彈性波場(chǎng)理論基本概念介紹.doc

物理大地測(cè)量讀書筆記 張永奇 0826010彈性波場(chǎng)理論基本概念介紹引言 測(cè)繪是一門數(shù)學(xué)性很強(qiáng)的學(xué)科，許多數(shù)學(xué)的理論在測(cè)繪中應(yīng)用非常的普遍。如最小二乘法，最小范數(shù)法，回歸分析法，各種曲線擬合法，蒙特卡羅法，模擬退火法，遺傳算法，等等。只要是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域可以應(yīng)用的方法，在測(cè)繪的實(shí)際應(yīng)用中同樣可以。同時(shí)，測(cè)繪學(xué)科也是一門與地球物理緊密相關(guān)的學(xué)科，在地球物理中的很多理論方法在解決測(cè)繪問(wèn)題中都起到了非常重要的作用。如流體力學(xué)的應(yīng)用，彈性力學(xué)的應(yīng)用，等等。本文主要是介紹一下地球物理學(xué)的關(guān)于彈性波場(chǎng)的理論，最后做了簡(jiǎn)要的展望。彈性波場(chǎng)就是在彈性介質(zhì)中傳播的波。彈性介質(zhì)在外力或擾動(dòng)的作用下會(huì)發(fā)生體積和形狀的變化(稱為形變)，產(chǎn)生所謂應(yīng)變。應(yīng)變可分為縱向(或脹縮)應(yīng)變和橫向(或剪切)應(yīng)變。這些應(yīng)變用彈性常數(shù)來(lái)表示。當(dāng)一擾動(dòng)作用于均勻各向同性完全彈性介質(zhì)時(shí)，在彈性介質(zhì)內(nèi)有脹縮應(yīng)變的縱向位移形式向前傳播的縱波存在，同時(shí)也有以剪切橫向位移形式向前傳播的橫波存在。縱波傳播速度比橫放傳播速度快，在地震時(shí)縱波比橫波先到。 地震波的實(shí)質(zhì)就是地下巖石中傳播的彈性波。在地震波傳播范圍內(nèi)絕大部分巖石都可以近似地看成理想彈性體或完全彈性體。因此彈性力學(xué)的許多理論和概念可以引人地震勘查中來(lái)。在這里我們重復(fù)了一些彈性力學(xué)的概念，是為了將它們引伸到地震勘查范圍中來(lái)，著眼點(diǎn)是從地震勘查的角度描述這些基本概念。一 應(yīng)力和應(yīng)變(一)應(yīng)力 當(dāng)彈性體在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，總有一種阻止彈性體形變，欲恢復(fù)彈性體原狀的內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為內(nèi)應(yīng)力，簡(jiǎn)稱應(yīng)力。應(yīng)力可定義為單位面積上的內(nèi)力。注意，應(yīng)力的量綱不是力的量綱而是單位面積上力的量綱，因此有的書將應(yīng)力稱為“脅強(qiáng)”。 根據(jù)力的分解定理，可將彈性體內(nèi)任意方向的應(yīng)力分解為垂直于單位面積的法向應(yīng)力和相切于單位面積的剪切應(yīng)力。描述彈性體內(nèi)某一點(diǎn)M的應(yīng)力，在直角坐標(biāo)系中常取一小平行六面體、六面體的每個(gè)面都垂直坐標(biāo)軸(圖1)，考慮這些面上的應(yīng)力，可得九個(gè)應(yīng)力分量，即法向應(yīng)力，剪切應(yīng)力，。圖1應(yīng)力分量示意圖下標(biāo)的第一個(gè)腳碼i表示應(yīng)力的作用方向，第二個(gè)腳碼j表示應(yīng)力作用在垂直j軸的平面上。彈性體處在靜平衡時(shí)這些應(yīng)力互相抵消。我們已知，由于，9個(gè)應(yīng)力分量只有六個(gè)是獨(dú)立的。（二）應(yīng)變當(dāng)彈性體受到應(yīng)力作用，產(chǎn)生體積和形狀的變化，這種變化稱為應(yīng)變。彈性體在外力作用下可產(chǎn)生上述兩種應(yīng)變的綜合，正如前述，這兩種基本類型的應(yīng)變正好對(duì)應(yīng)著地震勘查中的縱波和橫波。 在連續(xù)彈性介質(zhì)中，在力的作用下發(fā)生形狀變化時(shí)，我們說(shuō)介質(zhì)受到了形變。于是，在物質(zhì)內(nèi)部，在一直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)的位置移動(dòng)到鄰近位置點(diǎn)，產(chǎn)生一個(gè)位移矢量U(圖2)圖2 位移示意圖其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別用u，v，w來(lái)表示。P點(diǎn)附近的位移分量可由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式給出。 （1.1）在彈性波中主要討論小變形，因此高次項(xiàng)可忽略不計(jì)，對(duì)上式稍加變化，可得 （1.2）引入下列符號(hào)： （1.3）由這些表達(dá)式可以把位移分量式（1.2）表示成下列形式： （1.4）由此可見(jiàn)，這些表達(dá)式的第一項(xiàng)為p點(diǎn)的位移分量，第一個(gè)括號(hào)中的各項(xiàng)相當(dāng)于一個(gè)體積元的純轉(zhuǎn)動(dòng)，第二個(gè)括號(hào)中的各項(xiàng)與此體積元的應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)變分量表示平行于x，y，z軸的簡(jiǎn)單伸長(zhǎng)，稱為線應(yīng)變。