3.4.1基本不等式的證明.docx

基本不等式教案(高一年級下冊必修5第三章第四節(jié)) 成都華西中學數(shù)學組 張 宇一、【教材分析】1、教學內容本節(jié)課內容是人教A版教材必修5第三章不等式第四節(jié),其教學內容為基本不等式的證明及簡單應用。2、地位與作用本節(jié)是在已學不等式性質基礎上對不等式進一步認識的重要內容之一，它為選修4-5不等式選講中用以研究不等式提供了一種重要依據(jù)。因此本節(jié)課起著承上啟下的作用。同時本節(jié)課給出了不等式中2個最重要的不等式，它的探究方法對后續(xù)的不等式選講的學習有著方法上的指導意義。二、【學情分析】1、知識基礎：高一年級學生已在初中學習過一元一次不等式等基礎知識，并能用這些知識解決相關問題，對不等式證明的書寫較為熟悉。2、認知水平與能力：高一年級學生已初步學會了簡單的邏輯推理方法，掌握了一些基本的數(shù)學思想方法，能在教師的引導下獨立地解決一些基本問題。3、任教班級學生特點：我班學生基礎知識比較薄弱、但是思維較活躍，能比較容易接受教材上的內容，但是要求應用所學的知識解決問題的能力還不足，邏輯推理能力和用數(shù)學語言進行正確表達的能力還有待進一步提高。三、【目標分析】1、 教學目標依據(jù)教材的教學要求，滲透新課標理念，并結合以上學情分析，我制定了如下教學目標：（1）知識與技能理解基本不等式的內容及證明； 能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大??；進一步學會用數(shù)學語言對不等式證明進行正確規(guī)范地書寫。（2）過程與方法在利用趙爽弦圖進行推導重要不等式和基本不等式的過程中，經歷觀察、分析、猜想、論證，形成對兩個不等式關系的良好認識；在推理論證的過程中進一步理解從特殊到一般和數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的重要性，并學會應用解決相關問題；（3）情感態(tài)度與價值觀在學習過程中感受不等式證明的嚴謹性，從而培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度；通過對趙爽弦圖的了解滲透數(shù)學文化。2、教學重點及難點重點：理解基本不等式的含義及證明難點：基本不等式等號成立條件的運用重、難點解決的方法策略本課在設計上采用由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略，通過學生自主思考和互動研討，經歷觀察、分析、猜想、論證的過程，自己推導出2個不等式同時，借助多媒體的直觀演示，強化學生對重要不等式、基本不等式的理解認識，從而突出重點。為了強化學生對基本不等式的理解認識，在應用上，注意通過范例后的變式訓練和教師的點撥引導，師生互動、講練結合，從而突破教學難點。四、【教學模式與教法、學法】本課采用“合作探究”教學模式。教師的教法突出活動的安排與問題的引導。學生的學法突出合作學習、探究發(fā)現(xiàn)與歸納建構。五、【過程設計】探究基本不等式（15分鐘）結合教材知識內容和教學目標，本課的教學環(huán)節(jié)及時間分配如下： 探究重要不等式（5分鐘）創(chuàng)設情景提出問題（2分鐘） 視頻欣賞 猜想證明 前后呼應 推論應用方法提煉上升認識（3分鐘） 基本不等式的應用與議練活動（13分鐘）解決問題歸納總結（2分鐘） 教學過程： 教學環(huán)節(jié)教 師 活 動 學 生 活 動活 動說 明新 課 引 入一、創(chuàng)設情境： 如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？引入新課，板書課題：基本不等式（一）.現(xiàn)實模型： 生活實例模 型直 觀用實際生活引入新課.數(shù) 學 探 究 數(shù) 學 探 究 議練活動課 堂總結二、探究新知（一）探究一：問題1：設直角三角形的長為a、b，那么正方形的邊長為_;面積為_,4個直角三角形的面積和是_.問題2：根據(jù)4個直角三角形的面積和與正方形面積的大小關系，我們可得到一個怎樣的不等式_問題3：4個直角三角形的面積和與正方形的面積有相等的情況嗎？何時相等？圖形怎樣變化？問題4：你能給出它的證明嗎？