高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專(zhuān)題線面垂直典型例題的判定與性質(zhì)

精品文檔 1歡迎下載 線面垂直 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 1 直線和平面垂直定義 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直 就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直 2 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 那么這條直線垂直于這個(gè)平面 判定定理 如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面 那么另一條也垂直于同一平面 判定定理 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面 它也垂直于另一個(gè)平面 性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面 那么這兩條直線平行 3 三垂線定理和它的逆定理 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線 如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直 那么它和這條斜 線垂直 逆定理 在平面內(nèi)的一條直線 如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直 那么它也和這條斜線在該平 面上的射影垂直 題型示例題型示例 例例 1 1 如圖所示 已知點(diǎn)S是平面ABC外一點(diǎn) ABC 90 SA 平面ABC 點(diǎn)A在直線SB和SC上的 射影分別為點(diǎn)E F 求證 EF SC 解前點(diǎn)津解前點(diǎn)津 用分析法尋找解決問(wèn)題的途徑 假設(shè) EF SC成立 結(jié)合AF SC可推證SC 平面AEF 這樣 SC AE 結(jié)合AE SB 可推證AE 平面SBC 因此證明 AE 平面SBC是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié) 由題設(shè)SA 平面ABC ABC 90 可以推證BC AE 結(jié)合AE SB完成AE 平 面SBC的證明 規(guī)范解答規(guī)范解答 例 1 題圖 精品文檔 2歡迎下載 解后歸納解后歸納 題設(shè)中條件多 圖形復(fù)雜 結(jié)合題設(shè)理清圖形中基本元素之間的位置關(guān)系是解 決問(wèn)題的關(guān)鍵 例例 2 2 已知 M N AB PQ M于Q PO N于O OR M于R 求證 QR AB 解前點(diǎn)津解前點(diǎn)津 由求證想判定 欲證線線垂直 方法有 1 a b a cb c 2 a b a b 3 三垂線定理及其逆定理 由已知想性質(zhì) 知線面垂直 可推出線線垂直或線線平行 解后歸納解后歸納 處于非常規(guī)位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應(yīng)用問(wèn)題 要抓住 一個(gè)面 四條線 所謂 一個(gè)面 就是要確定一個(gè)垂面 三條垂線共處于垂面之上 所謂 四條線 就是垂線 斜線 射影以及平面內(nèi)的第四條線 這四條線中垂線是關(guān)鍵的一 條線 牽一發(fā)而動(dòng)全身 應(yīng)用時(shí)一般可按下面程序進(jìn)行操作 確定垂面 抓準(zhǔn)斜線 作出垂線 連 結(jié)射影 尋第四條線 例例 3 3 已知如圖 1 所示 矩形紙片AA A 1A1 B C B1 C1 分別為AA A1A 的三等分 點(diǎn) 將矩形紙片沿BB1 CC1折成如圖 2 形狀 正三棱柱 若面對(duì)角線AB1 BC1 求證 A1C AB1 例 3 題圖解 1 精品文檔 3歡迎下載 解前點(diǎn)津解前點(diǎn)津 題設(shè)主要條件是AB1 BC 而結(jié)論是AB1 A1C 題設(shè) 題斷有對(duì)答性 可在 ABB1A1上作文章 只要取A1B1中點(diǎn)D1 就把異面直線AB1與BC1垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換到ABB1A1同一平面內(nèi) AB1與BD1垂直關(guān)系 這里要感謝三垂線逆定理 自然想到題斷AB1與A1C垂直用同法 對(duì)稱(chēng)原理 轉(zhuǎn)換到同一平面 取AB中點(diǎn)D即可 只要證得A1D垂直于AB1 事實(shí)上DBD1A1 為平行四邊形 解 題路子清楚了 解后歸納解后歸納 證線線垂直主要途徑是 1 三垂線正逆定理 2 線面 線線垂直互相轉(zhuǎn)化 利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作 在平面內(nèi)完成作解任務(wù) 證線線垂直 線面垂直 常常利用線面垂直 線線垂直作為橋梁過(guò)渡過(guò)來(lái) 這種轉(zhuǎn)化思想有普 遍意義 利用割補(bǔ)法把幾何圖形規(guī)范化便于應(yīng)用定義定理和公式 也是不容忽視的常用方法 例例 4 4 空間三條線段AB BC CD AB BC BC CD 已知AB 3 BC 4 CD 6 則AD的取值范圍是 解前點(diǎn)津解前點(diǎn)津 如圖 在直角梯形ABCD1中 CD1 6 AD1的長(zhǎng)是AD的最小值 其中AH CD1 AH BC 4 HD1 3 AD1 5 在直角 