高等數(shù)學(xué)歷年試題集錦.doc

高等數(shù)學(xué)歷年試題集錦06-07第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A卷(備用卷)06-07第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A卷(備用卷)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)06-07第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B卷(考試卷).doc06-07第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B卷(考試卷)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)08級(jí)大一期末高數(shù)上冊(cè)考試試卷08B.doc08級(jí)大一期末高數(shù)上冊(cè)考試試卷08B答案廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( A )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)(2) （滿分 100 分） 考試時(shí)間: 2007 年6月25日(第17周 星期一)廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ( A )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)（下）（滿分100分）考試時(shí)間: 2007 年6月25日 (第17周 星期一)廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( B )課程名稱:高等數(shù)學(xué)(2)（滿分 100 分） 考試時(shí)間: 2007 年6月25日(第17周 星期一)廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (A)課程名稱: 高等數(shù)學(xué)（2） 考試時(shí)間: 2007年6月25日(第17周 星期一)廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( B )課程名稱:高等數(shù)學(xué)A(1) 試卷滿分 100 分考試時(shí)間: 2008 年1月14日 (第 20 周 星期一)廣東工業(yè)大學(xué)考試 答題紙課程名稱:高等數(shù)學(xué)A(1) 試卷滿分 100 分考試時(shí)間: 2008 年1月14日 (第20周 星期一 )廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( A )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)(2) （滿分 100 分） 考試時(shí)間: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )題 號(hào)一二三四五六七總分1234評(píng)卷得分評(píng)卷簽名復(fù)核得分復(fù)核簽名一、填空題：（每小題4分，共20分） 1設(shè) ，則 。 2 曲面 在點(diǎn) 處的法線方程為： 。 3設(shè)區(qū)域 ，則 = 。 4函數(shù) 在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為： 。 5 函數(shù) ，對(duì)于，等于它的傅立葉級(jí)數(shù)不成立的 。二、選擇題：（每小題4分，共20分）1曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，可微函數(shù)應(yīng)滿足條件（） A B. C D. 2設(shè)是單位球面的外側(cè)，則曲面積分：=（ ）。A B. C D. 學(xué) 院 ： 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線3 對(duì)于二元函數(shù) ，極限為（ ）。A不存在 B. 0 C1 D. 無(wú)窮大4改變積分次序后 =（ ）。 A B C D 5圓錐 在圓柱體 內(nèi)那一部分的面積為（ ）。（A） （B） （C） （D）三、計(jì)算題（每小題8分，共24分）1. 計(jì)算 ，其中是球面 被平面 所截得的圓周。2利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，證明：對(duì)于 ，。3. 在平面上求一點(diǎn)，使它到三直線 距離平方和最小。四、（8分）設(shè) ，求 。五、（8分）應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向。六、（10分）計(jì)算二重積分，其中是由直線 圍成的三角形區(qū)域。七、（10分）應(yīng)用冪級(jí)數(shù)性質(zhì)求 。裝 訂 線裝 訂 線廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ( A )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)（下） （滿分100分）考試時(shí)間: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )一、填空題：（4分520分）1 2 3 4 5 二、選擇題：（4分520分）1 A2 C3 B 4 A 5 D三、計(jì)算題（每小題8分，共24分）1. 計(jì)算 ，其中是球面 被平面 所截得的圓周。解：由對(duì)稱性知道（2分）所以 （8分）2利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，證明：對(duì)于 ，。證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，一般項(xiàng)為，（2分）學(xué) 院 ： 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線由比式判別法知 （6分）收斂，由級(jí)數(shù)收斂之必要條件，對(duì)于 ，。（8分）3. 在平面上求一點(diǎn)，使它到三直線 距離平方和最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為，目標(biāo)函數(shù)為 （3分）令（5分）（7分）為唯一駐點(diǎn)，由實(shí)際，到三直線的距離平方和最小的點(diǎn)一定存在，所以為所求的點(diǎn)。（8分）裝 訂 線四、（8分）設(shè) ，求 。解：（2分）由于 （4分）從而 （6分）（8分）五、（8分）應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向。