雙星三星四星問題

雙星模型、三星模型、四星模型1、 雙星問題1.模型構建：在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做角速度、周期相同的勻速圓周運動的恒星稱為雙星。2模型條件： (1)兩顆星彼此相距較近。(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運動。(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運動。3模型特點: (1)“向心力等大反向”兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2)“周期、角速度相同”兩顆恒星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。(3)三個反比關系：m1r1m2r2；m1v1m2v2；m1a1m2a2推導：根據(jù)兩球的向心力大小相等可得，m12r1m22r2，即m1r1m2r2；等式m1r1m2r2兩邊同乘以角速度，得m1r1m2r2，即m1v1m2v2；由m12r1m22r2直接可得，m1a1m2a2。(4)巧妙求質(zhì)量和：m12r1 m22r2 由得：2L m1m24. 解答雙星問題應注意“兩等”“兩不等”(1)“兩等”: 它們的角速度相等。雙星做勻速圓周運動向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等。(2)“兩不等”:雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。由m12r1m22r2知由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等。二、多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同(2)三星模型： 三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)(3)四星模型：其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙)另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)三、衛(wèi)星的追及相遇問題1、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到再次相距最近遵從的規(guī)律：內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為2的整數(shù)倍。2、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到相距最遠遵從的規(guī)律：內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為的奇數(shù)倍。3、 對于天體追及問題的處理思路：(1)根據(jù)mr2，可判斷出誰的角速度大；(2)根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2的整數(shù)倍，相距最遠時，兩星運行的角度差等于的奇數(shù)倍。在與地球上物體追及時，要根據(jù)地球上物體與同步衛(wèi)星角速度相同的特點進行判斷。天體物理中的雙星，三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律，他們的運動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運動的三條基本規(guī)律。雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計算，運行周期的計算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點的。雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律：，作用力的方向在雙星間的連線上，角速度相等，。【例題1】天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）【解析】：設兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2。根據(jù)題意有根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有GG聯(lián)立以上各式解得根據(jù)解速度與周期的關系知聯(lián)立式解得【例題2】神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于O點處質(zhì)量為m的星體(視為質(zhì)點)對它的引力，設A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m(用m1、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7105 m/s，運行周期T=4.7104 s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G=6.6710-11 Nm2/kg2，ms=2.01030 kg）解析：設A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有，設A、B間距離為，則由以上各式解得由萬有引力定律，有，代入得令，通過比較得（2）由牛頓第二定律，有而可見星A的軌道半徑將代入上式解得（3）將代入上式得代入數(shù)據(jù)得設，將其代入上式得可見，的值隨的增大而增大，試令，得可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于，由此可得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞?！纠}3】天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運動，設雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、M2，試計算（1）雙星的軌道半徑（2）雙星運動的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，即：-.- 由以上兩式可得：，又由.- 得：【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動.由天文觀察測得其運動周期為T,S1到C點的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為 （ D ） A.B.C.D. 答案 ：D解析 雙星的運動周期是一樣的,選S1為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得,則m2=.故正確選項D正確.【例題5】如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。1 求兩星球做圓周運動的周期。2 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.981024kg 和 7.35 1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）【答案】 1.01【解析】 A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。因此有，連立解得，對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得 將地月看成雙星，由得將月球看作繞地心做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得 所以兩種周期的平方比值為【例題6】【2012江西聯(lián)考】如右圖，三個質(zhì)點a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M（M m1，M m2）。在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周期之比TaTb=1k；從圖示位置開始，在b運動一周的過程中，則 （ ）Aa、b距離最近的次數(shù)為k次Ba、b距離最近的次數(shù)為k+1次Ca、b、c共線的次數(shù)為2kDa、b、c共線的次數(shù)為2k-2【答案】D【解析】在b轉(zhuǎn)動一周過程中，a、b距離最遠的次數(shù)為k-1次，a、b距離最近的次數(shù)為k-1次，故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2，選項D正確?！纠}7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通常可忽略其他星體對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行.設每個星體的質(zhì)量均為m.(1)試求第一種形式下,星體運動的線速度和周期.(2)假設兩種形式下星體的運動周期相同,第二種形式下星體之間的距離應為多少?答案 (1) (2)解析 (1)對于第一種運動情況,以某個運動星體為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有:F1=F1+F2=mv2/R運動星體的線速度:v =周期為T,則有T=T=4(2)設第二種形式星體之間的距離為r,則三個星體做圓周運動的半徑為R=由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供,由力的合成和牛頓運動定律有：F合=cos30F合=mR所以r=R【例題8】（2012湖北百校聯(lián)考）宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠，通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式:一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