高考數(shù)學 2.5指數(shù)函數(shù)配套課件 文 新人教A版 .ppt

第五節(jié)指數(shù)函數(shù) 三年5考高考指數(shù) 1 了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景 2 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義 了解實數(shù)指數(shù)冪的意義 掌握冪的運算 3 理解指數(shù)函數(shù)的概念 會解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題 1 冪的運算 指數(shù)函數(shù)的概念及其圖象 單調(diào)性是高考考查的熱點 2 常與函數(shù)的其他性質(zhì) 方程 不等式等交匯命題 考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想 3 多以選擇 填空題形式出現(xiàn) 但若與導數(shù)交匯命題則以解答題形式出現(xiàn) 1 根式 1 根式 根指數(shù) 2 a的n次方根 n n 當n是奇數(shù)時 a的n次方根用符號表示為 a r 當n是偶數(shù)時 a的n次方根用符號表示為 a 0 3 根式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時 當n為偶數(shù)時 a a a 即時應(yīng)用 1 若x4 16 則x的值為 2 化簡下列各式結(jié)果分別為 解析 1 x 2 答案 1 2 2 4 4 a 2 3 2 有理指數(shù)冪 1 分數(shù)指數(shù)冪的含義 正分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 負分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 且n 1 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0的負分數(shù)指數(shù)冪 2 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ar as a 0 r s q 沒有意義 0 ar s ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) 對于無理數(shù)指數(shù)冪也適用 ars arbr 即時應(yīng)用 1 判斷下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化是否正確 請在括號中填 或 x y 0 x 0 2 化簡 x 0 y 0 得 3 化簡的結(jié)果是 解析 2 3 原式 答案 1 2 2x2y 3 a4 3 指數(shù)函數(shù)的概念 1 解析式為 2 自變量是 3 定義域是 y ax a 0 且a 1 x r 即時應(yīng)用 1 判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) 請在括號中填 是 或 否 y 3 2x y y ax y 2a 1 x a 且a 1 2 若函數(shù)y a2 3a 3 ax是指數(shù)函數(shù) 則實數(shù)a的值為 解析 2 由已知解得 a 2 答案 1 否 否 否 是 2 2 4 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a 1 0 a 1 圖象 定義域 值域 性質(zhì) r 0 過定點 0 1 當x 0時 y 1 當x 0時 0 y 1 當x 0時 01 在r上是增函數(shù) 在r上是減函數(shù) 即時應(yīng)用 1 如圖是指數(shù)函數(shù) y ax y bx y cx y dx的圖象 則a b c d與1的大小關(guān)系是 2 函數(shù)f x 3 x 1的定義域 值域分別是 3 設(shè)y1 40 9 y2 80 48 y3 1 5 則y1 y2 y3的大小關(guān)系為 解析 1 在圖中畫出直線x 1 分別與 交于a b c d四點 是a 1 a b 1 b c 1 c d 1 d 由圖象可知c d 1 a b 2 f x x 1 定義域為r x 1 1 故值域為 1 3 y1 40 9 21 8 y2 80 48 23 0 48 21 44 y3 21 5 函數(shù)y 2x是增函數(shù) 又 1 8 1 5 1 44 y1 y3 y2 答案 1 b a 1 d c 2 r 1 3 y1 y3 y2 冪的運算 方法點睛 冪的運算的一般規(guī)律及要求 1 分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的乘積 而是根式的另一種寫法 分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化 2 分數(shù)指數(shù)冪不能隨心所欲地約分 例如要將寫成等 必須認真考查a的取值才能決定 例如 而無意義 3 在進行冪和根式的化簡時 一般是先將根式化成冪的形式 并化小數(shù)指數(shù)冪為分數(shù)指數(shù)冪 并盡可能地統(tǒng)一成分數(shù)指數(shù)冪形式 再利用冪的運算性質(zhì)進行化簡 求值 計算 以利于運算 達到化繁為簡的目的 例1 計算下列各式的值 1 2 a 0 b 0 解題指南 先將根式化為分數(shù)指數(shù)冪 底數(shù)為小數(shù)的化成分數(shù) 負分數(shù)指數(shù)化為正分數(shù)指數(shù) 然后根據(jù)冪的運算性質(zhì)進行計算 規(guī)范解答 1 原式 2 原式 反思 感悟 指數(shù)冪的一般運算步驟 有括號先算括號里的 無括號先做指數(shù)運算 先乘除后加減 負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù) 底數(shù)是負數(shù) 先確定符號 底數(shù)是小數(shù) 先要化成分數(shù) 底數(shù)是帶分數(shù)的 先化成假分數(shù) 若是根式 應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)冪 盡可能用冪的形式表示 運用指數(shù)運算性質(zhì) 變式訓練 計算下列各式的值 1 2 解析 1 2 指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 方法點睛 利用指數(shù)函數(shù)圖象求解指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)問題的方法 1 對由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的一些函數(shù)其圖象性質(zhì) 單調(diào)性 最值 大小比較 零點等 的處理往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象 通過平移 對稱變換得到其圖象 然后數(shù)形結(jié)合 使問題得解 2 指數(shù)型方程 不等式的圖象解法一些指數(shù)方程 不等式問題的求解 往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解 提醒 在比較指數(shù)值大小時 同底的可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 若指數(shù)相同 底數(shù)不同 可理解為同一自變量值的兩個指數(shù)函數(shù)值的大小 可借助圖象得出 對底數(shù) 指數(shù)都不同的情況 可尋找中間量或確定各數(shù)所在的范圍 例2 已知f x 2x 1 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 比較f x 1 與f x 的大小 3 試確定函數(shù)g x f x x2零點的個數(shù) 解題指南 1 作出f x 的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 