恒成立問題的求解策略.docVIP

恒成立問題的求解策略遼寧錦州義縣高級中學高二數(shù)學組王雙雙高考數(shù)學復習中的恒成立問題，把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；分離變量型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合。一一次函數(shù)型給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則有處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例1對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。二二次函數(shù)型（1）判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設(shè)，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當時，恒成立當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。（2）、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對任意恒成立.令，得.而即實數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得.而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立已知當xR時，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,即上式等價于或解得.注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x5-4sinx+即a+1-2sin2x0,( t-1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1, f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減。 只需f(1)0,即a-2.(下同)四根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例1若f(x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù)，求的值。分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當于告訴我們一個恒成立問題。解：由題得：f(-x)=f(x)對一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinxcos=-2sinxsinsinx(sin+cos)=0 對一切xR恒成立，只需也必須sin+cos=0。五數(shù)形結(jié)合若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例1、當x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y11,并且必須也只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21,a1,10,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當