拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用.doc

目 錄 引言 1 1 拉普拉斯變換以及性質(zhì) 1 1 1 拉普拉斯變換的定義 1 1 2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 2 2 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟 3 3 拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用 4 3 1 初值問題與邊值問題 4 3 2 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程 5 3 3 含 函數(shù)的常微分方程 6 3 4 常微分方程組 7 3 5 拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用 7 3 6 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣 11 4 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用 12 4 1 齊次與非齊次偏微分方程 12 4 2 有界與無界問題 15 5 綜合比較 歸納總結(jié) 19 結(jié)束語 20 參考文獻(xiàn) 20 英文摘要 21 致謝 21 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 1 拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用 物理系 0801 班 學(xué) 生 岳艷林 指導(dǎo)老師 韓新華 摘摘 要 要 拉普拉斯變換在求解微分方程中有非常重要的作用 本文首先介紹拉普拉斯 變換的定義及性質(zhì) 其次給出拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟 然后重點(diǎn)舉例拉普 拉斯變換在求解常微分方程 初值問題與邊值問題 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程 含函 數(shù)的常微分方程 常微分方程組 拉普拉斯變換在求解微分方程特解中的應(yīng)用 拉普拉斯 變換在求解高階微分方程的推廣 與典型偏微分方程 齊次與非齊次偏微分方程 有界與 無界問題 中的應(yīng)用舉例 最后綜合比較 歸納總結(jié)拉普拉斯變換在求解微分方程中的優(yōu) 勢以及局限性 關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 拉普拉斯變換 拉普拉斯逆變換 常微分方程 偏微分方程 特解 引言引言 傅里葉變換和拉普拉斯變換是常用的積分變換 但對函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換 時(shí)必須滿足狄里希利和在內(nèi)絕對可積 但是在物理 無線電技術(shù)等 t 實(shí)際應(yīng)用中 許多以時(shí)間 為自變量的函數(shù)通常在時(shí)不需要考慮或者沒有t0t 意義 像這樣的函數(shù)不能取傅里葉變換 為避免上述兩個(gè)缺點(diǎn) 將函數(shù)進(jìn)行適 當(dāng)改造 便產(chǎn)生了拉普拉斯變換 1 1 1 拉普拉斯變換以及性質(zhì)拉普拉斯變換以及性質(zhì) 1 11 1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義 而且積分 是一個(gè)復(fù)參量 在 的 f t0t 0 st f t edt ss 某一區(qū)域內(nèi)收斂 則此積分所確定的函數(shù)可寫為 我們稱上式 0 st F sf t edt 為函數(shù)的 Laplace 變換式 記為 稱為的 Laplace 變 f t F sL f t F s f t 換 或稱為象函數(shù) 若是的 Laplace 變換 則稱為的 Laplace 逆變換 或稱 F s f t f t F s 為象原函數(shù) 記為 2 1 f tLF s Laplace 變換的存在定理 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 2 若函數(shù)滿足下列條件 f t 在的任一有限區(qū)間上分段連續(xù) 1 0t 當(dāng)時(shí) 的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù) 亦即存在常數(shù)2 t f t 及 使得成立 滿足此條件的函數(shù) 稱它的0M 0c c 0f tMet 增大是不超過指數(shù)級的 為它的增長指數(shù) c 則的 Laplace 變換在半平面上一定存在 f t 0 st Ff t edt s Re sc 右端的積分在的半平面內(nèi) 為解析函數(shù) 2 1 Re scc F s 1 21 2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì) 線性性質(zhì) 若是常數(shù) 11 L f tF s 22 L f tF s 則有 1212 t Lf tf tL fL f t 111 1212 s LF sF sLFLF s 微分性質(zhì) 若 則有 L f tF s 0 L f tsF sf 高階推廣 若 則有 L f tF s 2 0 0 L fts F ssff 一般 12 2 1 0 0 0 0 nnnnnn L fts F ssfsfsff 積分性質(zhì) 若 則 L f tF s 0 1 t Lf t dtL F s s 