平行四邊形(專題講座含答案).docx

平行四邊形（專題講座1）例1下面有四個(gè)命題：（1）一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（2）一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊（3）一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形。（4）一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形。其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4例2 ABCD是平行四邊形，以AC為邊在兩側(cè)各作一個(gè)正三角形ACP,與ACQ。 試證BPDQ為平行四邊形。例3平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)5米和6米，一條對(duì)角線長(zhǎng)為8米，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，求k。例4如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，點(diǎn)P在BC上，PEBC交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F。（1）求證：2AD=PE+PF；（2）平移PE，使P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，PE交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC的延長(zhǎng)線于F，寫(xiě)出AD，PE，PF滿足的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論。例5在等腰三角形ABC的兩腰AB，AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF，已知BC=2,求證：EF1.例6如圖,在等腰ABC中,延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求證:BAC=100.例7在平行四邊形ABCD的邊AB，AD上向外形作兩個(gè)正方形ABMX，ADNY。求證：對(duì)角線AC與兩正方形的頂點(diǎn)X與Y的聯(lián)線互相垂直。平行四邊形（專題講座1答案）例1下面有四個(gè)命題：（1）一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（2）一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊（3）一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形。（4）一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形。其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4解 命題（1）是假命題。如圖（1）中的四邊形ABCD，它滿足命題的條件，A=C，AB=CD，但它不是平行四邊形。命題（2）是假命題。如圖（2），延長(zhǎng)等腰ADE底邊ED至任意點(diǎn)O，以O(shè)為對(duì)角錢(qián)的交點(diǎn)作平行四邊形ABCE，這時(shí)四邊形ABCD滿足AD=BC且AO=OC，但它不是平行四邊形。命題（4）也是假命題，如圖（3），四邊形ABCD中，BAD=BCD，BD垂直平分AC，但四邊形ABCD不是平行四邊形。下面證明命題（3）是真命題。如圖（4），四邊形ABCD中，BAD=DCB，且命題。如圖（4），四邊形ABCD中，BAD=DCB，且OB=OD，以O(shè)為中心，將ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。OB=OD, D與重合,B與D重合,點(diǎn)A與射線OC上的點(diǎn)A不是C,則BADBCD。（A在線段OC上，非點(diǎn)C），或BADBCD（A在線段OC的延長(zhǎng)線上）都與BAD=BAD=BCD矛盾，所以A即為C，即OA=OA=OC，所以A即為點(diǎn)C，即OA=OA=OC，所以四邊形ABCD是平行四邊形。故選（A）。例2 ABCD是平行四邊形，以AC為邊在兩側(cè)各作一個(gè)正三角形ACP, ACQ。 試證BPDQ為平行四邊形。證明 因ACP與ACQ都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQ。故四邊形PAQC為平行四邊形。連結(jié)PQ交AC于O。則O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)也是PQ的中點(diǎn)。 連結(jié)BD，因ABCD是平行四邊形，故BD與AC互相平分，即BD的中點(diǎn)也是O。因?yàn)镻O=QO，BO=DO，所以BPDQ為平行四邊形。例3平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)5米和6米，一條對(duì)角線長(zhǎng)為8米，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，求k。解 我們先來(lái)證明下面的的“平行四邊形定理”：平行四邊形四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。右圖中ABCD 是平行四邊形。作CEAB，DFAB，垂足為E，F(xiàn)。 顯然BCEADF，則BE=AF，CE=DF。 故 BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2=(AB+AF) 2+FD2+(AB-BE) 2+CE2= (AB+BE) 2+CE2+(AB-BE) 2+CE2=2 (AB2+ BE 2+CE2)= 2 (AB2+ BC2). 下面運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)解答原題，()2+82=2(52+62), k=58.例4如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，點(diǎn)P在BC上，PEBC交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F。（1）求證：2AD=PE+PF；（2）平移PE，使P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，PE交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC的延長(zhǎng)線于F，寫(xiě)出AD，PE，PF滿足的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論。解 （1）如圖，延長(zhǎng)AD至A,使AD=AD,連結(jié)AC,延長(zhǎng)EF交AC于F. 在ABC中，AB=AC,且ADBC, AD平分BC，即BD=CD又 RtADCRtADC，AC=AC，ACD=ACD，CFF為等腰三角形，F(xiàn)P=FP. 又 CAD=CAD=BAD, ACAB,四邊形AAFE是平行四邊形， AA=EF,AA=2AD,EF=EP+PF=EP+PF,故2AD=PE+PF。(2)AD、PE、PF滿足關(guān)系式2AD=PE-PF.如圖,延長(zhǎng)AD到A使AD=AD，連接AC并延長(zhǎng)與EF相交于F則由(1)知PF=PF，且AAFE是平行四邊形， AA=EF，2AD=PE-PF.例5在等腰三角形ABC的兩腰AB，AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF，已知BC=2,求證：EF1.證明 作平行四邊形ABCH，在HC上截取HG=AE，連結(jié)EG ，顯然四邊形AEGH和BEGC也是平行四邊形，EG=AH=BC=2。CG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。在EAF與FCG中，AE=CF，EAF=FCG，AF=CG，所以EAFFCG。于是EF=FG。 因2EF=EF+FGEG=2，故EF1.例6如圖,在等腰ABC中,延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求證:BAC=100.證明 由圖及已知條件，ADE中，AD=ED, ADE為等腰三角形，其底角EAD必為銳角，所以等腰三角形ABC中，BAC為鈍角，必是頂角。所以AB,AC是腰，有AB=AC。過(guò)C作AD的平行線，與過(guò)D所作BC的平行線交于點(diǎn)F，連結(jié)EF, 易知BCFD為平行四邊形,因此DB=CF,BC=DF, EAD=ECF.在ADE與CEF中,AD=CE,AE=DB=CF, EAD=ECF, 所以ADECEF,于是 ED=EF. 但是ED=BC=DF，DEF是個(gè)對(duì)邊三角形，EDF=60。設(shè)BAC=，則ADF=ABC=,DAE=180-，ADE= 180-2DAE =180-2(180-)=2-180. 由ADF+ADE=EFD=60,得+（2-180）=60，解得=100。即BAC=100.。例7在平行四邊形ABCD的邊AB，AD上向外形作兩個(gè)