高中數(shù)學(xué)4.1　圓的方程　　教案2人教版必修2

用心 愛心 專心 圓的方程圓的方程 一 知識點一 知識點 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 圓的一般方程 3 圓的參數(shù)方程 4 根據(jù)恰當(dāng)?shù)臈l件寫出圓的方程 5 由圓的方程寫出圓的半徑和圓心 6 由直線方程和圓的方程討論直線與圓的位置關(guān)系 7 由圓的方程討論兩個圓的位置關(guān)系 二 能力點二 能力點 1 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程 參數(shù)方程 2 能根據(jù)恰當(dāng)?shù)臈l件寫出圓的方程 3 會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心 4 會由直線方程和圓的方程討論直線與圓的位置關(guān)系 會求圓的切線方程 5 會由圓的方程討論兩個圓的位置關(guān)系 6 進一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力 7 培養(yǎng)學(xué)生設(shè)參數(shù) 消參數(shù)解決問題的能力 三 學(xué)法指導(dǎo)三 學(xué)法指導(dǎo) 1 求圓的方程可大致分為五種不同情形 給出圓的半徑 隱含給出圓的圓心 給出圓的圓心 隱含給出圓的半徑 給出圓經(jīng)過兩個定點及圓心通過某條已知直線 給定圓上三點 給出圓上一定點 一條圓的切線方程及圓心所在直線方程 2 直線與圓的位置關(guān)系的判斷 方程觀點 由圓的方程與直線的方程消去 y 或 x 后得到一個一元二次方程 用判 別式 與 0 的大小來判別 0 時 直線與圓相交 0 時 直線與圓相切 0 時 直線與圓相離 幾何法 算出圓心到直線的距離 d 然后比較 d 與半徑 R 的關(guān)系 當(dāng) d R 時直線 與圓相交 d R 時直線與圓相切 d R 時直線與圓相離 3 兩圓的位置關(guān)系 用幾何法較好 設(shè)兩圓的圓心的距離為 d 兩圓的半徑分別為 R1 R2 則 d R1 R2時兩圓相離 d R1 R2時兩圓外切 d R1 R2 時兩圓內(nèi)切 R1 R2 d R1 R2時兩圓相交 d R1 R2兩圓內(nèi)含 用心 愛心 專心 4 圓的參數(shù)方程是表示圓心為原點 半徑為 R 的圓 由于圓的參數(shù) 方程是由圓上動點坐標(biāo)形式來表達的 用參數(shù)式求圓上的動點與某定點的距離 求圓上 的動點與某定點所有連線的斜率范圍等問題可化為三角求解 這樣運算簡潔 計算方便 四 重點與難點四 重點與難點 1 重點 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程 參數(shù)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用 2 難點 直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系的討論以及圓的相關(guān)性質(zhì)的研究 五 課時安排五 課時安排 三課時 第一課時第一課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)目標(biāo) 1 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式特點 2 能根據(jù)圓心坐標(biāo) 半徑熟練寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 3 能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出它的圓心和半徑 教學(xué)重點 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)難點 根據(jù)條件建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)方法 學(xué)導(dǎo)式 教學(xué)過程 設(shè)置情境 在初中的幾何課本中 大家對圓的性質(zhì)就比較熟悉 首先來回顧一下圓 的定義 平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合是圓 定點就是圓心 定長就是半徑 按照求解曲線方程的一般步驟來求解圓的方程 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 其中圓心坐標(biāo)為 a b 半徑為 r 推導(dǎo) 如圖 7 32 設(shè) M x y 是圓上任意一點 根據(jù)定義 點 M 到圓心 C 的距離等于 r 所以圓 C 就是集合 由兩點間的距離公式 點 M 適合的條件可 rMCMP 表示為rbyax 22 把 式兩邊平方 得 x a 2 y b 