位移性質(zhì) 若 則 L f tF s Re at L e f tF sasac 延遲性質(zhì) 若 又時(shí) L f tF s 0t 0f t 則對于任一非負(fù)實(shí)數(shù) 有 或 2 s L f teF s 1 s LeF sf t 相似性性質(zhì) 若 則 L f tF s 1 s L f atF aa 卷積性質(zhì) 若 11 L f tF s 22 L f tF s 則 11212 L f tf tF s F s 其中稱為與的卷積 3 11212 0 t f tf tff td 1 tf 2 tf 由于從定義以及性質(zhì)求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換困難且復(fù)雜 在控 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 3 制工程中 常常通過查閱已編好的 拉氏變換對照表 來實(shí)現(xiàn) 拉氏變換對照 表列出了工程上常用的時(shí)間函數(shù)及其對應(yīng)的拉氏變換 可以根據(jù)該表查找原函 數(shù)的象函數(shù) 或者從象函數(shù)查找原函數(shù) 對于表中不能找到的形式 可以把它 展開成部分分式 再求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換 以下是本文將用到的 幾種常用的拉普拉斯變換函數(shù)對 3 表一 拉普拉斯變換函數(shù)表 2 2 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟 像其他方法求解微分方程一樣 應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程也有規(guī)范 的步驟 其一般步驟 4 如下 1 根據(jù)自變量的變化范圍和方程及其定解條件的具體情況來決定對哪一個(gè) 自變量進(jìn)行拉普拉斯變換 然后對線性微分方程中每一項(xiàng)取拉普拉斯變換 使 微分方程變?yōu)?s 的代數(shù)方程 2 解象函數(shù)的代數(shù)方程 得到有關(guān)變量的拉普拉斯變換表達(dá)式 即象函數(shù) 原函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù) 1 s 1 n tn為整數(shù) 1 n s n t e s 1 at t sin 1 s a arctan t sin 22 s t cos 22 s s tsh 22 s tch 22 s s tt sin 222 2 s s tt cos 222 22 s s t 1 2 t a erfc sa e s 1 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 4 3 對象函數(shù)取拉普拉斯逆變換 得到微分方程的時(shí)域解 流程圖法 5 如下 微分方程的解 取拉普拉斯逆變換 取拉普拉斯變換 解代數(shù)方程 原函數(shù)象函數(shù) 微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程 圖一 拉普拉斯變換求解微分方程的流程圖 拉普拉斯變換在物理和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 通過拉普拉斯變換 可以方便地對線性控制系統(tǒng)進(jìn)行分析 研究 可以對一些級數(shù)進(jìn)行求和 還可 以求解微分方程 1 接下來重點(diǎn)討論拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用 3 3 拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用 3 13 1 初值問題與邊值問題初值問題與邊值問題 例 求解初值問題 2 43 0 0 1 t yyyeyy 解 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 tyLsY 2 1 0 0 4 0 3 1 s Y ssyysY syY s s 結(jié)合初始條件 有 2 1 1 4 1 3 1 s Y sssY sY s s 整理展開成部分分式 有 2 22 66711131 1 3 412 1 43 ss Y s sssss 由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知 11 t Le s 11 1 t Le s 1 3 1 3 t Le s 由拉普拉斯變換函數(shù)表 并結(jié)合位移性質(zhì) 1 1 n n n Lt s t L ef tF s 可知 1 2 1 1 t Lte s 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得方程的解為 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 5 133 7131 72 3 4244 ttttt y tLY seteet ee 例 求解邊值問 2 0 0 0 2 1yyyy 解 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 tyLsY 0 0 0 2 sYysysYs 結(jié)合初始條件 有 0 0 2 sYysYs 整理展開成部分分式 有 1 1 1 1 2 1 0 1 0 2 ss y s y sY 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 1 1 t e s L 1 1 1 t e s L 1 1 1 t e s L 