初中平面幾何入門教學探究.doc

新課標初中圖形與幾何入門教學探究 王永波王永波 俗語道 幾何頭 代數尾 物理化學追命鬼 言下之意幾何剛開頭和代數的后半 程都是非常難的 很多人不入門就真的無法入門了 足見 幾何入門教學在中學數學教學中 是十分重要的 從多年來的聽課 調研以及試卷分析中能夠感受到 相當一部分初中生都感 覺幾何比較難學 特別是幾何證明 許多學生對于一些幾何內容的學習總是 一聽就懂 一看就會 一說就亂 一寫就錯 對于任課教師總是抱怨 這個東西都說八百六十遍了 怎么還不會啊 有時很無奈 既然如此 這肯定是一個教學中存在的問題 如何根據新教 材特點 抓好幾何入門教學 是擺在數學教師面前的一個非常艱巨的任務 對于這個問題倘 若教學中稍不注意 就容易導致兩極分化 班級數學成績大幅度下滑 以致學生因此喪失學 習數學的興趣和信心 相反如果處理得當 不僅可以激發(fā)學生學習數學的濃厚興趣 培養(yǎng)學 生邏輯推理能力和空間想象能力 也為后續(xù)的數學學習打下良好的基礎 因此 我把本次活 動的主題確定為初中平面幾何入門教學探究 剛才兩位教師做了兩節(jié)課 給大家探討交流這 個問題提供了一個平臺 并且每個發(fā)言的老師也就這個問題給出了自己的想法和意見 由于 脫離課堂時間很長 對于學情等了解不多 下面我就這個問題談一談自己的一點想法 一 上好引言課 激發(fā)求知欲一 上好引言課 激發(fā)求知欲 入門教學標志著一個新的教學階段的開始 因此 入門教學與前一階段的教學往往沒有 直接聯系 而對后續(xù)教學又會產生決定性的影響 造成入門教學困難的主要因素并不是預備 知識的缺陷 而是學習能力的不足或教學中的失誤 引言是作為整個幾何課的引入 上好引 言課是幾何入門的第一步 上引言課時 首先要向學生介紹幾何是一門什么樣的課程 它所 研究的對象是什么 學習方法與代數有什么區(qū)別等等 要想方設法激發(fā)學生的求知欲 變 要學生學 為 學生自己要學 提出日常生活中常見的幾何問題 讓學生動腦 動手試 以發(fā)現自己看似會 而實際又不行 卻又迫切希望能行的現實 例如 你可以在課堂上提出 你能畫出象國旗上的圖案一樣的五角星嗎 并給出時間讓學生試畫 結果是能畫出規(guī)則 五角星圖案的幾乎沒有 在這種情況下 教師指出 要解決這個畫圖問題 必須具備一定的 幾何知識 本章中數學活動中的第二個活動就是畫五角星以及通過折紙剪五角星的問題 當然 要掌握這些知識 首先必須學習一些基礎的幾何知識 這樣使學生對幾何產生濃厚的 興趣 比如 為什么射擊瞄準時 用手托住槍桿 此時槍桿與彎曲的手臂構成三角形 可以保 持穩(wěn)定 而銀行的鐵門總是做成平行四邊形才能開關 為什么車輪都是圓形的 又如 在公 路兩側有村莊 A B 怎樣造一個汽車站 P 使 PA PB 最小 如何利用太陽照射的影子測量物體 的高度 等等 二 利用圖形的美二 利用圖形的美 培養(yǎng)學生的興趣 清除畏懼感 培養(yǎng)學生的興趣 清除畏懼感 宋朝程頤說 教人未見其趣 必不樂學 興趣往往是推動人們去探求知識 理解事 物的積極力量 古今中外的學者之所以能走向科學的殿堂 正是由于他們對科學產生了濃厚 的興趣 羅素曾說過 他對科學的興趣來自數學 而對數學的興趣又來自歐幾里德幾何 這 說明歐氏幾何中蘊含著激發(fā)興趣啟迪思維的極有利因素 生活中大量的圖形有的是幾何圖形本身 也有的是幾何圖形組合 它們具有很強的審美 價值 在教學中宜充分利用圖形的線條美 色彩美 給學生最大的感知 充分體會數學圖形 給生活帶來的美 在教學中盡量把生活實際中美的圖形聯系到課堂教學中 再把圖形運用到 