2 r2 當(dāng)圓心在原點 這時圓的方程是 x2 y2 r2 小結(jié) 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知道 只要知道圓的圓心 半徑就可以寫出圓的方程 用心 愛心 專心 課堂練習(xí) 1 P77 練習(xí) 1 寫出下列各圓的方程 圓心在原點 半徑是 3 圓心在點 C 3 4 半徑是 5 圓心在點 C 8 3 經(jīng)過點 P 5 1 2 說出下列圓的圓心 半徑 x 2 2 y 3 2 25 x 2 2 y 1 2 36 x2 y2 4 3 判斷下列各點與圓 x 1 2 y 1 2 4 的位置關(guān)系 A 1 1 B 0 1 C 3 1 小結(jié) 點 P x0 y0 與 x a 2 y b 2 r2的位置關(guān)系是 x0 a 2 y0 b 2 r2等價于點 P 在圓上 x0 a 2 y0 b 2 r2等價于點 P 在圓外 x0 a 2 y0 b 2 r2等價于點 P 在圓內(nèi) 2 例題講解 例 1 求以 C 1 3 為圓心 并且和直線 3x 4y 7 0 相切的圓的方程 回憶初中直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓心到直線的距離 d 圓的半徑為 r 則 d r 等價于直線與圓相離 d r 等價于 直線與圓相切 d r 等價于直線與圓相交 從交點個數(shù)來看 直線與圓沒有交點等價于直線與圓相離 直線與圓只有一個點 等價于直線與圓相切 直線與圓有兩個點等價于直線與圓相交 從方程的觀點來看 由圓的方程與直線的方程消去 y 或 x 后得到一個一元二次方 程 用判別式 與 0 的大小來判別 0 等價于直線與圓相交 0 等價于直線與 圓相切 0 等價于直線與圓相離 解 因為圓 C 和直線 3x 4y 7 0 相切 所以半徑 r 等于圓心 C 到這條直線的距離 根據(jù)點到直線的距離公式 得 5 16 4 3 73413 22 r 因此 所求的圓的方程是 25 256 3 1 22 yx 說明直線和圓相切的性質(zhì)是解決圓的問題重要知識 例 2 已知圓的方程是 x2 y2 r2 求經(jīng)過圓上一點 M x0 y0 的切線的方程 解 如圖 設(shè)切線的斜率為 k 半徑 OM 的斜率為 k1 因 為圓的切線 用心 愛心 專心 垂直于過切點的半徑 于是 1 1 k k 0 0 0 0 1 y x k x y k 經(jīng)過點 M 的切線方程是 0 0 0 0 xx y x yy 整理得 2 0 2 000 yxyyxx 因為點 M x0 y0 在圓上 所以 22 0 2 0 ryx 所求切線方程為 2 00 ryyxx 當(dāng)點 M 在坐標(biāo)軸上時 上述方程同樣適用 猜測 已知圓的方程是 x a 2 y b 2 r2 則經(jīng)過圓上一點 M x0 y0 的切線的方程是 x a x0 a y b y0 b r2 說明 例 2 結(jié)論要求學(xué)生熟記 一題多解 例 3 圖 7 34 是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖 該圓拱跨 度 AB 20m 拱高 OP 4m 在建造時每隔 4m 需用一個支柱支 撐 求支柱 A2P2的長度 精確到 0 01m 解 建立直角坐標(biāo)系如圖 7 34 所示 圓心在 y 軸上 設(shè)圓心的坐標(biāo)是 0 b 圓的半徑是 r 那么圓的方程是 x2 y b 2 r2 因為 P B 都在圓上 所以它們的坐標(biāo) 0 4 10 0 都是這個圓的方程的解 于是得到方程組 解得 b 10 5 r2 14 52 222 222 0 10 4 0 rb rb 所以這個圓的方程是 x2 y 10 5 2 14 52 把點 P 的橫坐標(biāo) x 2 代入圓方程得 m 86 3 5 10 2 5 14 22 y 答 支柱 A2P2的長度約為 m86 3 說明 例 3 一方面讓學(xué)生進一步熟悉求曲線方程的一般步驟 另一方面了解待定系 數(shù)法確定曲線方程的思路 課堂練習(xí) 用心 愛心 專心 課本 P77 練習(xí) 1 2 3 4 思考題 1 圓 x2 y2 1 上的點到直線 3x 4y 25 0 的最小距離是 5 2 直線 3x 4y 17 0 被 x 2 2 y 2 2 25 所截得的弦長是 8 歸納總結(jié) 1 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合 2 數(shù)學(xué)方法 解析法 圖形法 通過本節(jié)學(xué)習(xí) 要求大家熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 了解待定系數(shù)法 進一步熟悉求 曲線方程的一般步驟 并能解決一些簡單的有關(guān)圓的實際問題 要學(xué)會把圓的幾何性質(zhì) 與解析法結(jié)合起來解決問題 作業(yè) 習(xí)題 7 7 1 2 3 4 