例析反函數(shù)的幾種題型及解法學(xué)法指導(dǎo)不分本

例析反函數(shù)的幾種題型及解法易文峰 反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。在歷年高考中也占有一定的比例。為了更好地掌握反函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，本文重點(diǎn)分析關(guān)于反函數(shù)的幾種題型及其解法。一. 反函數(shù)存在的充要條件類型 例1. （2004年北京高考）函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是（ ） A. B. C. D. 解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間或上是單調(diào)函數(shù)。 而已知函數(shù)在區(qū)間1，2上存在反函數(shù) 所以或者 即或 故選（C） 評(píng)注：函數(shù)在某一區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是該函數(shù)在這一區(qū)間上是一一映射。特別地：如果二次函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)必存在反函數(shù)；如果函數(shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的某個(gè)子區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)在這個(gè)子區(qū)間上必存在反函數(shù)。二. 反函數(shù)的求法類型 例2. （2005年全國(guó)卷）函數(shù)的反函數(shù)是（ ） A. B. C. D. 解析：由可得，故 從解得 因 所以 即其反函數(shù)是 故選（B）。 評(píng)注：這種類型題目在歷年高考中比較常見。在求反函數(shù)的過程中必須注意三個(gè)問題： （1）反函數(shù)存在的充要條件是該函數(shù)在某一區(qū)間上是一一映射； （2）求反函數(shù)的步驟：求原函數(shù)的值域，反表示，即把x用y來表示，改寫，即把x與y交換，并標(biāo)上定義域。其中例3在反表示后存在正負(fù)兩種情況，由反函數(shù)存在的充要條件可知，只能根據(jù)函數(shù)的定義域（）來確定，再結(jié)合原函數(shù)的值域即可得出正確結(jié)論。另外，根據(jù)反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，所以求反函數(shù)時(shí)應(yīng)先求出原函數(shù)的值域，不應(yīng)該直接求反函數(shù)的定義域。例如：求的反函數(shù)。 由可得 反表示解出 由應(yīng)取 即 所以為其反函數(shù)。 （3）與互為反函數(shù)，對(duì)于函數(shù)來說，其反函數(shù)不是，而是。同理的反函數(shù)也不是，而是。三. 求反函數(shù)定義域、值域類型 例3. （2004年北京春季）若為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域?yàn)開。 解析：通法是先求出的反函數(shù)，可求得的值域?yàn)?，而利用反函?shù)的值域就是原函數(shù)的定義域這條性質(zhì)，立即得的值域?yàn)椤?評(píng)注：這種類型題目可直接利用原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域和定義域這一性質(zhì)求解。四. 反函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性類型 例4. 函數(shù)的反函數(shù)是（ ） A. 奇函數(shù)，在（）上是減函數(shù) B. 偶函數(shù)，在（）上是減函數(shù) C. 奇函數(shù)，在（）上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，在（）上是增函數(shù) 解析：因?yàn)樵冢ǎ┥鲜窃龊瘮?shù)，在（）上是減函數(shù) 所以在（）上是增函數(shù) 易知為奇函數(shù) 利用函數(shù)與具有相同的單調(diào)性，奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)這兩條性質(zhì)，立即選（C）。五. 反函數(shù)求值類型 例5. （2005年湖南省高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，則_。 解析：由，可知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4，0）。而點(diǎn)（4，0）關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱點(diǎn)為（-2，4）。由題意知點(diǎn)（-2，4）也在函數(shù)的圖象上，即有，所以。 評(píng)注：此題是關(guān)于反函數(shù)求值的問題，但又綜合了函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題。在反函數(shù)求值時(shí)經(jīng)常要用到這條性質(zhì)：當(dāng)函數(shù)存在反函數(shù)時(shí)，若，則。 如（2004年湖南省高考）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 分析：直接利用：若，則。 選（B）。六. 反函數(shù)方程類型 例6. （2004年上海市高考）已知函數(shù)，則方程的解x=_。 解析：當(dāng)函數(shù)存在反函數(shù)時(shí)，若，則。所以只需求出的值即為中的x的值。易知，所以即為所求的值。 評(píng)注：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求。即先求出反函數(shù)的解析式，再解方程，也可得。七. 反函數(shù)不等式類型 例7. （2005年天津市高考）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則成立時(shí)x的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：由，知函數(shù)在R上為增函數(shù)，所以在R上也為增函數(shù)。 故由，有 而 可得 故選（A）。 評(píng)注：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求，但比較繁瑣。而下面的題目選用常規(guī)方法解則更為簡(jiǎn)便。 如（2004年湖南省高考）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 分析：依題意知。畫出略圖，故選（A）。八. 反函數(shù)的圖象類型 例8. （2004年福建省高考）已知函數(shù)的反函數(shù)是，則的圖象是（ ） 解析：由題意知 則 所以的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位而得到。 故選（C）。 評(píng)注：解反函數(shù)的圖象問題，通常方法有：平移法，對(duì)稱法等。對(duì)稱法是指根據(jù)原、反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱來求解；特殊地，若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身，則它的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這種函數(shù)稱為自反函數(shù)。九. 與反函數(shù)有關(guān)的綜合性類型 例9. （2003年黃岡市模考）設(shè)，是奇函數(shù)，且。 （1）試求的反函數(shù)的解析式及的定義域； （2）設(shè)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。 解析：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且 所以 得 所以 可求得 令，反解出 從而 （2）因?yàn)椋?由得 所以 即對(duì)恒成立 令 其在上為單調(diào)遞減函