高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課件 新人教B版必修2.ppt

1 1 6棱柱 棱錐 棱臺(tái)和球的表面積 1 了解棱柱 棱錐 棱臺(tái)和球的表面積計(jì)算公式 不要求記憶公式 2 理解直棱柱 正棱錐 正棱臺(tái)的側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程 3 會(huì)求簡單幾何體的側(cè)面積和表面積 1 2 3 名師點(diǎn)撥斜棱柱的側(cè)面積需先計(jì)算出各個(gè)側(cè)面的面積之后再求和 也可以先作出斜棱柱的直截面 與棱柱的側(cè)棱垂直的截面 設(shè)其周長為c 側(cè)棱長為l 則s斜棱柱側(cè) c l 1 2 3 答案 b 1 2 3 做一做1 2 已知棱長為1 各面都是正三角形的四面體 則它的表面積是 1 2 3 1 2 3 2 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的表面積 1 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的側(cè)面積公式 s圓柱側(cè) cl 2 rl 其中l(wèi)為圓柱的母線長 c為底面圓的周長 r為底面圓的半徑 1 2 3 2 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的表面積公式 圓柱表面積 s圓柱 2 r2 2 rl 2 r r l 圓錐表面積 s圓錐 r2 rl r r l 圓臺(tái)表面積 s圓臺(tái) r 2 r2 r l rl 知識(shí)拓展表面積是幾何體表面的面積 它表示幾何體表面的大小 有時(shí)表面積又稱為全面積 通常把幾何體的表面展成平面圖形 利用平面圖形來求幾何體的表面積 側(cè)面積是指側(cè)面的面積 與表面積不同 一般地 表面積 側(cè)面積 底面積 利用側(cè)面展開圖或截面把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題 是解決立體幾何問題的常用手段 1 2 3 做一做2 1 如圖 圓錐的底面半徑為1 高為a b 2 c 3 d 4 答案 c 1 2 3 做一做2 2 如果圓臺(tái)的母線與底面成60 角 那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比值為 解析 可以把母線的長設(shè)為1 根據(jù)已知求出圓臺(tái)的高 進(jìn)而根據(jù)公式分別求出圓臺(tái)的側(cè)面積和軸截面的面積 答案 c 1 2 3 3 球的表面積s球 4 r2 其中r為球的半徑 名師點(diǎn)撥1 球的表面積可用語言敘述為 球面面積等于它的大圓面積的四倍 2 球面不能展開成平面圖形 因此不能根據(jù)柱 錐 臺(tái)的推導(dǎo)方法求球的表面積 3 不要求掌握球的表面積公式推導(dǎo)的過程 只要求記住公式并會(huì)應(yīng)用 1 2 3 做一做3 1 若球的大圓周長為c 則這個(gè)球的表面積是 答案 c 1 2 3 做一做3 2 若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上 則該球的表面積為 解析 正方體的體對(duì)角線即為球的直徑 即直徑所以s 4 r2 27 答案 27 柱 錐 臺(tái)的側(cè)面積公式之間的區(qū)別和聯(lián)系剖析 通過圓柱 圓錐 圓臺(tái)的側(cè)面積公式 s圓柱側(cè) 2 rl s圓錐側(cè) rl s圓臺(tái)側(cè) r1 r2 l三者之間的相互聯(lián)系可以分析出 如圖 當(dāng)r1變化時(shí) 相應(yīng)的圖形也隨之變化 當(dāng)r1 0 r2 r時(shí) 相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓錐 而當(dāng)r1 r2 r時(shí) 相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓柱 相應(yīng)的側(cè)面積公式也隨之變化 名師點(diǎn)撥一般棱柱 棱錐 棱臺(tái)的側(cè)面積的求法 因其結(jié)構(gòu)特征不一致 因此應(yīng)該先分別計(jì)算各側(cè)面的面積 然后再將各側(cè)面面積求和 即為相應(yīng)的側(cè)面積 題型一 題型二 題型三 題型四 例1 如圖 正四棱錐底面正方形邊長為4cm 高與斜高的夾角為30 求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積 分析 根據(jù)多面體的側(cè)面積公式 必須求出相應(yīng)多面體的底面邊長和各側(cè)面的斜高 進(jìn)而根據(jù)相應(yīng)的公式求解 把問題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析求解 題型一 題型二 題型三 題型四 解 正四棱錐的高po 斜高pe 底面邊心距oe組成一個(gè)rt poe 因?yàn)閛e 2cm ope 30 s正四棱錐表 s正四棱錐側(cè) s正四棱錐底 32 4 4 48 cm2 