納維-斯托克斯方程.doc

納維斯托克斯方程納維斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克勞德-路易納維(Claude-Louis Navier)和喬治加布里埃爾斯托克斯命名，是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及引力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。他們是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)有用的現(xiàn)象的物理過程。它們可以用于模擬天氣，洋流，管道中的水流，星系中恒星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用于飛行器和車輛的設(shè)計，血液循環(huán)的研究，電站的設(shè)計，污染效應(yīng)的分析，等等。納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運動。這些方程，和代數(shù)方程不同，不尋求建立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關(guān)系，而是建立這些量的變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語來講，這些變化率對應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速度的導(dǎo)數(shù)，或者說變化率）是和內(nèi)部壓力的導(dǎo)數(shù)成正比的。這表示對于給定的物理問題的納維-斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。實用上，只有最簡單的情況才能用這種方法解答，而它們的確切答案是已知的。這些情況通常涉及穩(wěn)定態(tài)（流場不隨時間變化）的非湍流，其中流體的粘滯系數(shù)很大或者其速度很?。ㄐ〉睦字Z數(shù)）。對于更復(fù)雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統(tǒng)或機翼的升力，納維-斯托克斯方程的解必須借助計算機。這本身是一個科學(xué)領(lǐng)域，稱為計算流體力學(xué)。雖然湍流是日常經(jīng)驗中就可以遇到的，但這類問題極難求解。一個$1,000,000的大獎由克雷數(shù)學(xué)學(xué)院于2000年5月設(shè)立，獎給對于能夠幫助理解這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論作出實質(zhì)性進(jìn)展的任何人。目錄 1 基本假設(shè) o 1.1 隨體導(dǎo)數(shù)o 1.2 守恒定律 1.2.1 連續(xù)性方程 1.2.2 動量守恒 2 方程組 o 2.1 一般形式 2.1.1 方程組的形式 2.1.2 閉合問題 3 特殊形式 o 3.1 牛頓流體o 3.2 賓漢（Bingham）流體o 3.3 冪律流體o 3.4 不可壓縮流體 4 參看 5 參考文獻(xiàn) 6 外部鏈接基本假設(shè)在解釋納維-斯托克斯方程的細(xì)節(jié)之前，我們必須首先對流體的性質(zhì)作幾個假設(shè)。第一個假設(shè)是流體是連續(xù)的。這強調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙，例如，溶解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個必要的假設(shè)是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強，速度，密度，溫度，等等。該方程從質(zhì)量，動量，和能量的守恒的基本原理導(dǎo)出。對此，有時必須考慮一個有限的任意體積，稱為控制體積，在其上這些原理很容易應(yīng)用。該有限體積記為，而其表面記為。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運動。這會導(dǎo)致一些特殊的結(jié)果，我們將在下節(jié)看到。隨體導(dǎo)數(shù)運動流體的屬性的變化，譬如大氣中的風(fēng)速的變化，可以有兩種不同的方法來測量?？梢杂脷庀笳净蛘邭庀髿馇蛏系娘L(fēng)速儀來測量。顯然，第一種情況下風(fēng)速儀測量的速度是所有運動的粒子經(jīng)過一個固定點的速度，而第二種情況下，儀器在測量它隨著流體運動時速度的變化。同樣的論證對于密度、溫度、等等的測量也是成立的。因此，當(dāng)作微分時必須區(qū)分兩種情況。第一種情況稱為空間導(dǎo)數(shù)或者歐拉導(dǎo)數(shù)。第二種情況稱為實質(zhì)或拉格朗日導(dǎo)數(shù)。例子請參看隨體導(dǎo)數(shù)條目。隨體導(dǎo)數(shù)定義為算子（operator）：其中是流體的速度。方程右邊的第一項是普通的歐拉導(dǎo)數(shù)（也就是在靜止參照系中的導(dǎo)數(shù)）而第二項表示由于流體的運動帶來的變化。這個效應(yīng)稱為移流（advection）。L的守恒定律在一個控制體積上的積分形式是：因為是共動的，它隨著時間而改變，所以我們不能將時間導(dǎo)數(shù)和積分簡單的交換。