其余三個(gè)分量為形變的切變分量，可以證明他們分別等于原始直角體積元在平面內(nèi)的角度變化。體積元受力后的體積相對(duì)變化，可以用體變系數(shù)來(lái)描述，按體積相對(duì)變化的定義可得 （1.5）據(jù)數(shù)學(xué)場(chǎng)論可知，上述體變系數(shù)的表達(dá)式恰好是位移向量U的散場(chǎng)，所以（1.5）式亦可以寫成： （1.6）這就告訴我們一個(gè)向量場(chǎng)的散度在彈性波傳播理論中的物理意義體現(xiàn)為彈性介質(zhì)體積的相對(duì)變化（膨脹或壓縮）二 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系對(duì)大多數(shù)固體而言，在彈性極限范圍以內(nèi)，測(cè)得的應(yīng)變與外作用力成比例。這個(gè)規(guī)律由廣義虎克定律描述。若固體中6個(gè)應(yīng)力分量中的每一個(gè)都是6個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)，在一般情況下，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系中將出現(xiàn)6636個(gè)彈性系數(shù)。但在各向同性的理想彈性體中，由于各向同性所具有的對(duì)稱性，彈性常數(shù)減少為兩個(gè)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可寫成下列虎克定律形式： （1.6）式中彈性系數(shù)和就是著名的拉梅常數(shù)。由上式還可看出 當(dāng)值較大時(shí)，就變小，這說(shuō)明的物理意義是阻止剪切應(yīng)變的，因此常稱為剪切模量。除和外，還常用一些其他彈性常數(shù)來(lái)描述應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，最常用的有楊氏模量E，泊松比，體積壓縮模量K.他們的定義分別是：楊氏模量E表示圓或多角形柱形，在其一端受力，側(cè)面為自由面，所加應(yīng)力與伸出之比，即 （1.7）泊松比則是上述實(shí)驗(yàn)中，橫向縮短與縱向伸長(zhǎng)之比，即 （1.8）體積壓縮模量K表示當(dāng)固體受均勻流體靜壓力時(shí)，所加壓力與體積變化之比 （1.9）考慮到上述實(shí)驗(yàn)只有應(yīng)力，其余5個(gè)應(yīng)力分量為零。由方程式（1.6）和E，K的定義可得出彈性常數(shù)之間的關(guān)系 (1.10) (1.11) (1.12)上述彈性常數(shù)都是正數(shù)，泊松比是小于1的數(shù)，在之間。松軟和不膠結(jié)物質(zhì)泊松比可達(dá)0.45，堅(jiān)硬巖石泊松比值很低。液體沒(méi)有剪切應(yīng)變，其三 運(yùn)動(dòng)方程波動(dòng)是彈性體內(nèi)相鄰質(zhì)點(diǎn)問(wèn)應(yīng)力的變化，從而引起質(zhì)點(diǎn)問(wèn)應(yīng)變的傳遞。研究波動(dòng)應(yīng)該考慮應(yīng)力不平衡的狀態(tài)。仍以小六面體為例。若讓作用在每個(gè)面上的力由作用在這個(gè)面中心的應(yīng)力乘上它的面積來(lái)表示，在應(yīng)力不平衡的情況下，從一個(gè)面到另個(gè)面應(yīng)力分量是要發(fā)生變化的。此外小六面體還受體力F作用。體力F的三個(gè)分量分別用X，Y，Z表示。根據(jù)牛頓第二定律我們可得出沿x，y，z方向的運(yùn)動(dòng)方程 （1.13）將應(yīng)力分量表達(dá)式（1.6）代入便可得到在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中用位移表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程（亦稱拉梅方程） （1.14）式中為拉普拉斯算符。若將式（1.14）用向量形式表示，則可得 （1.15）對(duì)上式分別取散度和旋度，可得 （1.16） （1.17）式中式（1.16）和式（1.17）說(shuō)明。在兩種不同外力作用下，在彈性介質(zhì)中產(chǎn)生兩種不同的擾動(dòng)，式（1.16）表明在脹縮力表明在脹縮力作用下，介質(zhì)產(chǎn)生由體變系數(shù)決定的脹縮擾動(dòng)。式（1.17）表明在旋轉(zhuǎn)力作用下，介質(zhì)將產(chǎn)生由決定的形變擾動(dòng)。這兩種擾動(dòng)在介質(zhì)中獨(dú)立存在。若用標(biāo)量位的梯度和矢量位的旋度米來(lái)表示位移矢量和力矢量，并引入速度，則可得到最常見(jiàn)的用為函數(shù)表示的縱波和橫波的波動(dòng)方程波動(dòng)方程描述了波的傳播特征，要了解地震波的傳播具體特征，要解波動(dòng)方程。有關(guān)地震波在無(wú)限介質(zhì)，層狀介質(zhì)中傳播的特點(diǎn)，本文將不做詳細(xì)介紹。四展望上面是基于地震勘察進(jìn)行的波動(dòng)理論的公式推導(dǎo)，沒(méi)有進(jìn)行具體應(yīng)用的分析，但是該公式在大地測(cè)量中應(yīng)用非常廣泛。因此研究該理論對(duì)研究地學(xué)，尤其是地殼形變監(jiān)測(cè)，