AHD2中 CD2 6 AD2是AD的最大值為 974 36 2222 2 AHHD 例 4 題圖 精品文檔 4歡迎下載 解后歸納解后歸納 本題出題形式新穎 靈活性大 很多學(xué)生對(duì)此類(lèi)題感到無(wú)從入手 其實(shí)冷靜分 析 找出隱藏的條件很容易得出結(jié)論 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升分階提升 一 基礎(chǔ)夯實(shí)一 基礎(chǔ)夯實(shí) 1 設(shè)M表示平面 a b表示直線 給出下列四個(gè)命題 b M b M Mb Ma ba ba Mb Ma ba Ma ba Ma 其中正確的命題是 A B C D 2 下列命題中正確的是 A 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 則這條直線垂直于這個(gè)平面 B 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 則這條直線垂直于這個(gè)平面 C 若一條直線平行于一個(gè)平面 則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線 D 若一條直線垂直于一個(gè)平面 則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面 3 如圖所示 在正方形ABCD中 E F分別是AB BC的中點(diǎn) 現(xiàn)在沿DE DF及EF把 ADE CDF和 BEF折起 使A B C三點(diǎn)重合 重合后的點(diǎn)記為P 那么 在四面體P DEF中 必有 A DP 平面PEF B DM 平面PEF C PM 平面DEF D PF 平面DEF 4 設(shè)a b是異面直線 下列命題正確的是 A 過(guò)不在a b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a b都相交 B 過(guò)不在a b上的一點(diǎn) P 一定可以作一個(gè)平面和a b都垂直 C 過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直 D 過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行 5 如果直線l m與平面 滿足 l l m 和m 那么必有 A 且l m B 且m C m 且l m D 且 6 AB是圓的直徑 C是圓周上一點(diǎn) PC垂直于圓所在平面 若BC 1 AC 2 PC 1 則P到AB的 距離為 A 1 B 2 C D 5 52 5 53 第 3 題圖 精品文檔 5歡迎下載 7 有三個(gè)命題 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 過(guò)平面 的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與 垂直 異面直線a b不垂直 那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 A 0 B 1 C 2 D 3 8 d是異面直線a b的公垂線 平面 滿足a b 則下面正確的結(jié)論是 A 與 必相交且交線m d或m與d重合 B 與 必相交且交線m d但m與d不重合 C 與 必相交且交線m與d一定不平行 D 與 不一定相交 9 設(shè)l m為直線 為平面 且l 給出下列命題 若m 則m l 若m l 則m 若m 則m l 若m l 則m 其中真命題的序號(hào)是 A B C D 10 已知直線l 平面 直線m平面 給出下列四個(gè)命題 若 則l m 若 則l m 若l m 則 若l m 則 其中正確的命題是 A 與 B 與 C 與 D 與 二 思維激活二 思維激活 11 如圖所示 ABC是直角三角形 AB是斜邊 三個(gè)頂點(diǎn)在平面 的同側(cè) 它們?cè)?內(nèi)的 射影分別為A B C 如果 A B C 是正三角形 且 AA 3cm BB 5cm CC 4cm 則 A B C 的面積是 12 如圖所示 在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中 當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 時(shí) 有 A1C B1D1 注 填上你認(rèn)為正確的一種條件即可 不必考慮所有可能的情形 13 如圖所示 在三棱錐V ABC中 當(dāng)三條側(cè)棱VA VB VC之間滿足條件 時(shí) 有 VC AB 注 填上你認(rèn)為正確的一種條件即可 三 能力提高三 能力提高 14 如圖所示 三棱錐V ABC中 AH 側(cè)面VBC 且H是 VBC的垂心 BE是VC邊上的高 1 求證 VC AB 第 11 題圖 第 12 題圖 第 13 題圖 第 14 題圖 精品文檔 6歡迎下載 2 若二面角E AB C的大小為 30 求VC與平面ABC 所成角的大小 15 如圖所示 PA 矩形ABCD所在平面 M N分別是AB PC的中點(diǎn) 1 求證 MN 平面PAD 2 求證 MN CD 3 若 PDA 45 求證 MN 平面PCD 16 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是平行四邊形 BAD 60 AB 4 AD 2 側(cè)棱PB PD 153 1 求證 BD 平面PAD 2 若PD與底面ABCD成 60 的角 試求二面角P BC A的大小 17 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 BAC 30 BC 1 AA1 M是CC1的中點(diǎn) 