反思解決此類題目先利用正棱錐的高 斜高 底面邊心距組成的直角三角形求解相應(yīng)的元素 再代入面積公式求解 空間幾何體的表面積運(yùn)算 一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算 再充分利用平面幾何圖形的特性通過解三角形完成基本量的運(yùn)算 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓(xùn)練1 已知一正三棱臺(tái)的兩底面邊長分別為30cm和20cm 且其側(cè)面積等于兩底面積的和 求棱臺(tái)的高 分析 利用已知條件求出斜高 再利用正棱臺(tái)中的直角梯形求高 解 如圖 在正三棱臺(tái)abc a1b1c1中 o o1為兩底面中心 d d1是bc b1c1的中點(diǎn) 則dd1為棱臺(tái)的斜高 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 分析 利用軸截面求母線長 所以s上底 x2 s下底 2x 2 4 x2 s側(cè) x 2x 2x 6 x2 所以圓臺(tái)的上底面積 下底面積和側(cè)面積之比為1 4 6 題型一 題型二 題型三 題型四 反思圓臺(tái)的軸截面包含圓臺(tái)的各度量元素 是解有關(guān)圓臺(tái)計(jì)算問題常用的平面圖形 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓(xùn)練2 若一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形 則該圓柱的表面積是 a 16 b 24 c 20 d 28 解析 由已知得該圓柱的底面半徑為2 母線長為4 所以其表面積s 2 2 4 2 22 16 8 24 答案 b 題型一 題型二 題型三 題型四 例3 一個(gè)幾何體的直觀圖如圖 則該幾何體的表面積等于 分析 該幾何體是由上面的圓柱和下面的長方體拼接而成 拼接面不能算作幾何體的表面 題型一 題型二 題型三 題型四 解析 方法一 該組合體的上半部分是一個(gè)底面半徑為2 母線長為8的圓柱 下半部分是一個(gè)長 寬 高分別為8 8 4的長方體 圓柱的表面積是2 2 8 2 22 40 長方體的表面積是 4 8 4 8 8 8 2 256 兩幾何體重疊面的面積為 22 4 所以該組合體的表面積為s 40 256 2 4 256 32 方法二 由該組合體的組合形式可知 圓柱的上底面可移至其拼接面 因此其表面積恰好是下半部分的長方體的表面積與上半部分圓柱的側(cè)面積之和 故其表面積s 4 8 4 8 8 8 2 2 2 8 256 32 答案 256 32 題型一 題型二 題型三 題型四 反思解答有重疊面的組合體的表面積類問題時(shí) 容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將兩個(gè)幾何體的表面積相加后只減去一個(gè)拼接面的面積 這是由于對(duì)幾何體的組合特點(diǎn)理解不深致誤 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓(xùn)練3 如圖 一個(gè)正方體的棱長為2 以相對(duì)兩個(gè)面的中心連線為軸 鉆一個(gè)直徑為1的圓柱形孔 所得幾何體的表面積為 解析 由該幾何體的組合形式可知 其表面積應(yīng)該是正方體的表面積減去中間圓柱的兩個(gè)底面的面積 再加上圓柱的側(cè)面積 故其表面積s 6 22 0 52 2 2 0 5 2 24 0 5 2 24 1 5 答案 24 1 5 題型一 題型二 題型三 題型四 分析 根據(jù)長方體的體對(duì)角線長等于其外接球的直徑這一關(guān)系列式求解即可 解 如圖為過長方體的一條體對(duì)角線的截面 設(shè)長方體有公共頂點(diǎn)的三條側(cè)棱的長分別為x y z 所以s球 4 r2 9 題型一 題型二 題型三 題型四 反思在處理球和長方體的組合問題時(shí) 通常是先作出過球心且過長方體對(duì)角面的截面圖 然后通過已知條件來求 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓(xùn)練4 求棱長為a的正四面體的外接球的表面積 解 設(shè)正四面體abcd的高為ao1 外接球球心為o 半徑為r 如圖 連接ob 正四面體的棱長為a 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 5 6 1 已知正四棱錐的底面邊長為6 側(cè)棱長為5 則此棱錐的側(cè)面積為 a 6b 12c 24d 48 答案 d 1 2 3 4 5 6 答案 a 1 2 3 4 5 6 3 如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖 其中主視圖為等腰直角三角形 左視圖與俯視圖為正方形 則該幾何體的表面積為 1 2 3 4 5 6 答案 b 1 2 3 4 5 6 4 已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓 且面積為s 則圓錐的底面面積是 解析 如圖 設(shè)圓錐底面半徑為r 母線長為l 1 2 3 4 5 6 5 正四棱臺(tái)的高是1