用心 愛心 專心 第二課時第二課時 圓的一般方程圓的一般方程 教學(xué)目標(biāo) 1 掌握圓的一般方程的形式特點及與標(biāo)準(zhǔn)方程互化 2 掌握二元二次方程表示圓的充要條件 3 進一步熟悉并掌握待定系數(shù)法 教學(xué)重點 圓的一般方程應(yīng)用 教學(xué)難點 待定系數(shù)法 教學(xué)過程 一 設(shè)置情境 1 求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心在直線 y x 上 且過兩點 2 0 0 4 圓心在直線 2x y 0 上 且與直線 x y 1 0 相切于點 2 1 圓心在直線 5x 3y 8 上 且與坐標(biāo)軸相切 x 3 2 y 3 2 10 x 1 2 y 2 2 2 x 4 2 y 4 2 16 2 已知圓 x2 y2 25 求 過點 A 4 3 的切線方程 4x 3y 25 0 過點 B 5 2 的切線方程 21x 20y 145 0 或 x 5 2 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用回顧 x a 2 y b 2 r2 其中圓心坐標(biāo)為 a b 半徑為 r 變形圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 由此可見 任一個圓的方程都可以寫成下面的形式 x2 y2 Dx Ey F 0 反過來 我們研究形如 的方程的曲線是不是圓 將 的左邊配方 整理得 4 4 2 2 22 22 FEDE y D x 當(dāng) D2 E2 4F 0 時 比較方程 和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 可以看出方程 表示以 D 2 E 2 為圓心 半徑為的圓 FED4 2 1 22 當(dāng) D2 E2 4F 0 時 方程 只有實數(shù)解 x D 2 y E 2 所以表示一個點 用心 愛心 專心 D 2 E 2 當(dāng) D2 E2 4F 0 時 方程 沒有實數(shù)解 因而它不表示任何圖形 二 解決問題 1 圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 其中圓心 D 2 E 2 半徑為 FED4 2 1 22 2 二元二次方程表示圓的充要條件 由二元二次方程的一般形式 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 和圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 的系數(shù)比較 1 x2和 y2的系數(shù)相同 且不等于 0 即 A C 0 2 沒有 xy 項 即 B 0 3 D2 E2 4AF 0 練習(xí) 1 下列方程各表示什么圖形 x2 y2 0 x2 y2 2x 4y 6 0 x2 y2 2ax b2 0 2 求下列各圓的圓心與半徑 x2 y2 6y 0 x2 y2 2by 0 x2 y2 4x 6y 12 0 三 反思應(yīng)用 例 1 求過三點 O 0 0 M1 1 1 M2 4 2 的圓的方程 并求這個圓的半徑 和圓心坐標(biāo) 解 設(shè)所求圓的方程為 x2 y2 Dx Ey F 0 用待定系數(shù)法 根據(jù)所給條件來確定 D E F 因為 O M1 M2在圓上 所以它們的坐標(biāo)是方程的解 把它們的坐標(biāo)依次代入上面的 方程 可得 解得 02024 02 0 FED FED F 0 6 8 F E D 于是所求圓方程為 x2 y2 8x 6y 0 化成標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 4 2 y 3 2 52 所以圓半徑 r 5 圓心坐標(biāo)為 4 3 說明 例 4 要求學(xué)生進一步熟悉待定系數(shù)法 并能將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 用心 愛心 專心 并求出相應(yīng)半徑與圓心半徑 例 2 已知一曲線是與兩個定點 O 0 0 A 3 0 距離的比為 1 2 的點的軌跡 求此曲線的方程 并畫出曲線 解 在給定的坐標(biāo)系里 設(shè)點 M x y 是曲線上的任意一點 也就是點 M 屬于集合 2 1 AM OM MP 由兩點間的距離公式 點 M 所適合的條件可以表示為 2 1 3 22 22 yx yx 將 式兩邊平方 得 4 1 3 22 22 yx yx 化簡得 x2 y2 2x 3 0 化為標(biāo)準(zhǔn)形式得 x 1 2 y2 4 所以方程 表示的曲線是以 C 1 0 為圓心 2 為半徑的圓 它的圖形如圖 7 35 所示 例 3 求過原點及點 A 1 1 且在 x 軸上截得的線段長為 3 的圓的方程 解 設(shè)所求圓的方程為 x2 y2 Dx Ey F 0 則 又圓被 x 軸上截得的線段長為 3 