校本課程-趣味數(shù)學(xué)

校本課程 校本課程 一二一團第一中學(xué)一二一團第一中學(xué) 20102010 年年 9 9 月月 第一版第一版 目目 錄錄 總體規(guī)劃總體規(guī)劃 課程實施課程實施 第一節(jié)第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語有趣的數(shù)學(xué)謎語 第二節(jié)第二節(jié) 雞兔同籠問題雞兔同籠問題 第三節(jié)第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用九宮圖的應(yīng)用 第四節(jié)第四節(jié) 大衍求一術(shù)大衍求一術(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 讓梨游戲讓梨游戲 第六節(jié)第六節(jié) 幻方與魔陣幻方與魔陣 第七節(jié)第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題 第八節(jié)第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問題欺騙眼睛的幾何問題 第九節(jié)第九節(jié) 抽屜原理的簡單應(yīng)用抽屜原理的簡單應(yīng)用 第十節(jié)第十節(jié) 帕斯卡三角形與道路問題帕斯卡三角形與道路問題 第十一節(jié)第十一節(jié) 數(shù)數(shù) 獨獨 第一部分第一部分 總體規(guī)劃總體規(guī)劃 為了切實提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 落實 普通高中數(shù) 學(xué)新課程標準 發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生動手動腦 自主創(chuàng)新 合作探究 提高邏輯思維 能上的重要作用 以適應(yīng)未來學(xué)習(xí) 生活和工作的需要 我們根據(jù)新課標中的總體設(shè)計 面 向高二年級的同學(xué)開設(shè)校本課程 趣味數(shù)學(xué) 趣味數(shù)學(xué) 選取不同題材的數(shù)學(xué)故事與實際問題 使學(xué)生在自主閱讀的同時能夠提高 興趣 積極思考 努力探索 找到解決問題的方案 同時提高學(xué)生的思維推理能力 在不知 不覺中感受數(shù)學(xué) 融入數(shù)學(xué) 一 課程性質(zhì) 數(shù)學(xué)是最重要的學(xué)習(xí)工具 是各門功課的橋梁與基礎(chǔ) 趣味性與邏輯推理的統(tǒng)一是本課 程的基本特點 趣味數(shù)學(xué) 一課 旨在通過對趣味數(shù)學(xué)故事的研讀與學(xué)習(xí) 培養(yǎng)與提高學(xué) 生的基本推理能力 培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和思維發(fā)散的意識 在數(shù)學(xué)的魅力中提高個人的數(shù) 學(xué)素養(yǎng) 從而提高人生素養(yǎng) 課本選取的各類數(shù)學(xué)故事 數(shù)學(xué)背景都是非常經(jīng)典的且具有比較高的欣賞學(xué)習(xí)價值 能 夠提高學(xué)生分析問題和邏輯推理的能力 用數(shù)學(xué)氛圍去感染學(xué)生 用數(shù)學(xué)情趣去陶冶學(xué)生 用數(shù)學(xué)益智去激勵學(xué)生 進而把學(xué)生一步一步領(lǐng)進數(shù)學(xué)的殿堂 二 課程理念 1 本著以生為本 主動發(fā)展的原則選擇符合學(xué)生需要的知識內(nèi)容編寫課本 2 本著以實際生活為本 以興趣 求知為基點 以能力提高為目標開展教學(xué) 3 本著學(xué)以致用 理論聯(lián)系實際 知識指導(dǎo)生活的原則推動每一位學(xué)生主動發(fā)展 自 我提高 三 課程目標 1 通過對課本的研讀 引導(dǎo)學(xué)生體會身邊的數(shù)學(xué) 感受數(shù)學(xué)無處不在的實用性和數(shù)學(xué) 在邏輯推理中重要作用 切實轉(zhuǎn)變學(xué)生對數(shù)學(xué)原有的枯燥無味的看法 真正開始喜歡數(shù)學(xué) 2 學(xué)生在喜歡數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上 能夠發(fā)揮主觀能動性 積極主動地思考問題 探索問題 合作探究問題 以尋找解決問題的方法 并能開拓思維 提高思維創(chuàng)新能力 3 提升學(xué)生的思辨能力和邏輯推理能力 能夠在平時的學(xué)習(xí)中加以充分應(yīng)用 進行主 動地 創(chuàng)造性地學(xué)習(xí) 第第二二部分部分 課程實施課程實施 實施對象 高二學(xué)生 實施時間 校本選修課 2 實施步驟 分四步 1 自行研讀 思考 2 合作探究 推理 3 