北京市東城區(qū)2015-2016學(xué)年高一上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 14 頁） 2015年北京市東城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 3分，共 24 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)并填在答題卡中 1已知集合 A=0， 1， 2， B=2， 3，則集合 A B=（ ） A 1， 2， 3 B 0， 1， 2， 3 C 2 D 0， 1， 3 2若角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P（ 1， 2），則 ） A B C 2 D 3正弦函數(shù) f（ x） =象的一條對稱軸是（ ） A x=0 B C D x= 4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（ ） A f（ x） = f（ x） = C f（ x） = f（ x） =函數(shù) f（ x） = 的大致圖象是（ ） A B CD 第 2 頁（共 14 頁） 6 2003 年至 2015 年北京市電影放映場次（單位：萬次）的情況如圖所示，下列函數(shù)模型中，最不適合近似描述這 13 年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的是（ ）A f（ x） =bx+c B f（ x） =b C f（ x） =b D f（ x） =b 7若角 與角 的終邊關(guān)于 y 軸對稱，則（ ） A +=+kZ） B +=+2kZ） C D 8已知函數(shù) ，若存在實(shí)數(shù)a，使得 f（ a） +g（ x） =0，則 x 的取值范圍為（ ） A 1， 5 B（ ， 1 5， +） C 1， +） D（ ， 5 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 4分，共 24分請把答案填在相應(yīng)題目橫線上 9函數(shù) y=2x+1）定義域 10 值為 11已知函數(shù) ，則 f（ x）的最大值為 12若 a= 4a 4 a= 13已知函數(shù) f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定義域和值 域都是 1， 0，則 a+b= 14設(shè) S， T 是 R 的兩個非空子集，如果存在一個從 S 到 T 的函數(shù) y=f（ x）滿足： （ 1） T=f（ x） |xS； （ 2）對任意 ，當(dāng) 有 f（ f（ 那么稱這兩個集合 “保序同構(gòu) ”，現(xiàn)給出以下 4 對集合： S=0， 1， 2， T=2， 3； S=N， T=N*； 第 3 頁（共 14 頁） S=x| 1 x 3， T=x| 8 x 10； S=x|0 x 1， T=R 其中， “保序同構(gòu) ”的集合對的序號是 （寫出所有 “保序同構(gòu) ”的集合對的序號） 三、解答題：本大題共 6個小題，共 52分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 15已知集合 A=0， 1， B=x|，且 A B=A，求實(shí)數(shù) a 的值 16設(shè) 為第二象限角，若 求 （ ） （ ） 的值 17已知函數(shù) （ ）證明： f（ x）是奇函數(shù)； （ ）用函數(shù)單調(diào)性 的定義證明： f（ x）在（ 0， +）上是增函數(shù) 18某同學(xué)用 “五點(diǎn)法 ”畫函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù) f（ x）的解析式； （ 2）將 y=f（ x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動 （ 0）個單位長度，得到 y=g（ x）的圖象若y=g（ x）圖象的一個對稱中心為（ ， 0），求 的最小值 19某食品的保鮮時間 y（單位：小時）與儲存溫度 x（單位： ）滿足函數(shù)關(guān)系 y=b（ e=自然對數(shù)的底數(shù)， k， b 為常數(shù)）若該食品在 0 的保鮮時間為 192 小時， 在22 的保鮮時間是 48 小時，求該食品在 33 的保鮮時間 20若實(shí)數(shù) x， y， m 滿足 |x m| |y m|，則稱 x 比 y 遠(yuǎn)離 m （ ）比較 ； （ ）已知函數(shù) f（ x）的定義域 ，任取 xD， f（ x）等于 遠(yuǎn)離 0 的那個值，寫出函數(shù) f（ x）的解析式以及 f（ x）的三條基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明） 第 4 頁（共 14 頁） 2015年北京市東城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本 大題共 8小題，每小題 3分，共 24 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)并填在答題卡中 1已知集合 A=0， 1， 2， B=2， 3，則集合 A B=（ ） A 1， 2， 3 B 0， 1， 2， 3 C 2 D 0， 1， 3 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合 【分析】 根據(jù)并集的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可 【解答】 解： 集合 A=0， 1， 2， B=2， 3， 則集合 A B=0， 1， 2， 3， 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了集合的并集的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題 2若角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P（ 1， 2），則 ） A B C 2 D 【考點(diǎn)】 任意角的三角函數(shù)的定義 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由三角函數(shù)的定義，求出值即可 【解答】 解： 角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P（ 1， 2）， 2 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查三角函數(shù)的定義，利用公式 求值是關(guān)鍵 3正弦函數(shù) f（ x） =象的一條對稱軸是（ ） A x=0 B C D x= 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【專題】 方程思想；定義法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可 【解答】 解： f（ x） =象的一條對稱軸為 +kZ， 當(dāng) k=0 時，函數(shù)的對稱軸為 ， 故選： C 【點(diǎn)評】 本題主要考查三角函數(shù)的對稱性，根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵 4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（ ） A f（ x） = f（ x） = C f（ x） = f（ x） =考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 第 5 頁（共 14 頁） 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 判斷函數(shù)的奇偶性與零點(diǎn)，即可得出結(jié)論 【解答】 解：對于 A，是奇函數(shù)； 對于 