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得方程的解為 sinh 0 0 2 1 1 tyeeysYLty tt 為了確定 將條件代入上式可得 0 y1 2 y 2sinh 1 0 y 所以 方程的解為 2sinh sinh t ty 3 23 2 常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程 例 求解常系數(shù)微分方程 2 2 1 0 0 02 yyyyy 解 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 tyLsY 0 0 2 0 0 2 sYyssYysysYs 結(jié)合初始條件 有 0 2 0 2 sYssYysYs 整理展開成部分分式 有 1 0 12 0 2 2 s y ss y sY 由拉普拉斯變換函數(shù)表并結(jié)合位移性質(zhì) 1 1 n n t s n L sFtfeL t 可知 1 1 2 1 t te s L 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得方程的解為 0 1t teysYLty 為了確定 將條件代入上式可得 0 y2 1 y 2 0 e y 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 6 所以 方程的解為 2 2 11 tt tete e sYLty 例 求解變系數(shù)微分方程 2 00 20 0 1 0 tyytyyycc 為常數(shù) 解 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 tyLsY 0 2 tyLyLtyL 即 0 4 tyLyLtyL 亦即 0 0 2 0 0 2 sY ds d yssYysysYs ds d 兩邊積分可得 0 0 2 0 2 2 sY ds d yssYysY ds d sssY 結(jié)合初始條件 有 0 1 2 1 2 2 sY ds d ssYsY ds d sssY 整理可得 1 1 s 2 s Y ds d 兩邊積分可得 arctan cssY 欲求待定系數(shù) c 可利用 所以從 0 lim sY s 2 c s ssY 1 arctanarctan 2 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 sin 1 arctan 1 at ts a L sin 1 arctan 1 t t sL 對方程兩邊同時(shí)求反演 可得方程的解為 sin 1 1 t t sYLty 3 33 3 含含函數(shù)的常微分方程函數(shù)的常微分方程 例 質(zhì)量為的物體掛在彈簧系數(shù)為的彈簧一端 當(dāng)物體在時(shí)在mk0t 方向受到?jīng)_擊力 t 其中為常數(shù) 若物體自靜止平衡位置x f tAt A 處開始運(yùn)動(dòng) 求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 2 0 x x t 解 根據(jù)牛頓定律 有 kxtfmx 其中由胡克定律所得 是使物體回到平衡位置的彈簧的恢復(fù)力 所以 kx 物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為 0 0 0 0 xxttfkxmx且 這是二階常系數(shù)非齊次微分方程 對方程兩邊取拉普拉斯變換 設(shè) 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 7 并考慮到初始條件 則得 AtALtfLsXtxL 2 AskXsXms 如果記有 2 0 m k 1 2 0 2 sm A sX 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 sin 22 1 t s L sin 1 1 0 0 2 0 2 1 t s L 對方程兩邊同時(shí)取反演 從而方程的解為 sin 0 0 t m A tx 可見 在沖擊力作用下 運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng) 振幅是角頻率是稱 0 m A 0 為該系統(tǒng)的自然頻率 或稱固有頻率 0 3 43 4 常微分方程組常微分方程組 例 求解三維常微分方程組 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 xxyz xyyzxyzxyz xyzz 解 設(shè)對方程組的兩個(gè)方程兩邊分 txLsX tyLsY tzLsZ 別取拉普拉斯變換并結(jié)合初始條件 有 0 1 0 1 0 1 2 2 2 sZssYsX sZsYssX sZsYsXs 解該方程組 整理展開成部分分式 有 13 1 23 1 2 1 13 1 23 2 2 1 2222 2222 3 s s s s ss s sZsY s s s s ss s sX 取其逆變換 可得原方程組的解 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 8 cos 3 1 2cosh 3 1 cos 3 1 2cosh 3 2 tttzty tttx 3 53 5 拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用 形如的方程稱為階常系數(shù)非齊次線 1 1 1 xfyayayay nn nn n 性微分方程 這里為常數(shù) 為連續(xù)函數(shù) 我們平時(shí)用到的 nn aaaa 1 21 f x 主要有三種形式 f x x f xe 2 12 xn n f xep xp xp xp xp x 其中 6 sin cosf xxf xx 