美術創(chuàng)作 生活空間的設計中 產生共鳴 使他們產生創(chuàng)造圖形美的欲望 驅使他們創(chuàng)新 維持長久的數學學習興趣 入門教學中要幫助學生樹立對幾何的正確認識 調動學好幾何的積極性 比如 學習了 第二章 相交線 平行線 后學生對平移有了一定認識 教師就此在班上組織學生開展圖案 設計大賽 以及 我是一名建筑設計師 活動 設計我最喜歡的戶型等等 展開想象的翅膀 發(fā)揮他們不同的特長 在活動中充分展示自我 既復習了所學的知識 又找到了生活與數學 的結合點 感受自己勝利的心理 體會數學給他們帶來的成功機會和快樂 培養(yǎng)學生學習數 學的興趣 再如 把兩張長方形的紙片拼成一個凸字形 并使豎放的一張紙在橫放的那張 紙片的正中間 學生解決此題 常有三種不同辦法 1 單憑眼睛觀察 移動豎放的紙片 使其居中 這是不精確的 2 在第一種辦法的基礎上 再用刻度尺量豎放的紙片兩旁 并 隨時移動調整位置 這種方法是準確的 但費時間 又需要有刻度尺 3 把兩張紙片分別 沿橫向和縱向對折 然后把它們屆展平疊合在一起 并使兩條折痕對齊 顯然這種方法既省 時又精確 最后可以向學生介紹 折紙 在 幾何 中就是一種對稱變換 也稱為翻折變 換 是研究幾何圖形性質的一種重要方法 三 利用小學基礎 降低新課難度三 利用小學基礎 降低新課難度 學生在小學數學中雖然已經學了一些幾何圖形的簡單性質 但其目的是利用幾何圖形的 直觀性質來加深對數學概念的認識 熟練數的運算計能 而初中平面幾何的教學要從 數 的學習轉入 形 的研究 要從幾何的本質屬性方面理解和掌握圖形的概念 要采用邏輯思 維的方法把握圖形的性質 培養(yǎng)與發(fā)展學生的邏輯思維能力和空間想象能力 并使學生掌握 常用的證明方法和作圖方法 鑒于教學上的不同要求 根據教材的不同內容 對教材處理應 做到以下三個方面 1 小學教材已有的 且在提法上與中學教材無重大區(qū)別的內容 不再作新知識處理 而采用復習方式使之系統化 條理化 如銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形的概念等等 2 小學教材已有的 但在提法上較片面的 不妥當的或是模糊不清的 在教學中予以 完善和糾正 如小學數學中的 平行線 的概念敘述是不完整的 按照小學教材的定義 不 相交的兩條直線 就是平行線 而應加上 在同一平面內 這個條件 因此 中學幾何教學 中通過讓學生觀察平行線的實例或模型 平面直線的實例或模型相比較 使學生對這個概念 的認識完整化 3 小學教材已有的但缺乏理論根據的 教學中應先重新復習小學教材的處理方法 再 上升到理論去論證 如 三角形的三內角和等于 180 這個定理 在學生通過實驗得出結 論 又要強調說明不能只滿足于實驗 而必須從理論上給予嚴格的證明 教學中又著重于作 出輔助線 就能很自然的寫出證明過程 四 引用豐富實例 培養(yǎng)感性認識 四 引用豐富實例 培養(yǎng)感性認識 根據七年級學生年齡 能力特點 對點 線 面 體以及幾何圖形 平面圖形 立體圖 形等概念 教學中要借助于教具 模型 實物 圖形等具體描述 先得到直觀的感性認識 在感知基礎上 培養(yǎng)學生的抽象思維 如 通過手電筒或探照燈 射 出的光束 說明射線 的意義 行進中的火把 飛行中的螢火蟲等實例 認識點動成線 線動成面 面動成體等等 再從 10 個概念各別的默寫正確率看 據統計 默寫 互余 互補 定義的正確率分別 高達 81 8 和 79 2 其原因是這兩個概念定義的語句簡單易記 可見學生表述概念定義的 困難主要來自于語言的障礙 因此 