老師指導(dǎo) 解答 4 創(chuàng)新運用 提高 實施計劃 擬在高二實施 共需 18 課時 高二年級每周 2 課時 課時安排 第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語 2 課時 第二節(jié) 雞兔同籠問題 1 課時 第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用 1 課時 第四節(jié) 大衍求一術(shù) 2 課時 第五節(jié) 讓梨游戲 1 課時 第六節(jié) 幻方與魔陣 2 課時 第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題 1 課時 第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問題 2 課時 第九節(jié) 抽屜原理的簡單應(yīng)用 2 課時 第十節(jié) 帕斯卡三角形與道路問題 1 課時 第十一節(jié) 數(shù) 獨 2 課時 體會與反思 1 課時 評價與考核 本課程采用考核與考試相結(jié)合的評價方式 作業(yè) 結(jié)合課本知識及相關(guān)內(nèi)容 以作業(yè)形式 考查學(xué)生的解決問題的能力 以了解學(xué) 生對該校本課程的掌握 學(xué)習(xí)反思與體會 由學(xué)生撰寫學(xué)習(xí)反思與體會 以評價學(xué)生的思辨能力和表達能力 了 解學(xué)生對該校本課程的接受程度 對下期教學(xué)進行必要的改進 第一節(jié)第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語有趣的數(shù)學(xué)謎語 猜謎是一種非常有趣有益的智力活動 猜謎語也是鍛煉思維能力的一種好方法 聽了謎 語以后 就會動腦筋想 這說的是什么東西呢 思源于疑 疑 是思維的開始 是創(chuàng)造 的基礎(chǔ) 大家覺得是不是呢 今天我們就來猜謎語 先看幾個簡單例子 1 一加一不是二 打一字 一 字 加號 再來一個 一 字 組合在一起 得到的字不是 二 而是 王 謎底是王 2 一減一不是零 打一字 一 字 減號 再來一個 一 字 組合在一起 得到的字不是 零 而是 三 謎底是三 3 八分之七 打一成語 八分之七 用數(shù)學(xué)符號寫出來 把數(shù)字 7 寫在分數(shù)線上面 8 寫在分數(shù)線下面 謎底 是成語 七上八下 在上面這些謎語里 用一些很簡單的數(shù)學(xué)知識 對謎語的文字作出新的理解 可以幫助 猜出答案 另外一類謎語 謎底是數(shù)學(xué)名詞 還是來看幾個例子 4 七六五四三二一 打一數(shù)學(xué)名詞 平常報數(shù)目 是從小到大順著數(shù) 就像流行歌曲里唱的 一二三四五六七 我的朋友 在哪里 現(xiàn)在他說 七六五四三二一 是從大到小 倒過來數(shù)了 所以謎底是 倒數(shù) 5 討價還價 打一數(shù)學(xué)名詞 買東西討價還價 要經(jīng)過反復(fù)協(xié)商 才能達成雙方都同意的錢數(shù) 這種協(xié)商錢數(shù)的過程 可以戲稱為 商數(shù) 謎底是商數(shù) 6 你盼著我 我盼著你 打一數(shù)學(xué)名詞 你盼著我 是你在等候我 我盼著你 是我在等候你 兩人互相等候 可謂 相等 謎底是相等 7 成績是多少 打二數(shù)學(xué)名詞 學(xué)習(xí)成績是用得分的數(shù)目計算的 問 多少 可以換一個說法 改問 幾何 在中 國古代數(shù)學(xué)書里 問一種物品有多少個 總是問 物有幾何 直到現(xiàn)在 有些地區(qū)的方言 里 買東西問價錢 還是說 幾何 所以 問 成績多少 等于是問 分數(shù) 幾何 謎底是兩個數(shù)學(xué)名詞 分數(shù) 幾何 今天我們見到的謎語都與數(shù)學(xué)有關(guān) 被我們稱為數(shù)學(xué)謎語 根據(jù)謎面和謎底的不同 數(shù) 學(xué)謎語有不同的分類 同學(xué)們不妨一猜 可在緊張學(xué)習(xí)之余博得一樂 還可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 的興趣 請同學(xué)們在說謎底的時候 將你的猜謎思路和過程有條理地向大家展示 一 以數(shù)學(xué)用語為謎底的謎語一 以數(shù)學(xué)用語為謎底的謎語 1 五角一趟 2 兩羊打架 3 完全合算 4 勤點鈔票 5 兩邊清點 6 有情人終成眷屬 7 合法開支 8 打得鴛鴦各一方 9 垂釣 10 馬術(shù) 11 戽 12 歲歲重陽今又重陽 13 追本溯源 14 對癥下藥 15 多十分 16 集體釣魚 17 協(xié)議離婚 18 打成和局 19 團體賽 20 刮胡子 21 摩拳擦掌 22 誰押林沖去滄州 打兩個數(shù)學(xué)用語 二 以數(shù)字為謎面的謎語二 以數(shù)字為謎面的謎語 23 一 打一成語 24 十百千 打一成語 25 一二三四五六七九十 打一字 26 