杭州電子科技大學03高等數(shù)學競賽試題及參考解筨.doc

2003高等數(shù)學競賽試題及參考解筨一、選擇題（40分）1.設，且，則（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.設是連續(xù)函數(shù)，的原函數(shù)，則（ A ）(A) 當為奇函數(shù)時,必為偶函數(shù)；(B) 當為偶函數(shù)時,必為奇函數(shù)；(C) 當為周期函數(shù)時,必為周期函數(shù)；(D) 當為單調(diào)增函數(shù)時,必為單調(diào)增函數(shù).3.設，在內(nèi)恒有，記，則有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不確定.4.設有連續(xù)導數(shù)，且，當時，是同階無窮小，則（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.設，則在點（ D ）(A) 不連續(xù)；(B) 連續(xù)但偏導數(shù)不存在；(C) 可微；(D) 連續(xù)且偏導數(shù)存在但不可微.6.設，則以向量、為邊的平行四邊形的對角線的長度為（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.設是包含原點在內(nèi)的兩條同向閉曲線，的內(nèi)部，若已知（k為常數(shù)），則有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，與L2的形狀有關(guān).8.設在處收斂，則在處（ D ）(A) 絕對收斂；(B) 條件收斂；(C) 發(fā)散；(D) 收斂性與an有關(guān).9.設A為矩陣，B為矩陣，若，則齊次線性方程組（ C ）(A) 無解；(B) 只有零解；(C) 有非零解；(D) 可能有解，也可能無解.10.設是空間個相異的點，記，則共面的充分必要條件是（ D ）(A) 秩(A)=1;(B) 秩(A)=2;(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.二、（8分）設，試確定、的值，使都存在.解：當時，故；當時，。三、（8分）設的一個原函數(shù)，且，求.解：，由知，四、（10分）設，S為的邊界曲面外側(cè)，計算解：（下側(cè)），（上側(cè)）， 五、（10分）已知向量組線性無關(guān)，向量都可用表出，即求證：線性相關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩.解：（）設線性相關(guān)，則不全為0的使，即，線性無關(guān)，即是齊次線性方程組的非零解，故。（）設，則有非零解，即不全為0的使成立，從而，故線性相關(guān)。六、（10分）設n階實對稱矩陣的秩為r，且滿足（稱A為冪等矩陣），求：（1）二次型的標準形；（2）行列式的值，其中E為單位矩陣.解：A為實對稱陣，正交陣P，使，為A的特征值。（1）設是A的任一特征值，為對應特征向量，則，或，即實對稱冪等矩陣的特征值只取0或1。由，知中有r個1，個0，適當排列P中列向量，可使，其中為r階單位矩陣，故二次型的標準形為。（2）由得，故七、（10分）已知，.求證：（1）數(shù)列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收斂，收斂，收斂，又因，故收斂。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可見， （用歸納法證明偶數(shù)項單調(diào)減少，奇數(shù)項單調(diào)增加）。設，。， 由知、收斂，令，；由，知，。對兩邊取極限得， 對兩邊取極限得， 由得，解得由知收斂，且為方程的根（再證唯一性）。八、（12分）設在單位圓上有連續(xù)的偏導數(shù)，且在邊界上取值為零，求證： , 其中D為圓環(huán)域：解一：令，。由已知當時，故解二：令，令為（逆時針），為（順時針） ，。九、（12分）如圖所示，有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現(xiàn)沿塔身建一登上塔頂?shù)臉翘荩髽翘萸€在每一點的切線與過該點垂直于平面的直線的夾角為，樓梯入口在點, 試求樓梯曲線的方程.解：設曲