B，是偶函數(shù)，不存在零點(diǎn)； 對于 C，非奇非偶函數(shù)； 對于 D，既是偶 函數(shù)又存在零點(diǎn) 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)的奇偶性與零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 5函數(shù) f（ x） = 的大致圖象是（ ） A B CD 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象；冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系 【專題】 函數(shù)的性 質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 篩選法：利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義域進(jìn)行篩選即可得到答案 【解答】 解：因?yàn)?0，所以 f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞減，排除選項(xiàng) B、 C； 又 f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +）， 故排除選項(xiàng) D， 故選 A 【點(diǎn)評】 本題考查冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，篩選法是解決選擇題的常用技巧，要掌握 6 2003 年至 2015 年北京市電影放映場次（單位：萬次）的情況如圖所示，下列函數(shù)模型中，最不適合近似描述這 13 年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的 是（ ）第 6 頁（共 14 頁） A f（ x） =bx+c B f（ x） =b C f（ x） =b D f（ x） =b 【考點(diǎn)】 函數(shù)解析式的求解及常用方法 【專題】 數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由圖象可得：這 13 年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的是隨著 x 的增大， f（ x）逐漸增大，圖象逐漸上升根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與圖象的特征即可判斷出結(jié)論 【解答】 解：由圖象可得：這 13 年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的是隨著 x 的增大， f（ x）逐漸增大，圖 象逐漸上升 對于 A f（ x） =bx+c，取 a 0， 0，可得滿足條件的函數(shù)； 對于 B取 a 0， b 0，可得滿足條件的函數(shù)； 對于 C取 a 0， b 0，可得滿足條件的函數(shù)； 對于 D a 0 時，為 “上凸函數(shù) ”，不符合圖象的特征； a 0 時，為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合圖象的特征 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 7若角 與角 的終邊關(guān)于 y 軸對稱，則（ ） A +=+kZ） B +=+2kZ） C D 【考點(diǎn)】 終邊相同的角 【專題】 函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 根據(jù)角 與角 的終邊關(guān)于 y 軸對稱，即可確定 與 的關(guān)系 【解答】 解： 是與 關(guān)于 y 軸對稱的一個角， 與 的終邊相同， 即 =2 ） +=+2 ） =（ 2k+1） ， 故答案為： +=（ 2k+1） 或 = +（ 2k+1） ， kz， 故選： B 【點(diǎn)評】 本題主要考查角的對稱之間的關(guān)系，根據(jù)終邊相同的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ) 8已知函數(shù) ，若存在實(shí)數(shù)a，使得 f（ a） +g（ x） =0，則 x 的取值范圍為（ ） A 1， 5 B（ ， 1 5， +） C 1， +） D（ ， 5 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由分段函數(shù)的定義分別求各部分的函數(shù)值的取值范圍，從而得到函數(shù) f（ x）的值域，從而化為最值問 題即可 【解答】 解：當(dāng) x（ ， 0）時， f（ x） =x 1， +）； 當(dāng) x0， +）時， f（ x） =x+1） 0， +） 第 7 頁（共 14 頁） 所以 f（ x） 1， +）， 所以只要 g（ x） （ ， 1即可， 即（ x 2） 2 8（ ， 1， 可得（ x 2） 29， 解得 x 1， 5 故選： A 【點(diǎn)評】 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及配方法求最值的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 4分，共 24分請把答案填在相應(yīng)題目橫線上 9函數(shù) y=2x+1）定義域 【考點(diǎn)】 對數(shù)函數(shù)的定義域 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 直接由對數(shù)式的真數(shù)大于 0 求解不等式得答案 【解答】 解：由 2x+1 0，得 x 函數(shù) y=2x+1）定義域?yàn)?故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題 10 值為 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值 【分析】 利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解 【解答】 解： =80 20） = 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 11已知函數(shù) ，則 f（ x）的最大值為 2 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 由條件利用兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，求得函數(shù)的最大值 【解答】 解： 函數(shù) =2x+ ） ， 第 8 頁（共 14 頁） f（ x）的最大值為 2， 故答案為： 2 【點(diǎn)評】 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題 12若 a= 4a 4 a= 【考點(diǎn)】 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由 a=得 4a= =3， 4 a= 即可得出 【解答】 解： a= 4a= =3， 4 a= 則 4a 4 a=3 = 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 13已知函數(shù) f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定義域 和值域都是 1， 0，則 a+b= 【考點(diǎn)】 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 對 a 進(jìn)行分類討論，分別題意和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程組，解得答案 【解答】 解：當(dāng) a 1 時，函數(shù) f（ x） =ax+b 在定義域上是增函數(shù)， 所以 ， 