因為這個表達(dá)式對于所有成立，它可以簡化為：對于不是密度的量（因而它不必在空間中積分），給出了正確的共動時間導(dǎo)數(shù)。守恒定律主條目：守恒定律NS方程可以從守恒定律通過上述變換導(dǎo)出，并且需要用狀態(tài)定律來閉合。在控制體積上，使用上述變換，下列的量視為守恒： 質(zhì)量 能量 動量 角動量連續(xù)性方程質(zhì)量的守恒寫作：其中是流體的密度。在不可壓縮流體的情況 不是時間或空間的函數(shù)。方程簡化為：動量守恒動量守恒寫作：注意是一個張量，代表張量積。我們可以進(jìn)一步簡化，利用連續(xù)性方程，這成為：我們可以認(rèn)出這就是通常的F=ma。方程組一般形式方程組的形式納維-斯托克斯方程的一般形式是：關(guān)于動量守恒。張量代表施加在一個流體粒子上的表面力（應(yīng)力張量）。除非流體是由象旋渦這樣的旋轉(zhuǎn)自由度組成，是一個對稱張量。一般來講，我們有如下形式：其中是法向約束，而是切向約束。跡 在流體處于平衡態(tài)時為0。這等價于流體粒子上的法向力的積分為0。我們再加上連續(xù)性方程：對于處于平衡的液體，的跡是3p。其中p是壓強最后，我們得到：其中是的非對角線部分。閉合問題這些方程是不完整的。要對它們進(jìn)行完備化，必須對的形式作一些假設(shè)。例如在理想流體的情況分量為0。用于完備方程組的方程是狀態(tài)方程。再如，壓強可以主要是密度和溫度的函數(shù)。要求解的變量是速度的各個分量，流體密度，靜壓力，和溫度。流場假定為可微并連續(xù)，使得這些平衡得以用偏微分方程表達(dá)。這些方程可以轉(zhuǎn)化為渦度和流函數(shù)這些次變量的威爾金森方程組。解依賴于流體的性質(zhì)（例如粘滯度、比熱、和熱導(dǎo)率），并且依賴于所研究的區(qū)域的邊界條件。的分量是流體的一個無窮小元上面的約束。它們代表垂直和剪切約束。是對稱的，除非存在非零的自旋密度。所謂非牛頓流體是就是其中該張量沒有特殊性質(zhì)使得方程的特殊解出現(xiàn)的流體特殊形式這些是問題的特定的常見簡化，有時解是已知的。牛頓流體主條目：牛頓流體在牛頓流體中，如下假設(shè)成立:其中是液體的粘滯度。其中為簡化書寫，對腳標(biāo)使用了愛因斯坦求和約定。不采用簡化書寫的完整形式非常繁瑣，分別為：動量守恒：質(zhì)量守恒：因為密度是一個未知數(shù)，我們需要另一個方程。能量守恒：其中：假設(shè)一個理想氣體：上面是一個個方程個未知數(shù)的系統(tǒng)。（u， v， w， T， e 以及）。賓漢（Bingham）流體主條目：賓漢流體在賓漢流體中，我們有稍微不同的假設(shè)：那些流體在開始流動之前能夠承受一定的剪切。牙膏是一個例子。冪律流體主條目：冪律流體這是一種理想化的流體，其剪切應(yīng)力，由下式給出不可壓縮流體主條目：不可壓縮流體其納維斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)為動量守恒和質(zhì)量守恒。其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項(convective terms)為非線性形式。對流加速度(convective acceleration)來自于流體流動隨空間之變化所產(chǎn)生的速度改變，例如：當(dāng)流體通過一個漸縮噴嘴(convergent nozzle)時，流體產(chǎn)生加速之情況。由于此項的存在，對于暫態(tài)運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函數(shù)，亦與空間有關(guān)。另外一個重要的觀察重點，在于黏滯力(viscosity)在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現(xiàn)。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴(kuò)散(diffusion of momentum)，與熱擴(kuò)散方程非常類似。;是散度，是克羅內(nèi)克記號。若在整個流體上均勻，動量方程簡化為（若 這個方程稱為歐拉方程；那里的重點是可壓縮流和沖擊波）。如果現(xiàn)在再有為常數(shù)，我們得到如下系統(tǒng)：連續(xù)性方程（假設(shè)不可壓縮性）：N-S方程的簡化版本。采用不可壓縮流，Ronald Panton所著第二版注意納維斯托克斯方程僅可近似描述液體流，而且在非常小的尺度或極端條件下，由離散的分子和其他物質(zhì)（例如懸浮粒子和溶解的氣體）的混合體組成的真實流體，會產(chǎn)生和納維斯托克斯方程所描述的連續(xù)并且齊性的液體不同的結(jié)果。依賴于問題的納森數(shù)，統(tǒng)計力學(xué)可能是一個更合適的方法。但是，納維斯托克斯方程對于很大范圍的實際問題是有效的，只要記住他們的缺陷是天生的就可以了。參看 雷諾數(shù) 馬赫數(shù) 雷諾平均納維斯托克斯方程參考文獻(xiàn) Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR. Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8.外部鏈接 克雷數(shù)學(xué)研究院納維-斯托克斯方程大獎 o 該問題的正式命題 納維-斯托克斯方程的一個推導(dǎo) 納維-斯托克斯方程的推導(dǎo) NASA關(guān)于納維-斯托克斯方程的網(wǎng)頁 納維-