作為熟悉幾何術語的一種手段 要求學生背誦某些幾何 概念也是必要的 以 互余 互補 兩個概念為例 如 圖 EOC A0C BOD Rt 在圖中找出分別與 AOB BOC 互余的角 有與 BOC 互補的 角嗎 據統計 許多學生答 BOC 與 AOB 互余 而不能經過簡單的推理指出 DOE 也與 AOB 互余 只有不到十分之一的學生指出 BOC 有補角 它是 AOD 這就充分說明 盡管 80 左右的學生能正確敘述定義 但是 90 以上的學生不能在圖 10 這種較為復雜的圖形中 識別表示互補概念的圖形 而運用概念識圖在幾何教學中卻是十分重要的 所以概念教學的 重點應是理解和應用 此外 有些概念的某種本質屬性 并不能借助上述方式讓學生精確感 知 而要借助語言的辨析與反例的襯托 比如 互為余角 這個概念有三個本質屬性 應逐 步地由學生自己去完成即 兩個角 和 90 其中 后兩個屬性對學生的刺激 較強烈 也容易被精確感知 而第一個本質屬性則常常被學生忽視從而造成 90 的角是余 角 等概念的混淆 為此 教學中除了強調 兩個角 這個詞語外 還可用反例 l 2 3 90 1 2 3 互為余角 對嗎 A 90 A 是余 角嗎 等 以反襯互余概念中 兩個角 這個本質屬性 使學生精確感知 五 由淺入深 發(fā)展基本能力 五 由淺入深 發(fā)展基本能力 新課程標準明確指出 七年級數學要開始培養(yǎng)學生的識圖能力 畫圖能力 幾何語言及 符號的轉換能力和推理能力 為今后幾何的學習打好基礎 鑒于以上要求 我們應該根據教 材的低起點 及時加強能力的訓練和培養(yǎng) 1 1 識圖能力識圖能力 識圖是今后觀察圖形 分析圖形的基礎 它的訓練應從簡到繁 從易到難達到逐步提高 2 2 畫圖能力畫圖能力 畫圖是幾何語句到直觀圖形的操作過程 是分析問題解決問題的基本環(huán)節(jié) 訓練時 先 弄清一些幾何術語 如 經過 有且只有 相交 垂直等 的含義 經歷讀 動口 知 動腦 畫 動手 的全過程 急于求成則欲速不達 留下 消化不良 的后遺癥的做法是不可取的 3 3 轉換能力轉換能力 幾何語言 幾何圖形 符號表示之間的互相轉換 要鼓勵學生多說 多繪 多寫 不要 怕錯 逐步做到準確簡潔的幾何語言 正確整潔的繪制幾何圖形 規(guī)范使用幾何符號 盡快 建立起三者的有機聯系 當好 翻譯 4 4 推理能力推理能力 簡單的邏輯推理是整個初中學好幾何的基礎 從教材編排情況看 可分四個階段來進行 要領會每一階段要求 逐步達到 第一階段 按照圖形回答兩個已知相等的角分別與同一個 角的和相等以及同角或等角的余角 或補角 相等的原因 要求學生能說出就行 第二階段 用文字語言敘述的方式證明已學的定理 然后將敘述過程用數學式子表達出來 第三階段 在推證平行線的判定結論時 采用先探索分析的方法 找到解決問題的思路 將分析的推理 過程改寫為規(guī)范的符號推理形式 進行兩步推理 此階段尚不要求學生進行證明 第四階段 結合邏輯知識 給出證明過程 要求學生能寫出書中出現的一 二步推理的過程 這樣 推 理學習由淺入深 由易到難 由部分到整體 容易被學生理解接受 六 注意理論幾何與實驗幾何的銜接 六 注意理論幾何與實驗幾何的銜接 1 1 要充分利用實驗幾何的教學方法和學習方法 引導學生由實驗幾何向理論幾何過渡 要充分利用實驗幾何的教學方法和學習方法 引導學生由實驗幾何向理論幾何過渡 根據小學生的認識事物的客觀規(guī)律 大量地借助直觀 靠觸覺和視覺的作用 畫畫 比 比 拼拼 或借助于實物獲取知識 這樣不僅使學生易接受 而且還增強了學生學習的趣味 性 幾何入門教學若脫離了實驗幾何 