江蘇2018版高考數(shù)學復習坐標系與參數(shù)方程第2課時不等式的證明教師用書理蘇教版.docx

第2課時不等式的證明1不等式證明的方法(1)比較法：作差比較法：知道abab0，ababb只要證明ab0即可，這種方法稱為作差比較法作商比較法：由ab01且a0，b0，因此當a0，b0時，要證明ab，只要證明1即可，這種方法稱為作商比較法(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒?3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法即“執(zhí)果索因”的方法(4)反證法和放縮法：先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法(5)數(shù)學歸納法：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：證明當nn0時命題成立；假設當nk (kN*，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學歸納法2幾個常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代數(shù)形式：設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2(當且僅當adbc時，等號成立)柯西不等式的向量形式：設，為平面上的兩個向量，則|，等號當且僅當，共線時成立柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3R，則.柯西不等式的一般形式：設n為大于1的自然數(shù)，ai，bi (i1,2，n)為實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，等號當且僅當時成立(當ai0時，約定bi0，i1,2，n)(2)算術幾何平均不等式若a1，a2，an為正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立1設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.2若a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值解()2(111)2(121212)(abc)3.當且僅當abc時，等號成立()23.故的最大值為.3設x0，y0，若不等式0恒成立，求實數(shù)的最小值解x0，y0，原不等式可化為()(xy)2.2224，當且僅當xy時等號成立min4，即4，4. 題型一用綜合法與分析法證明不等式例1(2016南通二模)(1)已知x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3；(2)設a，b，c0且abbcca1，求證：abc.證明(1)因為x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因為a，b，c0，所以要證abc，只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當且僅當abc時等號成立)成立所以原不等式成立思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野設a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.題型二放縮法證明不等式例2若a，bR，求證：.證明當|ab|0時，不等式顯然成立當|ab|0時，由0|ab|a|b|，所以.思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：變換分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函數(shù)的單調(diào)性；真分數(shù)性質(zhì)“若0a0，則”(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度設n是正整數(shù)，求證：n(k1,2，n)，得.當k1時，；當k2時，；當kn時，0，當取得最小值時，求a的值解由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此當a0時，的最小值是1；當a0時，的最小值是1.故的最小值為，此時即a2.3(2016徐州模擬)設a、b、c是正實數(shù)，且abc9，求的最小值解(abc)()2()2()2218.2.的最小值為2.4設x，y，zR，且滿足：x2y2z21，x2y3z，求xyz.解由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因為x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.5(2016江蘇)設a0，|y2|，求證：|2xy4|a.證明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.6(2016蘇州模擬)已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，當且僅當c3時等號成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.7(2015湖南)設a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立8(2016南京質(zhì)檢)已知：an(nN*)，求證：ann，an123n.，an(23n).綜上得an.9(1)關于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范圍；(2)設x，y，zR，且1，求xyz的取值范圍解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范圍是(1，)(2)由柯西不等式，得42()222()2()2()2(42)2(xyz)2，即251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范圍是5,510(2016南京模擬)已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因為a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，當且僅當且ab，即ab且x1x21時，有最小值6.(2)證明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2)2()2(ab)2x1x2，當且僅當，即x1x2時取得等號所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2