高二數(shù)學(xué)雙曲線知識(shí)點(diǎn)及例題

高二數(shù)學(xué)雙曲線知識(shí)點(diǎn)及例題高二數(shù)學(xué)雙曲線知識(shí)點(diǎn)及例題 一一 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 1 雙曲線第一定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù) 小于 F1F2 的點(diǎn)的軌 跡叫雙曲線 這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離 F1F2 叫焦距 2 雙曲線的第二定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù) e e 1 的點(diǎn) 的軌跡叫雙曲線 定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線 常數(shù) e 叫雙 曲線的離心率 3 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 焦點(diǎn)在 x 軸上的 x a y b ab 2 2 2 2 100 2 焦點(diǎn)在 y 軸上的 y a x b ab 2 2 2 2 100 3 當(dāng) a b 時(shí) x2 y2 a2或 y2 x2 a2叫等軸雙曲線 注 c2 a2 b2 4 雙曲線的幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線 的幾何性質(zhì) 1100 2 2 2 2 x x a y b ab y x F1F2A2A1 O 1范圍 或xaxa 對(duì)稱性 圖形關(guān)于 x 軸 y 軸 原點(diǎn)都對(duì)稱 頂點(diǎn) A1 a 0 A2 a 0 線段 A1A2叫雙曲線的實(shí)軸 且 A1A2 2a 線段 B1B2叫雙曲線的虛軸 且 B1B2 2b 41離心率 e c a e e 越大 雙曲線的開(kāi)口就越開(kāi)闊 5漸近線 y b a x 6 2 準(zhǔn)線方程 x a c 5 若雙曲線的漸近線方程為 x a b y 則以這兩條直線為公共漸近線的雙曲線系方程可以寫(xiě)成 0 2 2 2 2 b y a x 典型例題典型例題 例例1 選擇題 1 21 1 22 若方程表示雙曲線 則 的取值范圍是 x m y m m AmB mm 2121或 C mmD mR 21且 20 22 abaxbyc 時(shí) 方程表示雙曲線的是 A 必要但不充分條件B 充分但不必要條件 C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 3 22 sinsincos設(shè) 是第二象限角 方程表示的曲線是 xy A 焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓B 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 C 焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線D 焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線 4 169 1 3 22 1212 雙曲線上有一點(diǎn) 是雙曲線的焦點(diǎn) 且 xy PFFF PF 則 F1PF2的面積為 ABCD 96 33 39 3 例例2 已知 雙曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程PP 12 34 2 9 4 5 例例3 已知 B 5 0 C 5 0 是 ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn) 且 求頂點(diǎn) A 的軌跡方程 sinsinsinBCA 3 5 例例4 1 求與橢圓的雙曲線的 xy 22 94 1 5 2 有公共焦點(diǎn) 并且離心率為 標(biāo)準(zhǔn)方程 2 求與雙曲線的雙曲 xy M 22 94 1 9 2 1 有共同漸近線 且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例例5 已知雙曲線方程 xy 22 42 1 1 過(guò)點(diǎn) M 1 1 的直線交雙曲線于 A B 兩點(diǎn) 若 M 為 AB 的中點(diǎn) 求直線 AB 的方程 2 是否存在直線 l 使點(diǎn)為直線 l 被雙曲線截得的弦的中點(diǎn) N 1 1 2 若存在求出直線 l 的方程 若不存在說(shuō)明理由 例六 例六 1 若表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 那么它的半焦距 c x k y k 22 21 1 的取值范圍是 A B 0 2 C D 1 2 1 2 2 雙曲線的兩條漸近線的夾角為 60 則雙曲線的離心率為 A 2 或B 2C D 2 3 3 2 3 3 3 3 圓 C1 和圓 C2 動(dòng)圓 M 同時(shí)與圓 C1及 xy 31 2 2 xy 39 2 2 圓 C2相外切 求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程 例題答案例題答案 例一 例一 解 解 1 把所給方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)照 易知 2 m 與 m 1 應(yīng)同號(hào)即可 20 10 20 10 m m m m 或 m m m m 2 1 2 1 或 mm12或 20 22 若表示雙曲線 則一定有 axbycab 若 當(dāng)時(shí) 