即 D 3 D 3 當(dāng) D 3 時 E 5 F 0 當(dāng) D 3 時 E 1 F 0 故所求的圓的方程為 x2 y2 3x 5y 0 或 x2 y2 3x y 0 課堂小結(jié) 圓的一般方程 能化成標(biāo)準(zhǔn)方程 進一步熟悉待定系數(shù)法思路 熟練求解曲線方程 課后作業(yè) 習(xí)題 7 7 5 6 7 8 用心 愛心 專心 第三課時第三課時 圓的方程圓的方程 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 進一步掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 能根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)男问角蟪鰣A的方程 進一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力 培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解能力 運用能力 判斷能力 教學(xué)過程教學(xué)過程 知識掌握知識掌握 A 組 組 1 點 M 在圓 x 5 2 y 3 2 9 上 則點 M 到直線 3x 4y 2 0 的最短距離為 A 9 B 8 C 5 D 2 2 由點 M 1 4 向圓 x 2 2 y 3 2 1 所引的切線的長是 A 3 D 55 B10 C 3 過點 M 2 3 且與圓 x2 y2 4 相切的直線方程是 4 若直線 ax by 1 與圓 x2 y2 1 相交 則點 M a b 與圓的位置關(guān)系是 5 求與 y 軸相切 圓心在直線 x 3y 0 上且截直線 y x 所得弦長為的圓的方程 72 答案 1 D 2 A 3 x 2 和 5x 12y 20 0 4 圓外 5 設(shè)圓的方程為 x a 2 y b 2 r2 圓心在直線 x 3y 0 上 a 3b 圓與 y 軸相切 r a 3b 圓心 a b 到直線 y x 的距離 即 d2 2b2 2 ba d 又圓截直線 y x 所得弦長為72 9b2 2b2 7 由 解得 a 3 b 1 r 3 或 a 3 b 1 r 3 故所求圓的方程是 x 3 2 y 1 2 9 或 x 1 2 y 3 2 9 B 組 組 1 方程 x2 y2 2kx 4y 3k 8 0 表示一個圓 則實數(shù) k 的取值范圍是 A k 8 3 B k 8 3 C 1 k 4 D k4 2 兩圓 x2 y2 4 與 x2 y2 4x 4y 4 0 關(guān)于直線 l 對稱 則 l 的方程是 A x y 0 B x y 2 0 C x y 2 0 D x y 2 0 用心 愛心 專心 3 點 A 3 5 是圓 x2 y2 4x 8y 80 0 的一條弦的中點 則這條弦所在直線方程是 4 直線 l 過點 P 3 0 且被圓 x2 y2 8x 2y 12 0 截得的弦最短 則直線 l 方程是 5 求經(jīng)過兩圓 x2 y2 6x 4 0 與 x2 y2 6y 28 0 的交點且圓心在直線 x y 4 0 的 圓的方程 答案 1 D 2 D 3 x y 2 0 4 x y 3 0 5 設(shè)過兩圓交點的圓為 x2 y2 6x x2 y2 6y 28 0 則其圓心為 代入 x y 4 0 得 1 3 1 3 04 1 3 1 3 解得 7 故所求圓的方程是 x2 y2 x 7y 32 0 能力提高能力提高 例 1 已知方程 x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 求 t 為何值時 方程表示圓 當(dāng)方程表示圓時 t 為何值時 圓的面積最大 并求此時的圓的面積 分析 D2 E2 4F 4 t 3 2 4 1 4t2 2 4 16t4 9 28t2 24t 4 0 解之得 1 7 t 1 由于 S r2 當(dāng) r2最大時 S 最大 又 r2 D2 E2 4F 4 7t2 6t 1 7 t 3 7 2 16 7 當(dāng) t 3 7 時 r2有最大值 16 7 此時 Smax r2 16 7 例 2 如果直線 l 將圓 x2 y2 2x 4y 0 平分 且不通過第四象限 那么 l 的斜率 的取值范圍是 A 0 2 B 0 1 C 0 1 2 D 0 1 2 分析 圓 x2 y2 2x 4y 0 的圓心為 C 1 2 由 l 將圓 x2 y2 2x 4y 0 平分知 l 過點 C 結(jié)合圖形知 0 k 2 課堂練習(xí) 1 圓 x2 y2 9 與圓 x2 y2 6x 8y 21 0 的公切線的條數(shù) 分析 兩個圓的位置關(guān)系是外切 故公切線的條數(shù)為 3 2 已知實數(shù) x y 滿足 x2 y2 2x 4y 20 0 求 x y y x x2 y2的取 值范圍 分析 由 x2 y2 2x 4y 20 0 得 x 1 2 y 2 2 25 知圓心 C 1 2 半 徑 r 5 設(shè) t x y 則所求轉(zhuǎn)化直線 