該非齊次微分方程的解即該非齊次微分方程的特解與對應(yīng)的齊次微分方程 的通解 對于該方程的通解可用多種方法求特解 如 比較系數(shù)法 常數(shù)變易 法 算子法等 下面將用拉普拉斯變換法求解該方程的特解 設(shè)為求特解令初始條件為零 對方程兩邊同 xfLsFtyLsY 時(shí)取拉普拉斯變換 得到 下面結(jié)合 f x 的三種 nn nn asasas sF sY 1 1 1 形式分別作介紹 1 x exf 此時(shí) 1 1 1 1nn nn asasass sY 對其進(jìn)行部分分式分解 令 1 1 1 21 nn nn nn asasas DCsBs s A sY 則該齊次微分方程特解的形式與自由項(xiàng) f x 有關(guān) 也就是說與變換項(xiàng)有關(guān) s A 對應(yīng)的齊次微分方程的通解由決定 只要該項(xiàng)分母中 1 1 1 21 nn nn nn asasas DCsBs 不含有特解因子 則特解只取決于 7 s s A 若 0 1 1 1 snn nn asasas 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 9 則 s nn nn asasas xYsA 1 1 1 1 即相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為 1 1 1 1 1 s nn nn asasass xY 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得原微分方程的特解為 1 sYLty 例 求解常系數(shù)線性齊次方程的特解 x eyy 2 解 設(shè)令初始條件為零 tyLsY 對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 2 1 2 s sYss 整理展開成部分分式 有 2 2 1 22 ss CBs s A sss sY 此時(shí)則 0 2 2 s ss 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ssssasasass xY ss nn nn 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得原微分方程的特解為 x e s LsYLty 211 2 1 2 1 2 1 若 0 1 11 1 1 mn mnmn s m snn nn bsbssasasas 令 1 1 2 1 1 mn mnmn mnmn m bsbs DsCsB s A sY 同理 相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為 1 1 1 1 1 s mn mnmnm bsbss xY 例 求解常系數(shù)線性齊次方程的特解 x eyyyy 2 485 解 設(shè)令初始條件為零 tyLsY 對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 2 1 4 85 23 s sYsss 則 1 2 2 1 485 2 1 223 sssssss sY 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 10 此時(shí) 0485 2 23 s sss 令 1 2 3 s BsA s A sY 則相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 31 1 1 sssbsbss xY ss mn mnmnm 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得原微分方程的特解為 2 1 2 1 22 3 11x ex s LsYLty 2 2 21 n n x xpxpxpxpxpexf 其中 例 求微分方程的特解 x xeyyy 2 65 解 設(shè)令初始條件為零 tyLsY 對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 2 1 6 5 2 2 s sYss 則 3 2 2 1 65 2 1 222 ssssss sY 此時(shí) 065 2 2 s ss 令 65 2 22 ss DCs s BAs sY 2 1 23 1 1 2 1 2 1 65 1 2 442 4444442 2 2 222 s s ss s ss s sss ssYBAs ss ssssss 相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3222 sss s ss BAs sY 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得原微分方程的特解為 2 1 1 2 1 2 1 2 1 222 32 11 xxexexe ss LsYLty xxx 3 xxfxxf cos sin 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 11 例 求解微分方程的特解 7 xyyy2sin54 解 設(shè)令初始條件為零 tyLsY 對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 有 4 2 54 2 2 s sYss 令 544 22 ss DCs s BAs sY 65 14 2 116 14 2 14 14 14 2 14 2 54 2 4 42 4442 2 2 222 s s s ss s sss ssYBAs s sss 相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為 4 2 4 8 65 1 4 65 14 2 4 2222 