高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明課件 蘇教版選修12.ppt

2 2 2間接證明 第2章2 2直接證明與間接證明 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解反證法是間接證明的一種基本方法 2 理解反證法的思考過程 會用反證法證明數(shù)學(xué)問題 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 著名的 道旁苦李 的故事 王戎小時候 愛和小朋友在路上玩耍 一天 他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 獨有王戎沒動 等到小朋友們摘了李子一嘗 原來是苦的 他們都問王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎說 假如李子不苦的話 早被路人摘光了 而這樹上卻結(jié)滿了李子 所以李子一定是苦的 思考 王戎的論述運用了什么論證方法 答案實質(zhì)運用反證法的思想 答案 知識點間接證明 梳理 1 間接證明 定義 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立 像這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明 常用方法 反證法 2 反證法 基本過程 反證法證明時 要從開始 經(jīng)過 導(dǎo)致 從而達(dá)到 即肯定原命題 否定結(jié)論 正確推理 邏輯矛盾 新的否定 證題步驟 反設(shè) 假設(shè)不成立 即假定原結(jié)論的反面為真 歸謬 從和出發(fā) 經(jīng)過一系列正確的邏輯推理 得出矛盾結(jié)果 存真 由 斷定不真 從而肯定原結(jié)論成立 命題的結(jié)論 反設(shè) 已知條件 矛盾結(jié)果 反設(shè) 題型探究 例1設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 q 1 證明 數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 證明 類型一用反證法證明否定性命題 證明假設(shè) an 1 是等比數(shù)列 則對任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 這與已知矛盾 假設(shè)不成立 故 an 1 不是等比數(shù)列 1 用反證法證明否定性命題的適用類型 結(jié)論中含有 不 不是 不可能 不存在 等詞語的命題稱為否定性命題 此類問題的正面比較模糊 而反面比較具體 適合使用反證法 2 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 反思與感悟 證明 a b c成等比數(shù)列 b2 ac a c 從而a b c 這與已知a b c不成等差數(shù)列相矛盾 假設(shè)不成立 類型二用反證法證明 至多 至少 類問題 證明 例2a b c 0 2 求證 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 證明假設(shè) 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因為a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 證明 引申探究已知a b c 0 1 求證 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 證明假設(shè) 1 a b 1 b c 1 c a都大于 a b c都是小于1的正數(shù) 1 a 1 b 1 c都是正數(shù) 用反證法證題時 如果要證明的命題的反面情況只有一種 那么只要將這種情況駁倒了就可以 若結(jié)論的反面情況有多種 則必須將所有的反面情況一一駁倒 才能推斷結(jié)論成立 反思與感悟 證明 跟蹤訓(xùn)練2已知a b c是互不相等的實數(shù) 求證 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點 證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和 得4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 這與題設(shè)a b c互不相等矛盾 因此假設(shè)不成立 從而命題得證 類型三用反證法證明唯一性命題 證明 例3求證 方程2x 3有且只有一個根 證明 2x 3 x log23 這說明方程2x 3有根 下面用反證法證明方程2x 3的根是唯一的 假設(shè)方程2x 3至少有兩個根b1 b2 b1 b2 則 3 3 兩式相除得 1 b1 b2 0 則b1 b2 這與b1 b2矛盾 假設(shè)不成立 從而原命題得證 用反證法證明唯一性命題的一般思路 證明 有且只有一個 的問題 需要證明兩個命題 即存在性和唯一性 當(dāng)證明結(jié)論以 有且只有 只有一個 唯一存在 等形式出現(xiàn)的命題時 可先證 存在性 由于假設(shè) 唯一性 結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾 因此可用反證法證其唯一性 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上是增函數(shù) 求證 方程f x 0在區(qū)間 a b 上至多有一個實根 證明 證明假設(shè)方程f x 0在區(qū)間 a b 上至少有兩個實根 設(shè) 為其中的兩個實根 因為 不妨設(shè) 又因為函數(shù)f x 在 a b 上是增函數(shù) 所以f f 這與假設(shè)f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在區(qū)間 a b 上至多有一個實根 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 a b 的反面應(yīng)是 答案 2 3 4 5 1 a b或a b 2 3 4 5 1 答案 2 用反證法證明命題 三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角 時 假設(shè) 至少有兩個鈍角 2 3 4 5 1 答案 解析 都大于2 都不小于2 至少有一個不小于2 至少有一個不大于2 解析假設(shè)三個數(shù)都小于2 2 3 4 5 1 答案 4 用反證法證明某命題時 對某結(jié)論 自然數(shù)a b c中無偶數(shù) 正確的假設(shè)為 a b c中至少有一個偶數(shù) 解析 解析a b c中無偶數(shù) 即a b c都是奇數(shù) 反設(shè)應(yīng)是 a b c中至少有一個偶數(shù) 2 3 4 5 1 證明 方程2x 3至少有一個實根 設(shè)x1 x2是方程2x 3的兩個不同實根 5 證明 方程2x 3有且僅有一個實根 由 得 2 x1 x2 0 x1 x2 這與x1 x2矛盾 方程2x 3有且僅有一個實根成立 規(guī)律與方法 1 反證法證明的3個步驟 1 反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假定原結(jié)論的反面為真 2 歸謬 從反設(shè)和已知條件出發(fā) 經(jīng)過一系列正確的邏輯推理 得出矛盾結(jié)果 3 存真 由矛盾結(jié)果 斷定反設(shè)不真 從而肯定原結(jié)