湖北龍泉中學(xué)、隨州一中、天門中學(xué)三校高三數(shù)學(xué)聯(lián)考文

湖北省龍泉中學(xué)、隨州一中、天門中學(xué)三校2019屆高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題 文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集，集合，則集合( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合,然后再求出，進(jìn)而可得【詳解】由 ，可得或，故,由，解得 ，,故選A.【點(diǎn)睛】本題以絕對(duì)值不等式和一元二次不等式為載體考查集合的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確求出集合和集合，屬于基礎(chǔ)題2.復(fù)數(shù),則的虛部為（ ）A. B. iC. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z，則答案可求【詳解】依題意，復(fù)數(shù)的虛部為1，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3. 是表示空氣質(zhì)量的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)指數(shù)值不大于100時(shí)稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”如圖是某地3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，圖中點(diǎn)A表示3月1日的指數(shù)值為201則下列敘述不正確的是（）A. 這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”B. 這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日C. 這12天指數(shù)值的中位數(shù)是90.5D. 從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好【答案】C【解析】【分析】由3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析可知A,B,D正確，C錯(cuò)誤.【詳解】由3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，指數(shù)值不大于100的共有6天，故A正確；由3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，4月9日的指數(shù)值為67，空氣質(zhì)量最好，故B正確；由3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這12天的指數(shù)值的中位數(shù)是90，故C錯(cuò)誤；由3月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從3月4日到9日，指數(shù)值逐漸變小，空氣質(zhì)量越來越好，故D正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題4.已知幾何體三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則該幾何體表面積為 （ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求得答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型5.若為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由,即可求出 進(jìn)而求出答案【詳解】 ，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)角滿足，則的值為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用兩角和差的余弦公式將進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】角的終邊過點(diǎn)， ，故角的終邊在第一或第二象限，當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)， ， ,當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，, ,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和差的余弦公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.7.如圖，E、F分別是三棱錐PABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC10，AB6，EF7，則異面直線AB與PC所成的角為()A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)為,連接,異面直線AB與PC所成的角即為與所成的角，運(yùn)用余弦定理即可求角.【詳解】如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,FG,則EG為PAC的中位線，F(xiàn)G為ABC的中位線，EG=5,FG=3,異面直線AB與PC所成的角即為GF與GE所成的角，在EFG中， ,即 ,解得 ,故異面直線AB與PC所成的角為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，基本方法是將異面直線平移共起點(diǎn)構(gòu)造三角形求解.8.已知函數(shù)，則 的值（ ）A. -2B. 2C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】由，即可求出值.【詳解】 ,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用9.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，若抽得的第一張卡片上的數(shù)小于第二張卡片上的數(shù)的概率為,抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為 ,抽得的第一張卡片上的數(shù)等于第二張卡片上的數(shù)的概率為 ,則有（ ）A. B. C. D. =【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件總數(shù)，再用列舉法，由此能求出答案【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10個(gè)基本事件，抽得的第一張卡片上的數(shù)小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10個(gè)基本事件，抽得的第一張卡片上的數(shù)等于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5個(gè)基本事件， ，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，寫出試驗(yàn)的基本結(jié)果，計(jì)算出概率即可進(jìn)行判斷，屬于中檔題.10.已知圓C的方程為，.過點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn).則最大為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（0，0），半徑為1，求出 的最大值，即可確定的最大值.【詳解】圓C的方程為，表示為圓心，以1為半徑的圓,連接PO,AO,BO,則，最大為又，最大為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓位置關(guān)系，構(gòu)造直角三角形，判斷當(dāng)PO最小時(shí)，最大是解題的關(guān)鍵11.在平行四邊形ABCD中，E,F分別為邊BC,CD的中點(diǎn)，若 則 ( )A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】畫出圖像，利用向量的線性運(yùn)算，表示出 ，由此求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】,，又,，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量加法運(yùn)算，考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.12. 的最大值為（ ）A. 1+B. 3C. 2+D. 4【答案】A【解析】【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而找出單調(diào)性求出最大值.【詳解】，解得，又，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，解得，又，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了倍角公式，還考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，屬于綜合性題目，難度是中檔題.二、填空題。13.函數(shù)滿足，且在區(qū)間上則的值為_【答案】【解析】【分析】利用，再代入解析式即可求值.