ss s s s s BAs sY 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得原微分方程的特解為 11 22 21 8 8cos2sin2 4465 s y tLYsLxx ss 3 63 6 拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣 對于階常系數(shù)線性齊次微分方程滿足以n 1 11 0 nn nn ya yaya y 下兩個(gè)引理 8 引理 1 n 階常系數(shù)線性齊次方程的解 積分曲線 具有平移不變性 也就是 說 若 y y x 為 n 階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解 則對任意的常數(shù) c 也是 n 階常系數(shù)線性齊次方程的解 yy xc 引理 2 若為 n 階常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)解 00 yxxyy 經(jīng)平移后變?yōu)閯t也是 n 階常 00 yxxyy 0 00 yxxyy 0 00 yxxyy 系數(shù)線性齊次方程的解 下面給出利用拉普拉斯變換方法求解三階常系數(shù)線性齊次方程 滿足在任意點(diǎn)的初始條件0 3 ryqypyy 的解 2 00 1 00 00 y yxyxyyxy 設(shè)方程的解為這樣 我們便將初值點(diǎn)平移到 0 0000 yxxyyxxyy 了點(diǎn) 于是可用如下的拉普拉斯變換方法求解該初值問題 0 0 xx 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 12 令 t 0 000 xxyxxyty 其中 0 y 0 0 0 3 0 3 2 0 0 0 yyyyyyy 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 得到 tyLsY 0 3 ryqypyyL 由拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)以及 0 fssFtfL 高階導(dǎo)數(shù)推廣可得 0 0 0 0 1 2 21 nnnnnn fsffsfssFstfL 0 0 0 0 0 0 0 2 23 srYyssYqysysYspysyyssYs 結(jié)合初始條件 有 0 0 1 00 2 2 0 1 00 23 srYyssYqysysYspysyyssYs 整理可得 1 2 0 1 00 2 23 yypsyqpss rqspss sY 對上式兩邊同時(shí)取拉普拉斯逆變換 可得 1 2 0 1 00 2 23 11 yypsyqpss rqspss LsYL 進(jìn)行變量還原 便得到所求初值問題的解為 0 00000 xxytyyxxyyxxyy 例 求解二階常系數(shù)線性齊次方程 該方程滿足初始條件0 yy 8 1 1 44 yy 解 首先轉(zhuǎn)化初值條件 4 1 0 4 1 4 xttyxyxyy其中 設(shè)對方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換 得到 tyLsY 0 yyL 即 0 1 2 sYssYs 整理成部分分式 有 1 1 11 1 222 ss s s s sY 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 cos 22 1 t s s L cos 1 2 1 t s s L 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 13 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 sin 22 1 t s L sin 1 1 2 1 t s L 對方程兩邊同時(shí)求反演 整理可得方程的解為 sincos 1 ttsYLty 變量還原 得到原初值問題的解為 cos2 4 sin 4 cos sincos 1 0 4 1 4 xxxtttyxyxyy 4 4 拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用 4 14 1 齊次與非齊次偏微分方程齊次與非齊次偏微分方程 例 求解齊次偏微分方程 2 3 0 0 2 0 2 2 yu xu yxyx yx u x y 解 對該定解問題關(guān)于 y 取拉普拉斯變換 并利用微分性質(zhì)及初始條件可得 sxUyxuL 0 2 xsUxusxsU y u L 2 0 2 x dx dU s x u x u sL x u y L yx u L y 2 2 2 s x yxL 3 20 0 s UuL x x 這樣 原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問 題 3 2 20 2 2 s U s x x dx dU s x 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 14 方程可轉(zhuǎn)化為 2 2 2 s x x dx dU s 2 2 2 s x x dx dU s 解此微分方程 可得其通解為其中 c 為常數(shù) 3 2 3 3 c s x s x U 為了確定常數(shù) c 將邊界條件代入上式 可得 2 0 3 s U x 3 2 s c 所以 3 3 2 2 3 3 ss x s x sxU 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 1 1 1 s L 2 2 1 x s x L 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 