線性代數(shù)—實(shí)對稱矩陣的對角化.ppt

1 實(shí)對稱矩陣的對角化 第三節(jié) 2 并非所有方陣都可對角化 但是實(shí)對稱矩陣必可對角化 為了討論實(shí)對稱矩陣的有關(guān)性質(zhì) 需要研究向量內(nèi)積和正交的概念和性質(zhì) 3 定義 兩個(gè)n維向量 向量的內(nèi)積具有如下基本特性 證略 一 向量的內(nèi)積 正交和長度 4 向量長度的性質(zhì) 由定義可知 定義 例1 證 5 二 正交向量組和正交矩陣 定義 顯然零向量與任何向量都正交 n維基本單位向量組是兩兩正交的 顯然有 6 例2 解 即得所求向量為 7 定義 則稱之為正交向量組 定理 正交向量組必線性無關(guān) 證 8 施密特正交化方法 證略 9 例3 解 用施密特正交化方法 將下列向量組正交化 10 例4 解 將向量組 標(biāo)準(zhǔn)正交化 11 再單位化 12 例5 解 它的基礎(chǔ)解系為 再正交化 13 正交矩陣的性質(zhì) 證 14 Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交向量組 證明 定理 15 是單位正交向量組 16 Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立 3 Q的行向量是兩兩正交的單位向量 4 Q的列向量是兩兩正交的單位向量 17 例6判別下列矩陣是否為正交矩陣 解 1 不是正交矩陣 18 2 所以它是正交矩陣 19 是正交矩陣 P每個(gè)列向量都是單位向量 且兩兩正交 所以P是正交矩陣 20 實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù) 三 實(shí)對稱矩陣的相似對角化 定理 并非所有方陣都可對角化 但是實(shí)對稱矩陣必可對角化 證 證略 實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交 定理 只證兩個(gè)特征向量的情況 21 定理 證略 具體計(jì)算步驟如下 1 求出實(shí)對稱矩陣A的全部特征值 2 若特征值是單根 則求出一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 并加以單位化 若特征值是重根 則求出重?cái)?shù)個(gè)線性無關(guān)的特征向量 然后用施密特正交化方法化為正交組 再單位化 3 將這些兩兩正交的單位特征向量按列拼起來 就得到了正交矩陣P 22 例7 解 再單位化 23 于是所求正交陣為 使 24 例8 解 特征向量 25 特征向量 26 再單位化 拼起來得 使 27 解 例9設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值是1 2 3 屬于特征值1 2的特征向量分別為 1 求屬于特征值3的特征向量 2 求矩陣A 矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交 于是有 由于實(shí)對稱 即解齊次線性方程組 其系數(shù)矩陣為 28 屬于特征值3的特征向量為 2 所以 29 解 例10對下列各實(shí)對稱矩陣 分別求出正交矩陣 使為對角陣 1 第一步求的特征值 30 解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 31 解之得基礎(chǔ)解系 第