學生會感覺與小學所學知識脫節(jié)太大 對老師所傳授 知識不易接受 學習起來枯燥 缺少趣味性 很快便失去學習幾何的興趣 故此 在進行幾 何入門的教學過程中 可先沿用實驗幾何教法 先讓學生從感性上去認識新事物 再引導學 生去發(fā)現新事物具有哪些特征 然后根據這些特征從理論上重新去認識新事物 如在學習 對頂角 時 可先讓學生畫相交的兩條直線 指出相對的任何一對角叫對頂角 然后啟發(fā) 學生去發(fā)現對頂角的特征 頂點相同 角的兩邊互為反向延長線 小結時再引導學生歸納對 頂角的定義 頂點相同 角的兩邊互為反向延長線的一對角叫對頂角 2 2 引導和培養(yǎng)學生用幾何理論去說理論證 引導和培養(yǎng)學生用幾何理論去說理論證 實驗幾何使學生獲得的知識沒有系統化 對幾何學中的邏輯推理掌握不夠 對幾何教學 和學生學習幾何知識形成障礙 如在學習對頂角相等時 教師問對頂角是否相等時學生馬上 回答 相等 但教師問 為什么呢 學生說是 看出來的 或 量出來的 這時教師 首先要肯定學生判斷的是正確的 然后提出對頂角相等是否有它的必然性 再引導學生發(fā)現 對頂角具有相同的一個鄰補角 從而用 同角的補角相等 來說明 對頂角相等 因此 我們在入門教學中要注意理論幾何與實驗幾何的銜接 逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力 防止 學生以直觀代替論證 為此 我們以學生在小學學過的幾何知識為基礎 突出分析概念的本 質屬性與性質的運用 運用生活的事例 提出問題讓學生思考 調動學生學習的積極性 啟 發(fā)學學生觀察周圍事物 運用所學知識解釋這些現象 說出其中的道理 從而培養(yǎng)學生說理 論證 的習慣 七 強化學科策略教學 促進課堂高效 七 強化學科策略教學 促進課堂高效 幾何概念學習策略 一述 二畫 三識 四譯 五用 會表述 能正確地敘述概念的定義 會畫圖 會畫出表示概念的圖形 包括變式圖形 熟練地掌握概念的標注法和讀法 會識圖 能在復雜圖形中正確識別表示某個幾何概念的那部分圖形 會 翻譯 學會把概念定義的文字語言翻譯成為結合圖形的符號語言 會應用 會運用概念進行簡單的判斷 推理 計算 幾何證明學習從 形象思維 到 邏輯思維 的思維方式上升過程 由數到形 由計 算到推理的轉變 這要求學生的思維要求上有一個的跳躍 有些學生一時不適應思維方式的 變化 同時 也存在個體思維能力的差異 這是部分學生幾何證明學習的困難所在 因此他 們一遇到證明題 就會毫無頭緒 不知從何入手 對于他們的情況 可以理解 同時也可以 克服的 萬事開頭難 因此對八年級幾何證明教學入門過程的談個人幾點建議 1 首先從簡單的推理填空開始 運用填空題形式 讓學生初步熟悉格式基本要求 例如 一 在括號內填寫理由 如圖 1 1 2 2 DAB ABC 1800 3 C ABC 1800 4 3 C 二 推理填空 如圖 已知 B BCD 180 B D 求證 E DFE 證明 B BCD 180 AB CD B DCE D A B EC F 3 2 1 D C B A 3 4 1 2 B A D 又 B D DCE D AD BE E DFE 注意填寫理由必須完整 2 由老師引導 開始簡單證明的邏輯思維的培養(yǎng) 例如 一 如圖 1 2 1 當 BC BD 時 ABC ABD 的依據是 2 當 3 4 時 ABC ABD 的依據是 二 如圖 已知 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 請補充完整過程說明 ABD ACD 的理由 證明 AD 平分 BAC 