1 1 n n t s n L 2 3 2 3 3 3 1 y x s x L 3 3 2 1 y s L 方程兩邊取反演 從而原定解問題的解為 3 6 2 23 1 xy yx sxULyxu 例 求解非齊次偏微分方程 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 x t t u t u u txgg x u a t u 為常數(shù) 解 對該問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換 并利用微分性質(zhì)及初始條件可得 sxUtxuL 2 0 2 2 2 Us t u ussxUs t u L ot t s g gL 2 2 2 2 2 2 U dx d txuL xx u L 0 00 xx UuL 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 15 這樣 原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問 題 0 lim 0 11 0 2 2 22 2 UU s g a Us adx Ud s x 方程可轉(zhuǎn)化為 s g a Us adx Ud 2 2 22 2 11 11 2 2 22 2 s g a Us adx Ud 解此微分方程 可得其通解為其中 3 21 s g ececsxU x a s x a s 為常數(shù) 21 c c 為了確定常數(shù)將邊界條件代入上式 21 cc0lim 0 0 UU s x 可得 0 3 21 s g cc 所以 1 333 s a x x a s e s g s g e s g sxU 由拉普拉斯變換函數(shù)表可知 1 1 n n t s n L 2 2 3 1 t g s g L 由拉普拉斯變換函數(shù)表并結(jié)合延遲定理 1 1 n n t s n L 0 1 0 ttfsFeL st 可知 2 2 3 1 a x tu a x t g e s g L s a x 方程兩邊取反演 從而原定解問題的解為 22 22 33 11 a x tu a x t g t g e s g s g LsxULtxu s a x 或 22 2 22 2 a x t a x t g t g a x tt g 4 24 2 有界與無界問題有界與無界問題 例 求解有界偏微分方程 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 16 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 t t lx x t u u tuu tlx x u a t u 解 對該定解問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換 記 sxUtxuL 2 0 2 2 2 Us t u usUs t u L t ox 2 2 2 2 dx Ud x u L 0 0 x ox UuL sUuL lx lx 這樣 原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問題 該方程的通解為其中是常數(shù) 21 x a s x a s ececsxU 21 c c 為確定常數(shù) 將邊界條件代入上式 可得即 21 c c 0 0 x U 0 21 cc 21 cc 將邊界條件代入上式 可得 sU lx 21 l a s l a s ececs 因此 21 l a s l a s ee s cc 從而 11 4 3 3 4 3 3 s a l xl a s xl a s s a l xl a s xl a s l a s l a s l a s l a s l a s l a s x a s x a s l a s l a s x a s x a s e ee e ee s eeee eeee s ee ee ssxU 為了求的拉普拉斯逆變換 注意到分母為所以逆變換是周 U x s 1 4 s a l e u x t 期為的關(guān)于 的周期函數(shù) 根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯變換式 其中 a l 4 0 0 0 2 2 2 2 sUU U a s dx Ud lx x 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 17 表明是以為周期的周期函數(shù) 即 s a l e s 4 1 t a l 4 a l s s a l s a l de ee s tL 4 0 44 1 1 1 由拉普拉斯變換函數(shù)表 1 4 1 t e s L s a l 并結(jié)合延遲定理 0 1 0 ttfsFeL st 可知 1 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 同理可知 1 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 3 3 1 3 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 3 3 1 3 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 方程兩邊取反演 從而原定解問題的解為 3 3 3 3 1 a xl tu a xl t a xl tu a xl t a xl tu a xl t a xl tu a xl tsxULtxu 其中為單位階躍函數(shù) au 即 0 1 0 0 a a au 例 求解無界偏微分方程 2 0 0 0 x 0 00 2 2 2 t x u uu thhu x u a t u 常數(shù) 為常數(shù) 