歸納小結：（重要不等式），對于任意的實數(shù)a,b,都有_;當且僅當_。探究二：問題5：既然對于任意的實數(shù)a,b,都有a2b2 2ab,如果a0，b0，用，分別代替a2b22ab中的a，b會得到怎樣的不等式？問題6：如何證明不等式(a0，b0)?歸納小結：若a0,且b0,那么_,我們把這個不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。問題7：如下圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQa，BQb，過點Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？“半徑不小于半弦”定理解讀：（1）基本不等式的幾何意義： （2）平均數(shù)解釋： （3）定理成立的條件是_；結論是_。三、知識應用例1已知a，b，c為任意的實數(shù)，求證：a2b2c2 abbcca.變式練習1：已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：abc總結：例2已知x、y都是正數(shù)求證： 2.變式練習2： 總結：課堂練習：1已知a0，則4a+的最小值是（)A2 B2 C4 D52設a、b是實數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D8四、課堂總結1、課堂小結：教師引導學生歸納總結本節(jié)課所學習的主要內容（采用填空形式）2、課后作業(yè)：教材100頁練習共4個題目.3、課后思考題： 探究函數(shù)的最值.觀察圖形，學生自己完成學案上問題。通過觀察，得出結論，小組合作，自己完成證明；小組相互交流證明過程，解決問題。學生小組合作自行驗證結論，過程中引導學生感悟數(shù)學整體代換的思想方法，進而體會邏輯證明的必要性.證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學生對基本不等式的理解學生單獨解答，并完成結論。幾何解釋的目的是讓學生體會數(shù)形結合的基本數(shù)學思想。學生自己完成證明.展示個別學生的證明過程，指出學生錯誤和需要注意的地方，體會證明的邏輯性以及嚴謹性.尤其是變式1中等號不能取得。學生單獨作答本環(huán)節(jié)由學生自主歸納、總結本節(jié)課所學習的主要內容，教師加以補充說明：（1）回顧本節(jié)所學數(shù)學知識。（2）體會數(shù)學整體代換的數(shù)學思想。通過ICM的大會圖標，學生較容易觀察出面積之間的關系，引入基本不等式很直觀通過整體代換變形得到基本不等式，是學生難點，但是要引導學生感悟數(shù)學整體代換的思想方法，幾何直觀解釋讓學生體會數(shù)形結合的數(shù)學思想例1和變式訓練，主要是讓學生學會用新知識解決問題，實際上學生大多習慣采用作差法證明，這是正?，F(xiàn)象，感知利用基本不等式證明的簡潔后，例2和變式2就順利成章的完成了引導學生進行回顧總結，歸納本節(jié)課內容，完善認知結構板書設計：3.4基本不等式（一）一、重要不等式二、基本不等式三、數(shù)學思想與方法 (主板書) 三、例題解答例1：變式訓練例2：變式訓練(副板書)學生活動展示區(qū) (輔助性板書)六、【教學反思】根據(jù)教學經歷和學生的反饋信息，我對本課的教學有如下反思：（1）根據(jù)新課程課堂教學活動的基本理念：“教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識和技能，數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗”，因此，我在本科教學設計中突出了學生的小組合作，自主探索，鼓勵學生積極參與互動交流，所以絕大多數(shù)學生能很好地掌握基本不等式，并能用于解決相關問題，形成了較好的數(shù)學學習經驗。（2）本課設計特別強調數(shù)學知識和技能的訓練，滲透“整體代換”和“數(shù)形結合”兩種數(shù)學思想與方法，不等式的推導與例題后變式訓練以及一題多解、一題多變的訓練模式都是為了這兩個目的而設計的。（3）本課在教學中始終貫穿學法指導，特別是通過