角平分線的定義 在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD 通過老師寫 因為 學生補充 所有 引導學生進一步熟悉證明的步驟和格 式 3 選擇類似題目教師示范 學生模仿 例如 由老師講解 一 已知AB DE BC EF D C在AF上 且AD CF 求證 ABC DEF A A B BC CD D C F E B D A 學生隨堂模仿 二 如圖 AC DF AD BE BC EF 求證 C F 由老師講解例題 學生在隨堂練習時模仿老師解題的格式 思路 方法 然后 學習好 的同學上黑板板演習題 不會做題的學生可以跟著黑板上的同學的提示模仿 完成練習 4 講解全等三角形時 可以適當分坼講解 培養(yǎng)學生的看圖能力 例如 如下圖 D 在 AB 上 E 在 AC 上 AB AC B C 求證 AD AE 分析 AD 和 AE 分別在 ADC 和 AEB 中 所以要證 AD AE 只需 證明 ADC AEB 即可 證明 在 ADC 和 AEB 中 所以 ADC AEB ASA 所以 AD AE 講解時 可以分坼成 ADC 和 AEB 并且提問學生 兩個三角形怎么運動才能重合 找出對應邊和角 練學生能夠看懂圖形 能把復雜圖形分解成各種簡單圖形 能找出圖形中 的各個元素 以及各個元素之間的對應關系 這一點對學生邏輯推理能力和空間想象能力的 培養(yǎng)有相當大的輔助作用 七 加強課標研究 把握教學要求 七 加強課標研究 把握教學要求 在 幾何圖形初步 的教學中 要特別注意抽象思想的體現 注意 模型 圖形 文字 符號 這個抽象的過程 首先要強調實物原型的作用 讓學生從大量實物模型中抽象出幾何圖形 其次要重視 圖形語言的作用 對于圖形的文字和符號描述 都要緊密聯系圖形 發(fā)揮直觀圖形的作用 在圖形基礎上發(fā)展其他數學語言 比如 對于線段的比較 線段的和與差 線段的中點 角 的比較 角的平分線等的教學 都要先以圖形直觀給出 再聯系到數量 給出文字的描述 最后再給出符號的表示 使幾種幾何語言優(yōu)勢互補 以收到較好的教學效果 幾何圖形初步 中 類比地研究線段和角 線段的比較 角的比較 D C A B E 線段的和 差 角的和 差 線段的中點 角的平分線 對于一些比較容易模糊的知識 例如 證全等三角形不能用 ssA 的問題 不僅要按教科 書予以說明 還要舉出實例 加深學生的理解 要求學生熟悉一些基本圖形以及它們的變式 例如 角平分線 垂直平分線 角平分線 垂直平分線的性質和判定 學生運用時特別容易 把性質和判定混攪起來 是學生掌握的一個難點 教學時 應仔細分析題設和結論的區(qū)別 還要舉出兩個實例加以對比說明 幾何入門教學中要過好五關 一 過好語言關 1 要引導學生過好語言關 就要嚴格對學生進行語言訓練 教師 的語言要規(guī)范化 力求準確 清晰 這對激發(fā)學生學習幾何的興趣有舉足輕重的作用 2 循序漸進地對學生進行多種形式的語言訓練 二 過好圖形關 圖形的訓練包括認識圖形和畫圖訓練兩個方面 在教學過程中要 把概念教學與圖形結合起來 教師在黑板上畫圖時必須用工具畫規(guī)范的圖 使學生養(yǎng)成良好 的畫圖習慣 并學會使用工具的正確方法 三 過好書寫關 書寫是農村中學生學習幾何中的一個難點 要求做到條理清楚 文 字通順 工整 教學中應多舉一些例子示范 例如 C 是 AB 的中點 可以寫成 AB BA AB 還有一個是要突出一些習慣性詞語或常用數學中的幾何術語 如 過 取 作 延長 到 使 等于 使學生真正掌握幾何術語 準確地書寫一些 幾何短語 四 過