解：三條線段的方程為： （2分）而 ，從而（4分）其中三角形區(qū)域（如圖），分成兩部分。（8分）4設(shè) 是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件：，則曲線 在點(diǎn)處的切線斜率為 （ ） 。（A） （B） （C） （D） 5設(shè)：，則： （ ）A B. C D. 三、計(jì)算題（共49分）1 求：。2 求： 在 上的最大值與最小值。3 設(shè)：，求：。裝 訂 線裝 訂 線六、（10分）計(jì)算二重積分，其中是由直線 圍成的三角形區(qū)域。解：設(shè) （如圖），則（1分）型區(qū)域：，（2分）分成：（4分）從而 （10分）七、（10分）應(yīng)用冪級(jí)數(shù)性質(zhì)求 。解：令 ，由于 （2分）即收斂區(qū)域?yàn)椋?，由逐?xiàng)微分之性質(zhì)， ，（5分）由逐項(xiàng)積分之性質(zhì)，（7分）所以，從而，因此，（9分）（10分），裝 訂 線廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( B )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)(2) （滿分 100 分） 考試時(shí)間: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )題 號(hào)一二三四五六七總分1234評(píng)卷得分評(píng)卷簽名復(fù)核得分復(fù)核簽名一、填空題：（每小題4分，共20分） 1求與向量 共線且滿足方程 的向量 。 2 曲面 在點(diǎn) 處的切平面方程為： 。 3設(shè)區(qū)域 ，則 = 。 4函數(shù) 在點(diǎn)處沿到點(diǎn)的方向上的方向?qū)?shù)為： 。 5 函數(shù) ，對(duì)于，不成立的 。二、選擇題：（每小題4分，共20分） 1為使曲線積分 與積分路徑無(wú)關(guān)，可微函數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件？（ ） A B. C D. 2設(shè)是球面的外側(cè)，則曲面積分：=（ ）。A B. C D. 學(xué) 院 ： 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線3 對(duì)于二元函數(shù) ，極限為（ ）。A不存在 B. 0 C1 D. 無(wú)窮大4改變積分次序后 =（ ）。 A B C D 5設(shè)是由曲面 和 為界面的區(qū)域，則三重積分 =（ ）。（B） （B） （C） （D）三、計(jì)算題（每小題8分，共24分）1. 計(jì)算第一型曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形。2利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，證明：。3. 在平面上，求拋物線 和直線 之間的最短距離。四、（8分）若 ，求 。五、（8分）應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，為由到經(jīng)過圓上半部的路線。六、（10分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，其中是由直線 圍成的區(qū)域，求。七、（10分）求級(jí)數(shù) 的收斂域及和函數(shù)，并求 。裝 訂 線裝 訂 線廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (A)課程名稱: 高等數(shù)學(xué)（2） 考試時(shí)間: 2007年6月25日 (第17周 星期一)一、填空題（每小題4分，共20分）1 ； 2：； 3 ； 4： ； 5： 。二、選擇題（每小題4分，共20分）12345BAACB三、（每小題8分，共24分）1計(jì)算第一型曲線積分：，其中是以為頂點(diǎn)的三角形。解： 2利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，證明：。證明 考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù) ， （2分）由比值判別法 （4分） （6分）從而級(jí) 收斂，由收斂級(jí)數(shù)的必要條件得 （8分）3用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)計(jì)一個(gè)容量為32立方米的長(zhǎng)方形開口水箱，問水箱的長(zhǎng)，寬和高各等于多少米時(shí)，其表面積最??？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則由題意： 目標(biāo)函數(shù)為：（1分） 條件函數(shù)為： (2分）根據(jù)題目要求，利用拉格郎日數(shù)乘法，構(gòu)造函數(shù)為： （3分）則有： （6分） 解之：對(duì)于實(shí)際問題，由于駐點(diǎn)是唯一的，則該點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)。所以當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4，4，2的時(shí)候，可以使無(wú)蓋的長(zhǎng)方體表面積最大。 （8分）注：如果出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)與條件函數(shù)顛倒，酌情扣4分；如果目標(biāo)函數(shù)多了蓋子，按錯(cuò)誤函數(shù)求解的，酌情扣4分。四、(8分) 設(shè)函數(shù) 可微，且滿足， 求。解：(方法一)兩邊對(duì)求導(dǎo) 左端： （3分）右端： （5分） 由已知 有 （7分） 整理得 （8分）(方法二)因?yàn)?所以 （3分） （5分） 從而 （7分）即 （8分）(方法三)因?yàn)?（3分）所以 （5分）于是 （7分）即 （8分） 五、（8分）應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分：，為由到經(jīng)過圓上半部的路線。解：連接兩點(diǎn)，構(gòu)成封閉路徑，從而 （2分）記 ， （3分）由格林公式：（6分）線段：，（7分）從而 （8分）評(píng)分說明:寫出 得1分,求出 得2分沒有考慮積分曲線的封閉性而直接用格林公式且計(jì)算出結(jié)果得4分.六、（10分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，其中是由直線 圍成的區(qū)域，求。解：設(shè) (1分) 則 (3分) 或 (5分) (6分) (7分) (9分) 由于 , 所以 . (10分)七（10分）求級(jí)數(shù) 的收斂域及和函數(shù)，并求 。