表示雙曲線 當(dāng)時(shí) 表示直線 ab c c 0 0 0 選 A 300 sincos 是第二象限角 sin cos 0 原方程化為 xy 22 1 sin cos sin cos 易知 x2的系數(shù)為負(fù) y2的系數(shù)為正 方程表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 4 由雙曲線方程知 a 4 b 3 c 5 設(shè) 則 PFmPFnmnF Fc 1212 8210 由余弦定理 22 3 222 cmnmn cos 1002 2 mnmnmn mn36 Smn F PF 12 1 2 60 1 2 36 3 2 9 3sin 例二 例二 解 解 設(shè)所求雙曲線方程為 Ax2 By2 1 AB 0 依題意 9321 81 16 251 1 9 1 16 AB AB A B 所求雙曲線方程為 yx 22 169 1 例三 例三 分析 分析 在 ABC 中由正弦定理可把轉(zhuǎn)化為 結(jié)sinsinsinBCA 3 5 bca 3 5 合圖形可知頂點(diǎn) A 的軌跡是以 B C 為兩焦點(diǎn) 實(shí)軸長(zhǎng)為 6 的雙曲線的左支 y x C A B 3 解 解 在 ABC 中 BC 10 由正弦定理 sinsinsinBCA 3 5 可化為 ACABBC 3 5 6 頂點(diǎn) A 的軌跡是以 B C 為兩個(gè)焦點(diǎn) 實(shí)軸長(zhǎng)為 6 的雙曲線的左支 又 c 5 a 3 b 4 頂點(diǎn) 的軌跡方程為A xy x 22 916 13 注 1 利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)換 這是求軌跡方程的關(guān)鍵 2 對(duì)于滿足曲線定義的 可以直接寫(xiě)出軌跡方程 3 求軌跡要做到不重不漏 應(yīng)刪除不滿足條件的點(diǎn) 例四 例四 解 解 1 由橢圓方程知 abc 325 焦點(diǎn) FF 12 5050 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a y b 2 1 2 2 1 2 1 由已知條件得 c c a cab a b 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 5 5 2 2 1 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y 2 2 4 1 2 解法一 解法一 M 9 2 1 在第四象限 又雙曲線的漸近線為 xy yx 22 94 1 2 3 將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入Mxyx 9 2 2 3 3 雙曲線的焦點(diǎn)必在 x 軸上 設(shè)雙曲線方程為 x a y b 2 2 2 2 1 b a ab a b 2 3 9 2 1 1 18 8 2 2 2 2 2 2 所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 xy 22 188 1 解法二 解法二 所求雙曲線與已知雙曲線有共同的漸近線yx 2 3 設(shè)所求雙曲線方程為 xy 22 94 0 又所求雙曲線過(guò)點(diǎn) M 9 2 1 9 2 9 1 4 2 2 2 所求雙曲線方程為 xy 22 188 1 例五 例五 解 解 1 設(shè) AB 的方程為 y 1 k x 1 ykxk xy y 1 42 1 22 消去 12442460 2222 kxkk xkk 設(shè) 則 A xyB xyM xxyy 1122 1212 22 xx kk k xxkk k 12 2 2 12 2 2 44 122 22 12 1 即 k 1 2 又 444 12246 2 2 22 kkkkk 將代入k 1 2 0 所求直線的方程為 ABxy210 1 另解法 另解法 設(shè) 則 A xyB xyM xxyy 1122 1212 22 AB xy 在雙曲線上 22 42 1 xy xy 1 2 1 2 2 2 2 2 42 11 42 12 1220 12121212 xxxxyyyy 又 xxyy 1212 22 24 1212 xxyy 當(dāng) x1 x2時(shí) 直線 AB 與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn) xx yy xx kAB 12 12 12 1 2 1 2 那么 直線的方程為 ABxy210 雙曲線的一條漸近線為yx 2 2 又 直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn) 1 2 2 2 xyAB210即為的方程 2 假設(shè)過(guò)的直線 l 交雙曲線于 C x3 y3 D x4 y4 兩點(diǎn)N 1 1 2 則 xy xy 3 2 3 2 4 2 4 2 42 13 42 14 3420 34343434 xxxxyyyy 依題意 又 xxxxyy 343434 21 yy xx kCD 34 34 1 雙曲線的一條漸近線為yx 2 2 1 2 2 直線 與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)l 使點(diǎn) 為弦的中點(diǎn)的直線不存在N 1 1 2 例六 例六 1 答案 答案 A 2 答案 答案 A 3 分析 分析 解決本題的關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn) M 滿足的條件 對(duì)于兩圓相切 自然 找圓心距與半徑的關(guān)系 x C1 O C2 3 y A B M 解 解 設(shè)動(dòng)圓 M 與圓 C1及圓 C2分別外切于點(diǎn)