l y x t 與圓 C x 1 2 y 2 2 25 有交點 求 t 的取值范圍 從而有 解之得 即5 2 21 t 253253 t 用心 愛心 專心 253253 yx 設(shè) 則所求轉(zhuǎn)化圓 C x 1 2 y 2 2 25 上任一點 P x y 與原點連線 0 0 x y k 的斜率的取值范圍 從而有 解之得 即5 1 2 2 k k 2 21 2 21 k 2 21 2 21 x y 設(shè) 則所求轉(zhuǎn)化圓 C x 1 2 y 2 2 25 上任一點 22 0 0 yxd P x y 到原點的距離平方的取值范圍 5103051030 55555 ddCO 歸納總結(jié)歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合 等價轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)方法 配方法 待定系數(shù)法 交軌法 向量法 知識點 知識點 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程 直線與圓的位置關(guān)系 作業(yè)作業(yè) 創(chuàng)新作業(yè) 3 用心 愛心 專心 第四課時第四課時 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 教學(xué)目標(biāo) 1 了解參數(shù)方程的概念 2 理解圓的參數(shù)方程中 的意義 熟練掌握圓心在原點與不在原點的圓的參數(shù)方 程 3 會把圓的參數(shù)方程與普通方程進行互化 教學(xué)重點 圓的參數(shù)方程 教學(xué)難點 圓的參數(shù)方程的理解和應(yīng)用 設(shè)置情境 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程及其應(yīng)用的回顧 2 對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進行聯(lián)想變形得圓的參數(shù)方程 1 參數(shù)方程與普通方程 一般地 在取定的坐標(biāo)系中 如果曲線上任意一點的坐標(biāo) x y 都是某個變數(shù) t 的函 數(shù) 即 tgy tfx 并且對于 t 的每一個允許值 由方程組所確定的點 M x y 都在這條曲線上 那么 方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程 其中 t 叫參變數(shù) 簡稱參數(shù) 相對于參數(shù)方程來說 前面學(xué)過的直接給出曲線上點的坐標(biāo)關(guān)系的方程 叫曲線的 普通方程 說明 參數(shù)方程中的參數(shù)可以有物理 幾何意義 也可以沒有明顯意義 2 圓的參數(shù)方程 圓心在原點 半徑為 r 的圓的參數(shù)方程 sin cos ry rx 推導(dǎo) 設(shè)圓 O 的圓心在原點 半徑是 r 圓 O 與 x 軸的正 用心 愛心 專心 半軸的交點是 P0 圖 7 36 設(shè)點在圓 O 上從點 P0開始按逆時針方向運動到達點 P P0OP 若點 P 坐標(biāo)為 x y 根據(jù)三角函數(shù)的定義 可得 即 sin cos r y r x sin cos ry rx 圓心為 a b 半徑為 r 的圓的參數(shù)方程 為參數(shù) sin cos rby rax 推導(dǎo) 圓心為 O1 a b 半徑為 r 的圓可以看成由 圓心為原點 O 半徑為 r 的圓按向量 a b 平移得v 到 即對于圓 O 上任意一點 P1 x1 y1 在圓 O1上必有 一點 P x y 使vOOPP 11 因為 即 x y x1 y1 a b PPOPOP 11 所以 由于點 P1 x1 y1 在以原點為圓心 r 為半徑的圓上 所以存在 byy axx 1 1 參數(shù) 使 所以 sin cos 1 1 ry rx sin cos rby rax 3 圓的參數(shù)方程化普通方程 方程組 sin cos rby rax 由 得 x a rcos 由 得 y b rsin 2 2得 x a 2 y b 2 r2 即圓的普通方程 課堂練習(xí) 用心 愛心 專心 1 已知圓 O 的參數(shù)方程是 0 2 sin5 cos5 y x 如果圓上點 P 所對應(yīng)的參數(shù) 5 3 則點 P 的坐標(biāo)是 如果點 則點 Q 所對應(yīng)的參數(shù) 2 35 2 5 Q 2 把圓的參數(shù)方程化為普通方程 為參數(shù) 為參數(shù) sin42 cos41 1 y x sin2 cos1 2 y x 變 t 為參數(shù) 且 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 1 1 2 1 2 t t b y t t a x 4 例題講解 例