中值定理證明

,.;.首先我們來看看幾大定理：中值定理1、 介值定理： 設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 f(a)=a 及 f(b)=b，那么對于 a 與 b 之間的任意一個(gè)數(shù) c，在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得f( )=c(a b).ps:c是介于 a、b 之間的，結(jié)論中的 取開區(qū)間。介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù) ,則 f(x)在a,b 上有最大值m ，最小值m, 若 mc m,則必存在 a,b,使得 f( )=c。（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值 m 與最小值 m 之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多）ps：當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或 者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對于在最大值和最小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、 零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù) ,且 f(a) 與 f(b)異號，即f(a).f(b)0, 那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 f( )=0.ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號，結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、 羅爾定理：如果函數(shù)f(x) 滿足：（1） 、在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（2） 、在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) ;（3） 、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).那么在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a b), 使得 f(x)=0; 4、 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1） 、在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（2） 、在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) ;那么在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a b), 使得f(b)-f(a)=f( ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數(shù)f(x) 及 g(x)滿足（1） 、在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（2） 、在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) ;（3）、對任一 x(ax0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 、寫出 f(x) 的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式(2) 、證明在 -a,a 上至少存在一點(diǎn)使得第一問課本上記住了寫出來就行，考的很基礎(chǔ)a3 f ()a3f ( x)dxa（1）、f ( x)f (0)f ( 0) x 1!f (2!) x2f ( 0)xf(2!) x2(2)、第二問先將第一問的式子f(x)代入看看有什么結(jié)果出來af ( x)dxaaf ()a2x 2dx ，f () 此處不能直接拿到積分號外面，因?yàn)樗皇桥cx 無關(guān)的數(shù)。 做到這兒， 我們想辦法把他弄到積分號外面似乎就能出來，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說道f(x) 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最小值，往往會(huì)接著和介值定理一起運(yùn)用。所以有：因?yàn)閒(x) 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以存在最大值和最小值，設(shè)為m,m則對于區(qū)間-a,a ，mf ( x)m , mx 2f ()x 2mx 22 ma3m a x2 dxaa2f ()x 2 dxmx 2 dxma 33 a3amfa 3aaa3( x)dxm所以由介值定理有結(jié)論成立。ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運(yùn)用。題目中說的很明白的， 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特別是對于導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的，我們總得注意下他有最大值，最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運(yùn)用。5、設(shè) f(x) 在 0, 上連續(xù)，且f ( x) dx00,f (x)0cosxdx0 .證明：在(0,) 內(nèi)至少存在兩個(gè)不同點(diǎn)1、 2使得f (1 )f (2 )0本題看似很簡潔，但做起來去不容易。結(jié)論是證明等式成立且為0，很容易讓我們想到羅爾定理，我們?nèi)绻苷业饺齻€(gè)點(diǎn)處函數(shù)值相等，那么是不是就能有些思路了呢。x令： f ( x)f (t )dt, x00, ， f (0)f ()0似 乎 只 需 在 找 出 一 點(diǎn)f(c)=0即 可 。， 如 果 一 切 如 我 們 所 想 ， 證 明 也 就 完 成 了 。f (x)0sin x0cosxdxf ( x)dxcosxdf( x)00cosxf (x) 0sin x0f ( x) dx0似乎已經(jīng)找到這個(gè)點(diǎn)了。但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間， 如果要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用x拉格朗日中值定理來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立。構(gòu)造函數(shù)g( x)sint0f (t )dt, x0,具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到c( 0,),使得g(c)0,即sin cf (c)0, 所以f (c)0所以有：f (0)f (c)f ()0,c(0,)接下來的證明就和第一題中第二小問一樣了，具體就不去證明了，自己證，關(guān)鍵掌握方法， 思路。ps：本題是02 年左右的數(shù)一一道證明題，看看題目很簡潔，但具體來做，如果對定理的運(yùn)用不熟練，還是不好弄出來。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理， 以及羅爾定理。 但是積分中值定理是對于閉區(qū)間而言，而我們要用到開區(qū)間， 只能自己構(gòu)造函數(shù)來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立，如果在實(shí)際做題的時(shí)候你不證明直接用，估計(jì)一半的分都沒了。