2 在同一坐標系中分別作出f x f x 1 圖象 數(shù)形結(jié)合求解 3 在同一坐標系中分別作出函數(shù)f x 與y x2的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 規(guī)范解答 1 由f x 2x 1 可作出函數(shù)的圖象如圖 因此函數(shù)f x 在 0 上遞減 函數(shù)f x 在 0 上遞增 2 在同一坐標系中分別作出函數(shù)f x f x 1 的圖象 如圖所示 由圖象知 當 1 1 時 解得 兩圖象相交 從圖象可見 當x 時 f x f x 1 當時 f x f x 1 當時 f x f x 1 3 將g x f x x2的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)f x 與y x2圖象的交點問題 在同一坐標系中分別作出函數(shù)f x 2x 1 和y x2的圖象如圖所示 有四個交點 故g x 有四個零點 反思 感悟 對于指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性 最值 零點及指數(shù)型方程 不等式能用數(shù)形結(jié)合求解的盡量用數(shù)形結(jié)合法求解 但要注意畫出的函數(shù)圖象的基本特征必須要準確 否則很容易失誤 如本例 3 變式訓練 k為何值時 方程 3x 1 k無解 有一解 有兩解 解析 函數(shù)y 3x 1 的圖象是由函數(shù)y 3x的圖象向下平移一個單位后 再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的 函數(shù)圖象如圖所示 當k 0時 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象無交點 即方程無解 當k 0或k 1時 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象有唯一的交點 所以方程有一解 當0 k 1時 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象有兩個不同交點 所以方程有兩解 變式備選 若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0 a 1 的圖象有兩個公共點 求實數(shù)a的取值范圍 解析 分底數(shù)01兩種情況 分別在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)的圖象 如圖 從圖中可以看出 只有當0 a 1 且0 2a 1 即0 a 時 兩函數(shù)才有兩個交點 所以0 a 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 方法點睛 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解的問題及方法 1 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小 2 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)定義域 值域 最值 單調(diào)性 奇偶性的求解方法 與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致 只需根據(jù)條件靈活選擇即可 例3 1 函數(shù)y 的定義域是 2 函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 值域為 3 2012 溫州模擬 已知f x 是r上的奇函數(shù) 求a b的值 解不等式f 3 log3x 2 2log3x f 2 log3x 2 3 0 解題指南 根據(jù)待求的指數(shù)型函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征 選擇恰當?shù)那蠛瘮?shù)定義域 值域 最值 單調(diào)區(qū)間 奇偶性的方法求解 規(guī)范解答 1 由題意知32x 1 0 32x 1 3 3 2x 1 3 x 1 即定義域是 1 答案 1 2 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 而y t在r上為單調(diào)遞減 所以f x 在 2 上單調(diào)遞減 又g x x 2 2 7 7 f x 7 3 7 答案 2 3 7 3 f x 是r上的奇函數(shù) f 0 0 b 1 又 f 1 f 1 a 2 此時f x 經(jīng)檢驗確為奇函數(shù) f x 設(shè)x1 x2 則f x1 f x2 且 0 且1 0 1 0 即f x1 f x2 f x 在r上單調(diào)遞增 原不等式等價于 2 log3x 2 3 3 log3x 2 2log3x 即 log3x 2 2log3x 3 0 log3x 3或log3x 1 0 x 或x 3 所以不等式的解集為 x 0 x 或x 3 互動探究 若將本例 2 中函數(shù)f x 變?yōu)閒 x 且其最大值為3 求a的值 解析 令h x ax2 4x 3 y 由于f x 有最大值3 y 為r上的減函數(shù) 所以h x 應(yīng)有最小值 1 因此必有解得a 1 即當f x 有最大值3時 解得a 1 反思 感悟 在求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)問題時 要根據(jù)解析式的結(jié)構(gòu)特征 根據(jù)待求問題 選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?但對復合函數(shù)一定要注意其定義域 變式備選 已知函數(shù)f x 1 若f x 2 求x的值 2 若2tf 2t mf t 0對于t 1 2 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 解析 1 當x 0時 f x 0 當x 0時 f x 由條件可知 2 即22x 2 2x 1 0 解得2x 2x 0 x log2 1 2 當t 1 2 時 0即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 1 22t 17 5 故m的取值范圍是 5 易錯誤區(qū) 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象 性質(zhì)的誤區(qū) 典例 2012 廣州模擬 已知函數(shù)y b a b是常數(shù)且a 0 a 1 在區(qū)間 0 上有ymax 3 ymin 試求a b的值 解題指南 先確定t x2 2x在 0 上的值域 再分a 1 0 a 1兩種情況討論 構(gòu)建a b的方程組求解 規(guī)范解答 x 0 t x2 2x x 1 2 1 值域為 1 0 即t 1 0 1 若a 1 函數(shù)y at在r上為增函數(shù) at 1 則b b b 1 依題意得解得 2 若0 a 1 函數(shù)y at在r上為減函數(shù) at 1 則b b 1 b 依題意得解得綜上 所求a b的值為或 閱卷人點撥 通過對試題的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 山東高考 若點 a 9 在函數(shù)y 3x的圖象上 則tan的值為 a 0 b c 1 d 解析 選d 因為點 a 9 在函數(shù)y 3x的圖象上 所以3a 9 a 2 所以tan 3 2 2011 遼寧高考 設(shè)函數(shù)f x 則滿足f x 2的x的取值范圍是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 選d 若x 1 則21 x 2 解得0 x 1 若x 1 則1 log2x 2 解得x 1 綜上 x 0 故選d 3 2011 湖北高考 若定義在r上的偶函數(shù)f x 和奇函數(shù)g x 滿足f x g x ex 則g x a ex e x b ex e x c e x ex