【詳解】，函數(shù)的周期為4，,【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)求值，運(yùn)用周期性結(jié)合函數(shù)解析式即可得到結(jié)果，屬于中檔題.14.已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，點(diǎn)在所給平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為_.【答案】6【解析】【分析】畫出可行域，結(jié)合平面區(qū)域的面積求出a,再利用z的幾何意義求得最大值.【詳解】畫出可行域如圖陰影所示：可知a0表示的平面區(qū)域?yàn)镺BC,，解得（舍負(fù)），化為斜截式,當(dāng)直線過B時(shí)z最大，B的坐標(biāo)為(2,2),此時(shí)，故答案為6.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，利用z的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是?？碱}型.15.設(shè) 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】試題分析：,設(shè)，則，.考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).16.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，若，則tanB=_.【答案】-3【解析】【分析】運(yùn)用正弦定理可得，再由余弦定理求出，進(jìn)而求解.【詳解】，,即，又，由余弦定理可得,解得，,解得,故答案為-3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.在數(shù)列 中， (1)證明：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)。【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：由,知數(shù)列是首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列，由此能求出的通項(xiàng)公式。由的通項(xiàng)公式為，知,從而得到數(shù)列的前項(xiàng)。證明：（1） 是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 （2）由（1）得 18.荊楚湖北素有“板栗之鄉(xiāng)”稱號(hào)，但板栗的銷售受季節(jié)的影響，儲(chǔ)存時(shí)間不能太長(zhǎng)。我校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)近年某食品銷售公司的銷售量（噸）和板栗銷售單價(jià)（元/千克）之間的關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查，得到如下表數(shù)據(jù)：銷售單價(jià)（元/公斤）1110.5109.598銷售量（噸）568101114.1(1)根據(jù)前5組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于的回歸直線方程;(2)若回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值不超過0.5（即），則認(rèn)為回歸直線方程是理想的，試問（）中得到的回歸直線方程是否理想？(3)如果今年板栗銷售仍然服從（）中的關(guān)系，且板栗的進(jìn)貨成本為2.5元/千克，且貨源充足（未售完的部分可按成本全部售出），為了使利潤(rùn)最大，請(qǐng)你幫助該公司就銷售單價(jià)給出合理建議.（每千克銷售單價(jià)不超過12元）.參考公式：回歸直線方程，其中，.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）（2）理想（3）7.5元/千克【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出等數(shù)據(jù)，從而求出，值，進(jìn)而得出回歸方程；（2）根據(jù)（1）的方程可得y與x之間的相關(guān)關(guān)系，將代入回歸方程，即可判斷（1）中得到的回歸直線方程是否理想；（3）寫出銷售利潤(rùn)W(千元)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者基本不等式即可求出最大值.【詳解】（1）因?yàn)?,所以所以，所以關(guān)于x回歸直線方程為：. （2）當(dāng)時(shí)，則，所以可以認(rèn)為回歸直線方程是理想的. （3）設(shè)銷售利潤(rùn)為W(千元)，則， 因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，W取得最大值. 所以可建議該公司將銷售價(jià)格定位7.5元/千克.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程、數(shù)據(jù)分析等問題，解決問題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用題中所給出的數(shù)據(jù).19.如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，側(cè)面SAD底面ABCD(1)求證：平面SBD平面SAD；(2)若SDA=120，CD=1，求三棱錐SBCD的體積。【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）要證明平面SBD平面SAD，只要證明BD平面SAD，由面SAD底面ABCD即證;(2）在SAD中過S作,求出，即可求出體積.【詳解】（1）證明：在梯形中，,ABC=90，設(shè),則,在直角三角形BCD中，BCD=90，可得,CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得 ,則BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；(2）在SAD中過S作則,.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查三棱錐的體積公式，是中檔題20.已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)軸上是否存在定點(diǎn)D (在橢圓外），使得過的直線 交橢圓于兩點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，且三點(diǎn)共線？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)滿足條件.【解析】分析：（1）根據(jù)題意得到和，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程為，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，則，由三點(diǎn)共線有：，即，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.詳解：（1） ， ，點(diǎn)代入 有：橢圓方程為： （2）存在定點(diǎn)滿足條件：設(shè)，直線方程為，聯(lián)立消有，設(shè)，則，且 由三點(diǎn)共線有： ， 存在定點(diǎn)滿足條件.點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓、圓與橢圓的位置關(guān)系，在求解此類問題時(shí)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，然后按照題目要求給出各量之間的關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果，本題需要一定的計(jì)算能力.21.已知函數(shù) (1)若=1時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）0 （2）【解析】【分析】(1)首先求解所給函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值；(2)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可【詳解】解：（1）,則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，為增，在處取最小值0.（2）由，得，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在 上最多有一個(gè)零點(diǎn).有兩個(gè)零點(diǎn)， .令 ，顯然有一正根和一負(fù)根，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為 ，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的極小值 ，即, ，可得在上是增函數(shù)，且 ，得 ,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題22.在直角坐標(biāo)系 中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(1)求和的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)射線與和分別交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由曲線C的參數(shù)方程能求出曲線C的一般方程