特征函數(shù)和矩母函數(shù)PPT課件

一 矩母函數(shù) 矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1 定義 稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望 為隨機(jī)變量X的矩母函數(shù) 2 原點(diǎn)矩的求法 利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩 即對(duì)逐次求導(dǎo) 并計(jì)算在點(diǎn)的值 3 和的矩母函數(shù) 定理1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的矩母函數(shù)分別為 則其和 的矩母函數(shù)為 4 母函數(shù)定義 設(shè)X是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量 分布律P X k pk k 0 1 則稱(chēng)為X的母函數(shù) 性質(zhì) 1 非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布律pk由其母函數(shù)P s 唯一確定 2 設(shè)P s 是X的母函數(shù) 若EX存在 則EX P 1 若DX存在 則DX P 1 P 1 P 1 2 3 獨(dú)立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積 4 若X1 X2 是相互獨(dú)立同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量 N是與X1 X2 獨(dú)立的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量 則的母函數(shù)H s G P s EY ENEX1其中G s P s 分別是N X1的母函數(shù) 證明 1 2 設(shè)離散型非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量X Y的分布律分別為P X k pk P Y k qk k 0 1 則Z X Y的分布律為P Z k ck 其中ck p0qk p1qk 1 pkq0設(shè)X Y Z的母函數(shù)分別為PX s PY s PZ s 即有 3 4 歐拉公式 二 特征函數(shù) 1 特征函數(shù) 設(shè)X為隨機(jī)變量 稱(chēng)復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 為X的特征函數(shù) 其中t是實(shí)數(shù) 還可寫(xiě)成 分布律為P X xk pk k 1 2 的離散型隨機(jī)變量X 特征函數(shù)為概率密度為f x 的連續(xù)型隨機(jī)變量X 特征函數(shù)為 對(duì)于n維隨機(jī)向量X X1 X2 Xn 特征函數(shù)為 性質(zhì) 1 2 在 上一致連續(xù) 3 若隨機(jī)變量X的n階矩EXn存在 則 k n當(dāng)k 1時(shí) EX 當(dāng)k 2時(shí) DX 4 是非負(fù)定函數(shù) 5 若X1 X2 Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則X X1 X2 Xn的特征函數(shù)為 6 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)且相互唯一確定 如果隨機(jī)變量X為連續(xù)型 且其特征函數(shù)絕對(duì)可積 則有反演公式 相差一個(gè)負(fù)號(hào)的傅立葉逆變換 相差一個(gè)負(fù)號(hào)的傅立葉變換 例1 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布 求X的特征函數(shù) 解 由于 所以 麥克勞林公式 例2 設(shè)隨機(jī)變量X服從 a b 上的均勻分布 求X的特征函數(shù) 解 X的概率密度為 所以 例3 設(shè)X服從二項(xiàng)分布B n p 求X的特征函數(shù)g t 及EX EX2 DX 解 X的分布律為P X k q 1 p k 0 1 2 n 例4 設(shè)X N 0 1 求X的特征函數(shù) 解 例5 設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為gX t Y aX b 其中a b為任意實(shí)數(shù) 證明Y的特征函數(shù)gY t 為 證 例6 設(shè)隨機(jī)變量Y N 2 求Y的特征函數(shù)為gY t 解 X N 0 1 X的特征函數(shù)為設(shè)Y X 則Y N 2 Y的特征函數(shù)為 三 常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望