6 求證 AB1 A1M 第 15 題圖 第 16 題圖 精品文檔 7歡迎下載 18 如圖所示 正方體ABCD A B C D 的棱長(zhǎng)為a M是AD的中點(diǎn) N是BD 上一點(diǎn) 且 D N NB 1 2 MC與BD交于P 1 求證 NP 平面ABCD 2 求平面PNC與平面CC D D所成的角 3 求點(diǎn)C到平面D MB的距離 第第 4 4 課課 線面垂直習(xí)題解答線面垂直習(xí)題解答 1 A 兩平行中有一條與平面垂直 則另一條也與該平面垂直 垂直于同一平面的兩直線平行 2 C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知 3 A 折后DP PE DP PF PE PF 4 D 過(guò)a上任一點(diǎn)作直線b b 則a b 確定的平面與直線b平行 5 A 依題意 m 且m 則必有 又因?yàn)閘 則有l(wèi) 而m 則l m 故選 A 6 D 過(guò)P作PD AB于D 連CD 則CD AB AB 5 22 BCAC 5 2 AB BCAC CD PD 5 53 5 4 1 22 CDPC 7 D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確 8 A 顯然 與 不平行 9 D 垂直于同一平面的兩直線平行 兩條平行線中一條與平面垂直 則另一條也與該平面垂直 10 B l l m 11 cm2 設(shè)正三角A B C 的邊長(zhǎng)為a 2 3 AC2 a2 1 BC2 a2 1 AB a2 4 又AC2 BC2 AB2 a2 2 S A B C cm2 2 3 4 3 2 a 12 在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件AC BD 或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的 其它條件 例如ABCD是正方形 菱形等 時(shí) 有A1C B1D1 注 填上你認(rèn)為正確的一種條件即可 不 必考慮所有可能的情形 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 本題為探索性題目 由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題的新題型 此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線 第 18 題圖 精品文檔 8歡迎下載 定理但答案不惟一 要求思維應(yīng)靈活 13 VC VA VC AB 由VC VA VC AB知VC 平面VAB 14 1 證明 H為 VBC的垂心 VC BE 又AH 平面VBC BE為斜線AB在平面VBC上的射影 AB VC 2 解 由 1 知VC AB VC BE VC 平面ABE 在平面ABE上 作ED AB 又AB VC AB 面DEC AB CD EDC為二面角E AB C的平面角 EDC 30 AB 平面VCD VC在底面ABC上的射影為CD VCD為VC與底面ABC所成角 又VC AB VC BE VC 面ABE VC DE CED 90 故 ECD 60 VC與面ABC所成角為 60 15 證明 1 如圖所示 取PD的中點(diǎn)E 連結(jié)AE EN 則有EN CD AB AM EN CD AB AM 故AMNE為平行四邊形 2 1 2 1 MN AE AE平面PAD MN平面PAD MN 平面PAD 2 PA 平面ABCD PA AB 又AD AB AB 平面PAD AB AE 即AB MN 又CD AB MN CD 3 PA 平面ABCD PA AD 又 PDA 45 E為PD的中點(diǎn) AE PD 即MN PD 又MN CD MN 平面PCD 16 如圖 1 證 由已知AB 4 AD BAD 60 故BD2 AD2 AB2 2AD ABcos60 4 16 2 2 4 12 2 1 又AB2 AD2 BD2 ABD是直角三角形 ADB 90 即AD BD 在 PDB中 PD PB BD 31512 PB2 PD2 BD2 故得PD BD 又PD AD D BD 平面PAD 2 由BD 平面PAD BD平面ABCD 平面PAD 平面ABCD 作PE AD于E 第 15 題圖解 第 16 題圖解 精品文檔 9歡迎下載 又PE平面PAD PE 平面ABCD PDE是PD與底面ABCD所成的角 PDE 60 PE PDsin60 2 3 2 3 3 作EF BC于F 連PF 則PF BF PFE是二面角P BC A的平面角 又EF BD 在 Rt PEF中 12 tan PFE 4 3 32 2 3 EF PE 故二面角P BC A的大小為 arctan 4 3 17 連結(jié)AC1 11 1 1 2 2 6 3 AC CC MC AC Rt ACC1 Rt MC1A1 AC1C MA1C1 A1MC1 AC1C A1MC1 MA1C1 90 A1M AC1 又ABC A1B1C1為直三棱柱 CC1 B1C1 又B1C1 A1C1 B1C1 平面AC1M 由三垂線定理知AB1 A1M 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 要證AB1 A1M 因B1C1 平面AC1 由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1 A1M 而AC1 A1M一 定會(huì)成立 18 1 證明 在正方形ABCD中 MPD CPB 且MD BC 2 1 DP PB MD BC 1 2 又已知D N NB 1 2 由平行截割定理的逆定理得NP DD 又DD 平面ABCD NP 平面ABCD 2 NP DD CC NP CC 在同一平面內(nèi) CC 為平面NPC與平面CC D D所