求解孿生素?cái)?shù)的方法

求解孿生素?cái)?shù)的方法務(wù)川自治縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王若仲 （王洪） 貴州564300 摘要：對(duì)于自然數(shù)中的素?cái)?shù)而言，確實(shí)沒(méi)有通項(xiàng)表達(dá)式，對(duì)于自然數(shù)中的孿生素?cái)?shù)而言，更是沒(méi)有通項(xiàng)表達(dá)式，但是我們可以通過(guò)一定的表達(dá)式求出一定范圍內(nèi)的所有孿生素?cái)?shù)；還可以通過(guò)一定的表達(dá)式判別設(shè)定的兩個(gè)奇數(shù)是不是孿生素?cái)?shù)。關(guān)鍵詞：奇合數(shù)；奇素?cái)?shù)；孿生素?cái)?shù)。我們知道，只能被1和本身整除的正整數(shù)，稱為素?cái)?shù)。如果兩個(gè)奇素?cái)?shù)相差2，則稱這兩個(gè)奇素?cái)?shù)為孿生素?cái)?shù)。定義1：我們把既是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù)，稱為奇合數(shù)。定理1：對(duì)于任一比較大的正整數(shù)M，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt均為不大于M的全體奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），那么在區(qū)間M，M中任何一個(gè)奇合數(shù)a，奇合數(shù)a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一個(gè)奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除。證明：設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間M，M中的一個(gè)奇合數(shù)，那么奇數(shù)a總可以分解為兩個(gè)均不小于3的奇數(shù)的乘積，我們?cè)诰唧w分析如下：（1）、當(dāng)M=bc，b3，c3，如果b=c，b和c均為素?cái)?shù)，那么M =b2=c2；則素?cái)?shù)b不大于M；（2）、當(dāng)M=bc，b3，c3，如果b=c，b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)b中必有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子q小于M；（3）、當(dāng)M=bc，b3，c3，如果bc，b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)c中必有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子q小于M；（4）、當(dāng)M=bc，b3，c3，如果bc，b和c均為奇素?cái)?shù)，那么奇素?cái)?shù)c小于M；（5）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b3，c3，aM，如果b=c，b和c均為素?cái)?shù)，那么奇素?cái)?shù)b小于M奇素?cái)?shù)；（6）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b3，c3，aM，如果b=c，b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)b中必有一個(gè)素?cái)?shù)因子p小于M；（7）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，b3，c3，aM，如果bc，b和c中一個(gè)為奇素?cái)?shù)一個(gè)為奇合數(shù)，那么奇數(shù)b和c必為一大一小的奇數(shù)，不妨設(shè)小的一個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)，則小的一個(gè)奇素?cái)?shù)小于M；（8）、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間M，M）中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc，aM，如果bc，b和c中一個(gè)為奇素?cái)?shù)和一個(gè)為奇合數(shù)，那么奇數(shù)b和c必為一大一小的奇數(shù)，不妨設(shè)大的一個(gè)奇數(shù)為奇素?cái)?shù)，那么小的一個(gè)奇數(shù)必為奇合數(shù)，不妨令小的一個(gè)奇數(shù)為c，則奇合數(shù)c總可以分解為素因子的乘積，其中任何一個(gè)素因子必小于M。綜上所述，定理1成立。例1：求證奇合數(shù)371能否被3或5或7或11或13或17或19整除。解：因?yàn)?71400，所以371400；400=20，由定理1可知，奇合數(shù)371能被3或5或7或11或13或17或19整除。3713=1233+2，3715=745+1，3717=537。定理2：對(duì)于任一奇數(shù)M（M9），設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt均為不大于M的全體奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），若奇數(shù)M均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，則奇數(shù)M為奇素?cái)?shù)。證明：對(duì)于任一奇數(shù)M（M9），設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt均為不大于M的全體奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），假若奇數(shù)M是奇合數(shù)，并且奇數(shù)M均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，這與定理1的情形產(chǎn)生矛盾，故定理2成立。例2：判別奇數(shù)391是奇素?cái)?shù)還是奇合數(shù)。解：因?yàn)?97400，400=20，由定理1可知，奇數(shù)391能否被集合3，5，7，11，13，17，19中某個(gè)奇素?cái)?shù)整除，可以判別奇數(shù)397是奇素?cái)?shù)還是奇合數(shù)；3973=1323+1，3975=795+2，3977=567+5，39711=3611+1，39713=3013+7，39717=2317+6，39717=2019+17，故奇數(shù)397是奇素?cái)?shù)。定理3：設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt為從3開(kāi)始的連續(xù)的奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），對(duì)于偶數(shù)2m,偶數(shù)2m不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，pt；設(shè)pt+1為大于奇素?cái)?shù)pt的所有奇素?cái)?shù)中最小的奇素?cái)?shù)。 （1）若2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且2m- p1k1p2k2p3k3ptktpt+12，（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，奇數(shù)（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，則奇數(shù)（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）為孿生素?cái)?shù)； （2）若2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且p1k1p2k2p3k3ptkt-2mpt+12（m1），（2m+2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，奇數(shù)（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）1，（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）1，則奇數(shù)（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）為孿生素?cái)?shù)； （3）若2m+p1k1p2k2p3k3ptktpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，則奇數(shù)（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）為孿生素?cái)?shù)。其中kr1（r=1，2，3，t）。證明：我們?cè)O(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt為從3開(kāi)始的連續(xù)的奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），對(duì)于偶數(shù)2m,偶數(shù)2m不含有奇素?cái)?shù)因子p1，p2，p3，pt；設(shè)pt+1為大于奇素?cái)?shù)pt的所有奇素?cái)?shù)中最小的奇素?cái)?shù)。 （1）對(duì)于2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且2m- p1k1p2k2p3k3ptktpt+12，（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，則奇數(shù)（2m-2- p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，若奇數(shù)（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）1，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（2m-2-p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m-p1k1p2k2p3k3ptkt）均為奇素?cái)?shù)；（2）對(duì)于2mp1k1p2k2p3k3ptkt，并且p1k1p2k2p3k3ptkt-2mpt+12（m1），（2m+2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，則奇數(shù)（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，奇數(shù)（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）1，（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）1，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m-2）和（p1k1p2k2p3k3ptkt-2m）均為奇素?cái)?shù)；（3）對(duì)于2m+p1k1p2k2p3k3ptktpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，則奇數(shù)（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（2m-2+p1k1p2k2p3k3ptkt）和（2m+p1k1p2k2p3k3ptkt）均為奇素?cái)?shù)；綜上所述，定理3成立。例3：求證奇數(shù)（357-2）和（357-2-2）為孿生奇素?cái)?shù)。解：因?yàn)槠鏀?shù)（357-2）和（357-2-2）均小于121，（2+2）均不能被奇素?cái)?shù)3或5或7整除，又因?yàn)槠鏀?shù)（357-2）和（357-2-2）均不能被奇素?cái)?shù)3或5或7整除，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（357-2）和（357-2-2）均為奇素?cái)?shù)，又因?yàn)槠鏀?shù)（357-2）和（357-2-2）相差2，故奇數(shù)（357-2）和（357-2-2）為孿生素?cái)?shù)。定理4：設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt為從3開(kāi)始的連續(xù)的奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），對(duì)于偶數(shù)2m,偶數(shù)2m不含有奇素?cái)?shù)因子p11，p12，p13，p1r，偶數(shù)2m含有奇素?cái)?shù)因子p21，p22，p23，p2s，并且p11，p12，p13，p1rp21，p22，p23，p2s=p1，p2，p3，pt，設(shè)pt+1為大于奇素?cái)?shù)pt的所有奇素?cái)?shù)中最小的奇素?cái)?shù)。 （1）若2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且2m-p11k1p12k2p13k3p1r ktpt+12，（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，奇數(shù)（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，則奇數(shù)（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）為孿生素?cái)?shù)； （2）若2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且p11k1p12k2p13k3p1r kt -2mpt+12（m0），（2m+2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，奇數(shù)（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）1，（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）1，則奇數(shù)（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）為孿生素?cái)?shù)； （3）若2m+p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，奇數(shù)（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，則奇數(shù)（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）為孿生素?cái)?shù)。其中ku1（u=1，2，3，r）。證明：我們?cè)O(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，pt為從3開(kāi)始的連續(xù)的奇素?cái)?shù)（pipj ，ij，i、j=1，2，3，t），對(duì)于偶數(shù)2m,偶數(shù)2m不含有奇素?cái)?shù)因子p11，p12，p13，p1r，偶數(shù)2m含有奇素?cái)?shù)因子p21，p22，p23，p2s，并且p11，p12，p13，p1rp21，p22，p23，p2s=p1，p2，p3，pt，設(shè)pt+1為大于奇素?cái)?shù)pt的所有奇素?cái)?shù)中最小的奇素?cái)?shù)。 （1）對(duì)于2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且2m-p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12，設(shè)（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，則奇數(shù)（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，若奇數(shù)（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）1，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（2m-2-p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m-p11k1p12k2p13k3p1r kr）均為奇素?cái)?shù)；（2）對(duì)于2mp11k1p12k2p13k3p1r kr，并且p11k1p12k2p13k3p1r kr -2mpt+12（m1），設(shè)（2m+2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，則奇數(shù)（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，若奇數(shù)（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）1，（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）1，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m-2）和（p11k1p12k2p13k3p1r kr -2m）均為奇素?cái)?shù)；（3）對(duì)于2m+p11k1p12k2p13k3p1r krpt+12（m1），（2m-2）均不能被集合p11，p12，p13，p1r中的任一奇素?cái)?shù)p1u（u =1，2，3，r）整除，則奇數(shù)（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+ p11k1p12k2p13k3p1r kr）均不能被集合p1，p2，p3，pt中的任一奇素?cái)?shù)pi（i=1，2，3，t）整除，由定理1和定理2可知，奇數(shù)（2m-2+p11k1p12k2p13k3p1r kr）和（2m+p11k1p12k2p13k3p1r kr）均為奇素?cái)?shù)；綜上所述，定理4成立。例4：求證奇數(shù)（3711-245-2）和（3711-245）為孿生素?cái)?shù)。解：因?yàn)槠鏀?shù)（3711-245-2）和（3711-245）均小于169，（245+2）均不能被奇素?cái)?shù)3或5或7或11整除，又因?yàn)槠鏀?shù)（3711