（1） 求級(jí)數(shù)的收斂域（5分）解法一：設(shè) ，則級(jí)數(shù) ， (1分)由 ，知收斂半徑 (3分)當(dāng) ，級(jí)數(shù) 發(fā)散；當(dāng) ，級(jí)數(shù) 也發(fā)散， (4分)則其收斂域?yàn)?，可知原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(5分)解法二：因級(jí)數(shù)只含偶數(shù)項(xiàng)，故采用前后通項(xiàng)之比求其收斂域：由 (1分)根據(jù)比值判別法，由 時(shí)級(jí)數(shù)收斂可知：當(dāng) 時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 (3分) 當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散， (4分)所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(5分)（注：直接由級(jí)數(shù)的系數(shù)之比得收斂半徑得2分；寫出前后通項(xiàng)之比公式得1分；因前后通項(xiàng)之比的極限值求錯(cuò)引起的結(jié)果錯(cuò)誤得3分）（2） 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（5分）設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為，則 (6分)而級(jí)數(shù) （或） (8分)則級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 (9分)冪級(jí)數(shù)中取得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (10分)（注：求級(jí)數(shù)的和函數(shù)有多種解法，得分標(biāo)準(zhǔn)參上執(zhí)行）廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( B )課程名稱: 高等數(shù)學(xué)A(1) 試卷滿分 100 分考試時(shí)間: 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期一 )題 號(hào)一二三四五六七總分1234評(píng)卷得分評(píng)卷簽名復(fù)核得分復(fù)核簽名一、填空題：（每小題4分，共20分）1.= . 2. 設(shè) 是由方程所確定的隱函數(shù)，則 . 3. 設(shè)可導(dǎo), 則 = .4. = . 5. 有第一類間斷點(diǎn) ；第二類間斷點(diǎn) 二、選擇題：（每小題4分，共20分） 1. 設(shè)函數(shù) 在處連續(xù), 則 . A B. C D. 2. 函數(shù)的極大值為（ ）.A B. C D. 學(xué) 院 ： 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 姓名：裝 訂 線3. 極限 的值等于（ ）.A. B. C D. 4定積分 的值等于（ ）.A. B. C D. 5微分方程滿足初始條件的特解為 ( )A. B. C D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共28分）1. 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) .2求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).3. 計(jì)算定積分.4. 求微分方程 的通解.四、（8分）證明:當(dāng)時(shí)，.五、（8分）若對(duì)任意,曲線上的點(diǎn)處的切線在y軸上的截距等于 ,求的一般表達(dá)式.六、（8分）設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且證明: 存在,使得 .七、（8分）求曲線 在區(qū)間 內(nèi)的一條切線, 使得該切線與直線, 和曲線 所圍成的平面圖形面積最小. 廣東工業(yè)大學(xué)考試 答題紙課程名稱: 高等數(shù)學(xué)A(1) 試卷滿分 100 分考試時(shí)間: 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期 一 )題 號(hào)一二三四五六七總分1234評(píng)卷得分評(píng)卷簽名復(fù)核得分復(fù)核簽名一、填空題：（每小題4分，共20分）1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 二、選擇題：（每小題4分，共20分） 12345BACDA三、計(jì)算題（每小題7分，共28分）1. 解: 方法一： （2分） （4分）學(xué) 院： 專 業(yè)： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 裝 訂 線 （5分） （6分） （7分）方法二： （2分） （5分） （6分） （7分）2. 解: （1分） （2分） 以及不存在點(diǎn) （3分）列表討論如下:x(-,-1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +)-+-+y凸無(wú)定義凹0凸無(wú)定義凹 曲線的凸區(qū)間:（或 ） （4分）曲線的凹區(qū)間（或） （5分）曲線有拐點(diǎn): (0, 0) （7分）3. 方法一： 令 ，則 （2分）由定積分的幾何意義，該積分表示以（1，0）為圓心，半徑為1的圓的面積的四分之一， （5分）即 = （7分）(說明：圖錯(cuò)扣一分； 沒有圖，但答案對(duì)，不扣分；如直接得答案，扣2分).方法二： （4分） （5分） （6分） （7分）方法三： （5分） （7分）4. 解: 特征方程為: , （1分） 特征根: （3分） 齊次方程的通解為: （4分） 由于不是特征根,且 故可設(shè)原方程的一個(gè)特解為: （5分） 將其代入原方程得: ,解得: （6分） 所以, 從而求得原方程的通解為 （7分）四、（8分）證明：方法一：令， （1分）， （2分） （3分）當(dāng)時(shí)， （5分）所以單調(diào)增加，于是當(dāng)時(shí)， （6分）因此單調(diào)增加，故當(dāng)時(shí)， （7分）即當(dāng)時(shí)， （8分）方法二：令， （1分）， （3分） （5分）所以單調(diào)增加，于是當(dāng)時(shí)， （6分）因此單調(diào)增加，故當(dāng)時(shí)， （7分）即當(dāng)時(shí)，亦即時(shí)， （8分）方法三：令，則 （3分）令，得，當(dāng)時(shí)，從而單減 （5分）所以當(dāng)時(shí)，即 （7分）亦即當(dāng)時(shí)， （8分）五、（8分）解：設(shè)曲線過點(diǎn)的切線方程為： （2分）當(dāng)時(shí)，得該切線在縱軸上的截距為：根據(jù)題意有： （4分）上式兩邊同乘，求導(dǎo)并整理