奧數(shù)專題-定義新運(yùn)算(帶答案完美排版).doc

小學(xué)奧數(shù)專題之-定義新運(yùn)算 定義新運(yùn)算 我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：、等.如：235 236都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見(jiàn)一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“”，“”，“”，“”運(yùn)算不相同.我們先通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定ab3a2b，求 32， 23；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？求（176）2，17（62）；這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？如果已知4b2，求b.分析：解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍. 解： 323322945 233223660.由的例子可知“”沒(méi)有交換律.要計(jì)算（176）2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：1763172639；再計(jì)算第二步3923 3922113， 所以（176）2113.對(duì)于17（62），同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，62362214，其次171431721423，所以17（62）23.由的例子可知“”也沒(méi)有結(jié)合律.因?yàn)?b342b122b，那么122b2，解出b5.例2、定義運(yùn)算為 abab（ab）， 求57，75； 求12（34），（123）4；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎？ 如果3（5x）3，求x.解： 5757（57）351223，7 575（75）351223.要計(jì)算12（34），先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3434（34）5，再計(jì)算第二步125125（125）43，所以 12（34）43.對(duì)于（123）4，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，123123（123）21，其次214214（214）59，所以（12 3）459.由于abab（ab）；baba（ba） ab（ab）（普通加法、乘法交換律）所以有abba，因此“”有交換律.由的例子可知，運(yùn)算“”沒(méi)有結(jié)合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5） 3（4x5）（34x5） 12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出x2.例3、定義新的運(yùn)算a babab. 求6 2，2 6； 求（1 2） 3，1 （2 3）； 這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？ 解： 6 2626220，2 6262620. （1 2） 3（1212） 3 5 3 5353 23 1 （2 3）1 （2323） 1 11 111111 23. 先看“”是否滿足交換律： a babab b ababaabab（普通加法與乘法的交換律） 所以a bb a，因此“”滿足交換律. 再看“”是否滿足結(jié)合律： （a b） c（abab） c （abab）cababc abcacbcababc. a （b c）a （bcbc） a（bcbc）abcbc abcabacabcbc abcacbcababc.（普通加法的交換律） 所以（a b） ca （b c），因此“”滿足結(jié)合律. 說(shuō)明：“”對(duì)于普通的加法不滿足分配律，看反例： 1 （23）1 5151511； 1 21 3121213135712； 因此1 （23） 1 21 3.例4、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“”，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73？ 解：通過(guò)對(duì)248，5313，3511，9725這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律： ab2ab，因此7327317.例5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析：我們采用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求12）*3的值，首先我們要計(jì)算12，根據(jù)“”的定義：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值，k值求出后，l2的值也就計(jì)算出來(lái)了.我們?cè)O(shè)12=a， (12）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（12）*3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過(guò)1*2 =5可以求出m、n的值，通過(guò)（2*3）4=64求出 k的值.m=2n =（舍去） 解：因?yàn)?*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：m=3n =1m=1n =2 當(dāng)m=1，n=2時(shí)：（2*3）4=（12+23）4 =84=k84=32k 有32k=64，解出k=2.當(dāng)m=3，n=1時(shí)：（2*3）4=（32+13）4 =94=k94=36k 有36k=64，解出k=，這與k是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n =1，k= 這組值應(yīng)舍去. 所以m=l，n=2，k=2.（12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10. 在上面這一類定義新運(yùn)算的問(wèn)題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問(wèn)題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒(méi)有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來(lái)解題.課后習(xí)題1.a*b表示a的3倍減去b的，例如： 1*2=132=2，根據(jù)以上的規(guī)定，計(jì)算： 10*6； 7*（2*1）.2.定義新運(yùn)算為 ab， 求2（34）的值； 若x41.35，則x？3.有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，使下列算式成立： =，=，=，求的值.4.定義兩種運(yùn)算“”、“”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a、b， abab1，ab=ab1，計(jì)算4（68）（35）的值；若x（x4）=30，求x的值.5.對(duì)于任意的整數(shù)x、y，定義新運(yùn)算“”， xy=（其中m是一個(gè)確定的整數(shù)）， 如果12=2，則29=？6.對(duì)于數(shù)a、b規(guī)定運(yùn)算“”為ab=（a1）（1b）， 若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求a的值.7.“*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是： x*y=， 已知2*1=，求1998*1999的值.8.ab=，在x（51）=6中，求x的值.9.規(guī)定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a、b均為自然數(shù)，ba）如果 x10=65，那么x=？10.我們規(guī)定：符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=5，符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=3，計(jì)算：=？課后習(xí)題解答1.2. 3. 所以有5x-2=30，解出x=6.4 左邊： 8.解：由于 9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算： x10=x +（x+1）+（x+2）+（x+101） =10x +（1+2+3+9）=10x + 45 因此有10x + 45=65，解出x=2.定義新運(yùn)算 我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：、等.如：235 236都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見(jiàn)一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“”，“”，“”，“”運(yùn)算不相同.我們先通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定ab3a2b，求 32， 23；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？求（176）2，17（62）；這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？如果已知4b2，求b.例2、定義運(yùn)算為 abab（ab）， 求57，75； 求12（34），（123）4；這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎？ 如果3（5x）3，求x.例3、定義新的運(yùn)算a babab. 求6 2，2 6； 求（1 2） 3，1 （2 3）； 這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？ 例4、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“”，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73？ 例5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.課后習(xí)題1.a*b表示a的3倍減去b的，例如： 1*2=132=2，根據(jù)以上的規(guī)定，計(jì)算： 10*6； 7*（2*1）.2.定義新運(yùn)算為 ab， 求2（34）的值； 若x41.35，則x？3.有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，使下列算式成立： =，=，=，求的值.4.定義兩種運(yùn)算“”、“”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a、b， abab1，ab=ab1，計(jì)算4（68）（35）的值；若x（x4）=30，求x的值.5.對(duì)于任意的整數(shù)x、y，定義新運(yùn)算“”， xy=（其中m是一個(gè)確定的整數(shù)）， 如果12=2，則29=？6.對(duì)于數(shù)a、b規(guī)定運(yùn)算“”為ab=（a1）（1b）， 若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求a的