解得 b= 1， =0 不符合題意舍去； 當(dāng) 0 a 1 時，函數(shù) f（ x） =ax+b 在定義域 上是減函數(shù)， 所以 ， 解得 b= 2， a= ， 綜上 a+b= ， 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及分類討論思想，屬于中檔題 14設(shè) S， T 是 R 的兩個非空子集，如果存在一個從 S 到 T 的函數(shù) y=f（ x）滿足： （ 1） T=f（ x） |xS； （ 2）對任意 ，當(dāng) 有 f（ f（ 第 9 頁（共 14 頁） 那么稱這兩個集合 “保序同構(gòu) ”，現(xiàn)給出以下 4 對集合： S=0， 1， 2， T=2， 3； S=N， T=N*； S=x| 1 x 3， T=x| 8 x 10； S=x|0 x 1， T=R 其中， “保序同構(gòu) ”的集合對的序號是 （寫出所有 “保序同構(gòu) ”的集合對的序號） 【考點(diǎn)】 函數(shù)解析式的求解及常用方法 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用：兩個集合 “保序同構(gòu) ”的定義，能夠找出存在一個從 S 到 T 的函數(shù) y=f（ x）即可判斷出 結(jié)論 【解答】 解： 由于不存在一個從 S 到 T 的函數(shù) y=f（ x），因此不是 “保序同構(gòu) ”的集合對 令 f（ x） =x+1， xS=N， f（ x） T； 取 f（ x） = x ， xS， f（ x） T， “保序同構(gòu) ”的集合對； 取 f（ x） = xS， f（ x） T 綜上可得： “保序同構(gòu) ”的集合對的序號是 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查了 兩個集合 “保序同構(gòu) ”的定義、函數(shù)的解析式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 6個小題，共 52分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 15已知集合 A=0， 1， B=x|，且 A B=A，求實(shí)數(shù) a 的值 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【專題】 集合思想；綜合法；集合 【分析】 先求出集合 B 中的元素，根據(jù)并集的運(yùn)算，求出 a 的值即可 【解答】 解： B=x|， B=x|x=0 或 x=a， 由 A B=A，得 B=0或 0， 1 當(dāng) B=0時，方程 有兩個相等實(shí)數(shù)根 0， a=0 當(dāng) B=0， 1時，方程 有兩個實(shí)數(shù)根 0， 1， a=1 【點(diǎn)評】 本題考查了集合的并集的定義，考查分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題 16設(shè) 為第二象限角，若 求 （ ） （ ） 的值 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值 【分析】 （ ）由已知利用特殊角的三角函 數(shù)值及兩角和的正切函數(shù)公式即可計(jì)算求值 （ ）由已知利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求 用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡所求后即可計(jì)算求值 【解答】 （本題滿分 9 分） 第 10 頁（共 14 頁） 解：（ ） ， 解得 （ ） 為第二象限角， ， = ， = ， 【點(diǎn)評】 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題 17已知函數(shù) （ ）證明： f（ x）是奇函數(shù)； （ ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明： f（ x）在（ 0， +）上是增函數(shù) 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷 【專題】 證明題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 （ ）可看出 f（ x）的定義域?yàn)?x|x0，并可求出 f（ x） = f（ x），從而得出 f（ x）是奇函數(shù)； （ ）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的 0，然后作差，通分，提取公因式，從而得到，證明 f（ f（ 可得出 f（ x）在（ 0， +）上是增函數(shù) 【解答】 證明：（ ）函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?x|x0； ； f（ x）是奇函數(shù)； （ ）設(shè) 0，則： = ； 0； 0， 0， 0； ； 第 11 頁（共 14 頁） f（ f（ f（ x）在（ 0， +）上是增函 數(shù) 【點(diǎn)評】 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過程，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較 f（ f（ 作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式 18某同學(xué)用 “五點(diǎn)法 ”畫函數(shù) f（ x） =x+）（ 0， | ）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表： x+ 0 2 x x+） 0 5 5 0 （ 1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù) f（ x）的解析式； （ 2）將 y=f（ x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動 （ 0）個單位長度，得到 y=g（ x）的圖象若y=g（ x）圖象的一個對稱中心為（ ， 0），求 的最小值 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式；函數(shù) y=x+）的圖象變換 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 A=5， =2， = 從而可補(bǔ)全數(shù)據(jù)，解得函數(shù)表達(dá)式為 f（ x） =52x ） （ 2）由（ ）及函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律得 g（ x） =52x+2 ）令2x+2 =得 x= ， kZ令 = ，解得 = ，kZ由 0 可得解 【解答】 解：（ 1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 A=5， =2， = 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： x+ 0 2 x x+） 0 5 0 5 0 且函數(shù)表達(dá)式為 f（ x） =52x ） （ 2）由（ ）知 f（ x） =52x ），得 g（ x） =52x+2 ） 因?yàn)?y=對稱中心為（ 0）， kZ 令 2x+2 =得 x= ， kZ 第 12 頁（共 14 頁） 由于函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）成中心對稱，令 = ， 解得 = ， kZ由 0 可知，當(dāng) K=1 時， 取得最小值 【點(diǎn)評】 本題主要考查了由 y=x+）的部分圖象確定其解析式，函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，屬于基本知識的考查 19某食品的保鮮時