)和分別表示整數(shù)環(huán)和模剩余類環(huán)， 則環(huán)同態(tài)的同態(tài)核為（ ）39. 在有理數(shù)域上的極小多項(xiàng)式為（ ）40. 無限循環(huán)群一定和（ 整數(shù)加群 ）同構(gòu). 三、判斷題(判斷下列說法是否正確，正確的請打“”，錯(cuò)誤的請打“”，每小題3分)1. 設(shè)G是群，則群G的任意兩個(gè)子群的并仍是群G的子群。（ ）2. 群的有限子集（非空）構(gòu)成子群，當(dāng)且僅當(dāng)該非空子集的任何兩個(gè)元素在G的運(yùn)算之下，仍在該非空子集之中。（ ）3. 設(shè)G是非零實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法運(yùn)算之下構(gòu)成的群。 f: GG是一個(gè)映射，且f(x) =7, xG. 則f是G到G的同態(tài)映射。（ ）4. 一個(gè)環(huán)如果有單位元，則它的子環(huán)也一定有單位元。（ ）5. 設(shè)G是群，則群G的任意兩個(gè)正規(guī)子群的交仍是群G的正規(guī)子群。（ ）6. 設(shè)G是n階有限循環(huán)群，則G同構(gòu)于模n剩余類加群 。 （ ）7. 設(shè)是群同態(tài)，則將G的單位元不一定映射為的單位元。（ ）8. 設(shè)R是環(huán)，A，B是R的任意兩個(gè)理想，則也是環(huán)R的理想。（ ） 9. 域的特征可以為任何自然數(shù). （ ）10. 群的任何兩個(gè)正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群. （ ）11. 4次交錯(cuò)群在4次對稱群中的指數(shù)為4. （ ）12. 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的單代數(shù)擴(kuò)張。 （ ）13. 除環(huán)一定是域. （ ）14.3-次對稱群的中心是. （ ）15. 整數(shù)環(huán)的商域是有理數(shù)域. （ ）16. 無限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu). （ ）17. 多項(xiàng)式 在有理數(shù)域上可約。 （ ）18. 在特征為的域中始終有 （ ）19. 高斯整數(shù)環(huán)是唯一分解環(huán). （ ）20有限集合到有限集合的單射不一定是滿射。 （ ）21. 有限群的任何子群的階一定整除這個(gè)群的階。 （ ）22. 設(shè)是群的同態(tài)， 則同態(tài)核是的正規(guī)子群. （ ）23.素?cái)?shù)階群不一定是循環(huán)群。 （ ）24.設(shè)為整數(shù)環(huán)，為素?cái)?shù)， 則是的極大理想。 （ ）四、證明題1. 設(shè)為有理數(shù)域，設(shè)， 則按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.（6分）證明： 非空，且T是實(shí)數(shù)域的一個(gè)子集。T關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且這樣我們就得關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的一個(gè)子域.，因此按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.。2. 設(shè)E是的擴(kuò)域，且（E：F）=1，則E=F. （6分）證明：用反證法：若， 則存在， 這樣， 矛盾！3. 證明：交換群的商群是交換群.（8分）證明：設(shè)G為交換群， 且，則 G關(guān)于正規(guī)子群H的商群，且對任意有, 故是交換群.4. 設(shè)，“”是數(shù)的乘法，證明：（A，）（B，）。（這里“”表示（A，）與（B，）是滿同態(tài)）（8分） 證明：構(gòu)造映射：，則容易驗(yàn)證f 是映射.5. 證明：設(shè)G=， 則關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（）的子半群.（6分）證明：對任意的， 故由子半群的判定知，關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（）的子半群，得證.6. 設(shè)a是群G的任一元素，若的階|a|=2，求證： .（6分）證明：由題設(shè)我們知道： 對這個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以得利用群G中逆元和單位元的性質(zhì)，即得，.7. 設(shè)=，即=1，G=，證明：有如下的群同構(gòu)：（，）（G，），這里（0）=1，（1）=，（2）=。（8分）證明：容易驗(yàn)證下述映射 ：是雙射，且保持運(yùn)算， 即：.由同構(gòu)映射的定義，即得（，）（G，）. 8. 設(shè)G是R22中所有可逆矩陣組成的集合，（i）. 證明G關(guān)于矩陣的乘法成群。（6分）(ii). 的階是多少？（4分）(iii). 的階是多少？（4分）(iv). 證明G不是交換群.（6分）解：（i）注意到由線性代數(shù)知識有：方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零， 而且兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于它們行列式的乘積， 由此, 故G關(guān)于矩陣的乘法成群.(ii). 注意到此時(shí)群的單位元是：，經(jīng)過簡單計(jì)算，我們可知 的階是3.(iii). 的階是.(iv). 通過簡單計(jì)算，得， 故G是非交換群。解答題：1. 設(shè)Q是有理數(shù)集，“+”是數(shù)的加法，找（Q，+）的所有不同的自同構(gòu)映射。（8 分）解：對任意， 定義 則集合為的所有自同構(gòu)映射.設(shè)G = ，其中= = =列出G的乘法（矩陣乘法）運(yùn)算表。解：運(yùn)算表如下： （）寫出次對稱群的所有元素；（分）（）求出中所有元素的階；（分）（）求出中所有元