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 18 解 對該問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換 記 sxUtxuL 0 sUusxsU t u L x 2 2 2 2 2 2 dx Ud txuL xx u L 0 00 s u UuL xx 這樣 原定界問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問題 0lim 0 0 0 22 2 為自然定解條件 U s u U U a hs dx Ud x x 解此微分方程可得通解為 其中 為常數(shù) 12 s hs h xx aa U x sc ec e 1 c 2 c 為確定常數(shù) 將邊界條件代入上式 可得 1 c 2 c s u U x 0 0 0 12 u cc s 將邊界條件代入上式 可得 0lim U x 1 0c 因此 0 2 u c s 所以 0 s h x a u U x se s 從而 11 0 s h x a u U x tL U x sLe s 由拉普拉斯變換函數(shù)表 可知 11 1L s 1 0 0 u Lu s 由拉普拉斯變換函數(shù)表 2 1 2 12 2 a s a t a Leerfced st 可知 2 1 2 12 2 x s a x a t x Leerfced sa t 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 19 如果令顯然 2 2 2 detf ta x 0 0f 由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可知 0 fssFtfL 1 1 x s a f tLse s 亦即 ta x ta x s a x e tat x ta x dt d etfeL 2 2 2 4 2 1 2 2 2 由位移性質(zhì) t L ef tF s 可知 22 4 4 1 2 2 2 2 ht ta x ht ta x x a hs e tat x ee tat x eL 由卷積定理 21211 sFsFtftfL 可得 101 x a hs eL s u LtxU 令最后可得該定解問題的解為 2 a x ta x a hx t th ta x ht ta x x a hs de u de tta xu e tat x ueL s u Ltxu 2 4 0 0 4 0 4 0 101 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 5 5 綜合比較 歸納總結(jié)綜合比較 歸納總結(jié) 從以上的例題可以看出 用拉普拉斯變換方法求解微分方程有如下的優(yōu)缺 點(diǎn) 1 13 拉普拉斯變換對像函數(shù)要求比傅里葉變換弱 其使用面更寬 但拉普拉 斯變換像其他變換一樣都有其局限性 只有滿足其存在定理時(shí)才可以使用拉普 拉斯變換 而在微分方程的一般解法中 并沒有任何限制 用拉普拉斯變換方法求解微分方程 由于同時(shí)考慮初始條件 求出的結(jié) 果便是需要的特解 而微分方程的一般解法中 先求通解 再考慮初始條件確 定任意常數(shù) 從而求出特解的過程比較復(fù)雜 零初始條件 零邊界條件使得拉普拉斯變換方法求解微分方程更加簡單 忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 20 而在微分方程的一般解法中 不會(huì)因此而有任何簡化 用拉普拉斯變換求解微分方程 對于自變量是零的初始條件 求其特解 是非常方便的 但微分方程的一般解法并沒有簡化 用拉普拉斯變換方法求解微分方程 對方程的系數(shù)可變與否 對區(qū)域有 界與否 對方程和邊界條件齊次與否并無特殊關(guān)系 而在微分方程的一般解法 中 會(huì)遇到很多困難 用拉普拉斯變換方法求解微分方程組 可以在不知道其余未知函數(shù)的情 況下單獨(dú)求出某一個(gè)未知函數(shù) 但在微分方程的一般解法中通常是不可能的 拉普拉斯變換可以使解個(gè)自變量偏微分方程的問題 轉(zhuǎn)化為解個(gè)n1n 自變量的微分方程的問題 逐次使用拉普拉斯變換 自變量會(huì)逐個(gè)減少 有時(shí) 還可將解n個(gè)自變量偏微分方程的問題最終轉(zhuǎn)化為解一個(gè)常微分方程的問題 比 微分方程的一般解法更為簡單 直接 比較系數(shù)法和常數(shù)變易法只需進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和積分運(yùn)算 要求相對較低 相比之下 算子法要先將方程化為算子形式然后利用算子的性質(zhì)進(jìn)行分解 對 初學(xué)者而言要求相對較高 然而算子法卻具備比較系數(shù)法和常數(shù)變易法無法具 備的應(yīng)用條件 有適應(yīng)面廣 計(jì)算量小 準(zhǔn)確度高 簡單易行的特點(diǎn) 結(jié)束語結(jié)束語 通過列舉拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用 可以看出拉普拉斯變換 是一種特別成功的數(shù)學(xué)方法 求解微分方程的步驟比較明確 規(guī)律性比較強(qiáng) 思路清晰且容易掌握 靈活使用拉普拉斯變換 可以巧妙地推出一些復(fù)雜問題 的答案 便于學(xué)生理解進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1 李高翔 拉普拉斯變換在微分方程組求解中的應(yīng)用 J 高等函授學(xué)報(bào) 2009 22 3 22 24 2 張?jiān)?工程數(shù)學(xué)積分變換 第四版 M 北京 高等教育出版社 20