本題關(guān)鍵的就是尋找這個(gè)點(diǎn)c，找出來了其他的都不是問題，既然是關(guān)鍵 點(diǎn)，那得分點(diǎn)也肯定最多了，你不證明這個(gè)點(diǎn)，直接套用課本中定理（如果用的話，得分類討論了），硬是說c 點(diǎn)就成立，那估計(jì)一半的分都沒了。對于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會(huì)下，多做些題，多思考。下面來講講對于證明題中的，函數(shù)如何來構(gòu)造： 基本上都是從結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用求導(dǎo)或是積分， 或是求微分方程，解出來也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家交流下：首先我們來看看一些構(gòu)造函數(shù)基本方法：一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：一般都會(huì)構(gòu)造出g( x)xxxex 或者 ex或者 xn , n為任意常數(shù)1、如果只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有ex 或者e xf ( x)f (x)可以構(gòu)造g (x)xf (x)ef ( x)f (x)0 可構(gòu)造g( x)f ( x)exf ( x)f (x)可構(gòu)造g( x)f ( x)exexxf (t )dtaf (x) 這個(gè)也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)g( x)e xfxa(t )dtf ( x)( f ( x)x)1先將其變形下：f ( x)f ( x)1x 左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造：f ( x)ex右邊可以看成是xx 也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：x從而ex要構(gòu)造的函數(shù)就是：g( x)( f ( x)x)ex2、如果還涉及到變量x，想想構(gòu)造x nxf ( x)f ( x)0 可構(gòu)造g( x)f ( x)xf ( x)2 f ( x) x可構(gòu)造g( x)f ( x)x2xf ( x)nf ( x)0 可構(gòu)造g(x)f ( x)xn3、另外還可以解微分方程來構(gòu)造函數(shù)：如 xf (x)f ( x)0f ( x)x, f ( x)ln f ( x)1 x 2c2ln f2 ( x)ex 2cf 2 ( x)ex 2c所以構(gòu)造函數(shù)g( x)f 2 ( x)ex2二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系構(gòu)造帶有ex或者e xf ( x)f ( x)如何構(gòu)造如下：f ( x)f ( x)f ( x)f (x) 對于此式子， 你會(huì)不會(huì)有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)（只不過原函數(shù)是f ( x)）之間關(guān)系，從而等式左邊可以構(gòu)造f ( x)xe 等式右邊可以構(gòu)造f (x)xe 總的構(gòu)造出來函數(shù)為：g( x)( f ( x)f (x)ex另：如果這樣變形：( f ( x)f ( x)( f ( x)f ( x)0構(gòu)造函數(shù)如下：g( x)( f ( x)f ( x)e，可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)x造的。從而對于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。如果題目給了f ( x)f ( x) 為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，如果題目給了f ( x)f ( x) ，則可以考慮第二種構(gòu)造方法。f ()3 f ()2 f ()0先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系f ()f ( x)e2 f (2 x)f (x)f ()e 2 x2 f ()e2 x所以構(gòu)造的函數(shù)為：g( x)( f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)0這個(gè)函數(shù)確實(shí)不好構(gòu)造，如果用微分方程來求會(huì)遇到復(fù)數(shù)根。g( x)g( x)f 2 ( x)2 f ( x)( f ( x) 2( f ( x)f ( x)實(shí)際做的時(shí)候還得看題目是否給了f ( x)的一些條件，如果在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)不為0，而構(gòu)造出來的函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、 設(shè)f (x) 在0,1 上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(1 /2)=1 證明：（1） 、存在( 1 ,1), 使得 f () 2（2） 、存在(0,),使得f ()f ()1（1） 、對一問直接構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理：f ( x)f ( x)x 具體詳細(xì)步驟就不寫了。（2） 、該問主要問題是如何構(gòu)造函數(shù)：如果熟練的話用上面所講方法來構(gòu)造：f ()f ()1先變形f ()f ( f ( x)e x)1xe x構(gòu)造函數(shù)為g( x)( f ( x)x)e x另：用微分方程求解法來求出要構(gòu)造的函數(shù)f ()1f ()( f (x)x)f ( x)xln( f (x)x)xcf ( x)xex cexc( f (x)x)e xc把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)g( x)( f (x)x) e x函數(shù)構(gòu)造出來了，具體步驟自己去做。b2、設(shè)f ( x)在a,b 上連續(xù)， f(x) 在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)， f(a)=f(b)=0,f (x)dx0a證明：（ 1）存在1 ,2(a,b)使得f ( 1 )f (1 ), f (2 )f (2 )（ 2）存在(a, b),1 ,2使得f ()f ()（1） 、第一問中的函數(shù)構(gòu)造：f ( x)f ( x)e x（2） 、第二問中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說道了我們在這用第一種g( x)( f ( x)xf (x)e原因在于第一問中f ( x)f ( x) =0 符合此題構(gòu)造。具體詳細(xì)步驟自己去寫寫。3、設(shè)奇函數(shù)f (x)在1,1 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,證明：(1) 存在(0,1),使得f ()1(2) 存在(1,1), 使得f ()f ()1第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點(diǎn)本題很容易想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來求，因?yàn)樯婕暗搅藢?dǎo)函數(shù)（1） 、 f (x)f (x)x ，題目中提到奇函數(shù)，f(0)=0有 f(0)=f(1)=0 從而用羅爾定理就出來了。（2） 、第二問中的結(jié)論出發(fā)來構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)先變形下：f (f ( x)g( x)exf