應用基本不等式常見題型與思路.doc

基本不等式知識點總結(jié)絕對值不等式： 雙向不等式：（左邊當時取得等號，右邊當時取得等號.）放縮不等式：，則.【說明】：（，糖水的濃度問題）. 【拓展】：.，則；，；，.,.函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：值域：；單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，. 基本不等式知識點總結(jié)重要不等式1、和積不等式：(當且僅當時取到“”)【變形】：（當a = b時，）【注意】： ，2、均值不等式：兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系，即“平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均”*.若，則 (當且僅當時取“=”）; 若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）*.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：（，）； *不等式的變形在證明過程中或求最值時，有廣泛應用，如：當時，同時除以ab得或。 *均為正數(shù)，八種變式： ； ； ；若b0,則；a0,b0,則；若a0,b0,則； 若，則。上述八個不等式中等號成立的條件都是“”。最值定理（積定和最小），若積，則當時和有最小值；（和定積最大），若和，則當是積有最大值.【推廣】：已知，則有.（1）若積是定值，則當最大時，最大；當最小時，最小.（2）若和是定值，則當最大時，最小；當最小時，最大.已知，若，則有則的最小值為：已知，若則和的最小值為：.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例1.當 時，求函的數(shù)最大值.湊項（加、減常數(shù)項）：例2.已知 ，求函數(shù)的最大值.調(diào)整分子：例3.求函數(shù)的值域；變用公式：基本不等式有幾個常用變形,，不易想到，應重視；例4.求函數(shù)的最大值；連用公式：例5.已知，求的最小值；對數(shù)變換：例6.已知，且，求的最大值；三角變換：例7.已知，且，求的最大值；常數(shù)代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.“單調(diào)性”補了“基本不等式”的漏洞：平方和為定值若（為定值，），可設(shè)，其中.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；.令，其中.由，得，從而在上是減函數(shù).和為定值若（為定值，），則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；.當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；積為定值若（為定值，），則.當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)；.當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).倒數(shù)和為定值若（為定值，），則成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為，其中，則得.當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在上減函數(shù)；