壹貳叁肆伍陸柒捌玖 打一古書名 27 三八二十四 打一體育用語 28 7 9 打一古軍事書名 卷簾格 三 以方程為謎面的謎語三 以方程為謎面的謎語 29 x 只 吾 打一工業(yè)用語 30 x 旭 3 打一化學(xué)用語 四 以數(shù)學(xué)家為謎底的謎語四 以數(shù)學(xué)家為謎底的謎語 31 東坡游春 32 回眸一笑百媚生 五 以數(shù)學(xué)科目為謎面的謎語五 以數(shù)學(xué)科目為謎面的謎語 33 解析幾何 打一口頭用語 六 以運算符號為謎面的謎語六 以運算符號為謎面的謎語 34 打一成語 謎底 謎底 1 一元二次 推算法 2 對頂角 3 絕對值 4 常數(shù) 通假法 5 分數(shù) 6 同心圓 7 有 理數(shù) 8 公分母 9 等于 通假法 10 乘法 11 內(nèi)角 分解法 12 循環(huán)節(jié) 13 求根 14 開方 15 余角 換算 通假 16 公垂線 17 約分 18 平角 19 公共角 20 平角 詞性通假 21 等角 22 兩個解 差 問答法 答曰 兩個解差 分開即是 23 大有人在 24 萬無 一失 別解為沒有 一 和 萬 25 口 謎面意為 只 少 八 26 拾遺記 意為忘記寫 拾 27 女子雙打 雙打即兩打 二十四 28 三十六計 7 9 計六十 三 反序讀之即得 29 成品 八口減五口為三口 三口即成 品 字 30 結(jié)晶 九日除 以 3 得 3 日 結(jié)合為 晶 31 蘇步青 32 楊樂 33 十八斤 謎面別解為把 析 分解 開是多少 34 支離破碎 把支分解開即為 你能總結(jié)出猜數(shù)學(xué)謎語的基本方法嗎 猜一猜 練一練猜一猜 練一練 第一組 第一組 1 群策群力 2 裁判職責(zé) 3 批準法規(guī) 4 彈簧彈性 5 人人富裕 6 啦叭套子 7 主動爭取 8 聽候下令 9 財政赤字 10 偽造賬目 11 追問到底 12 準備參賽 13 交換賽場 14 熱身賽 15 團體賽 16 互相呼喊 17 中秋明月 18 平原鐵道 19 貨真價實 20 提弦調(diào)音 謎底 謎底 1 公理 2 定理 3 定律 4 有限 5 無窮 6 大于號 7 不等號 8 等號 9 負數(shù) 10 無理數(shù) 11 求根 12 等比 13 更比 14 相似 15 合比 16 對稱 17 圓 18 直徑 19 絕對值 20 正弦 第二組 第二組 1 斷紗接頭 打一數(shù)學(xué)名詞 2 抬頭望月 正好初八 打一三角函數(shù)名 3 一筆債務(wù) 打一數(shù)學(xué)名詞 4 兩牛打架 打一數(shù)學(xué)名詞 5 大甩賣 打一數(shù)學(xué)名同 6 再見吧媽媽 打一數(shù)學(xué)名詞 7 醫(yī)生提筆 打一數(shù)學(xué)名詞 8 99 打一成語 9 110 打一成語 10 103 與 1002 打一成語 11 大同小異 打一數(shù)學(xué)名詞 12 并駕齊驅(qū) 打一數(shù)學(xué)名詞 13 周而復(fù)始 打一數(shù)學(xué)名詞 14 考試不作弊 打一數(shù)學(xué)名詞 15 夏周之間 打一數(shù)學(xué)名詞 16 捷道 打一數(shù)學(xué)名詞 17 算盤珠 打一數(shù)學(xué)名詞 18 聯(lián)合國憲章 打一數(shù)學(xué)名詞 19 歲歲重陽 今又重陽 打一數(shù)學(xué)名詞 謎底 謎底 1 延長線 2 正弦 3 負數(shù) 4 對頂角 5 絕對值 6 分子分母 7 開方 8 百無一是 9 一成不變 10 千變?nèi)f化 11 近似 12 平行 13 循環(huán) 14 真分數(shù) 15 商 16 直徑 17 代數(shù) 18 最大公約數(shù) 19 循環(huán)節(jié) 數(shù)學(xué)謎語集錦數(shù)學(xué)謎語集錦 一 打數(shù)學(xué)名詞方面的 一 打數(shù)學(xué)名詞方面的 1 五四三二一 2 缺了會計 3 郵寄賬本 4 信件統(tǒng)計 5 替人查賬 6 查賬 7 開獎 8 算術(shù)老師的教鞭 9 一筆債務(wù) 10 商店盤貨 11 用 12 同室操戈 13 團體賽 14 兵對兵 將對將 15 左右夾攻 16 重判 17 輕判 18 車站告示 19 背著喇叭 20 待命沖鋒 21 朱元璋登基 22 婚姻法 23 演員招考制度 24 五角 25 員 26 刀口 27 海峽兩岸盼統(tǒng)一 28 有情人終成眷屬 29 馬路沒彎兒 30 兩個寨子隔條崗 南寨沒有北寨強 南寨好漢有五條 不及北寨人一雙 31 健全法制 32 兒童儲蓄 33 聚散無常 34 千絲萬縷 35 身高 36 會談 37 欲言又止 38 保持距離 同時起 飛 39 五角錢一趟 40 浮萍 41 互盼 42 合家歡 43 恰如其分 44 一望無際 45 一模一樣 46 哨聲響了 47 減法沒算對 48 垂釣 49 走致富之路 50 北 51 抬頭望月 正好初八 52 二胡調(diào)音 53 時刻盼望上戰(zhàn)場 打數(shù)學(xué)二名詞 54 丞 打數(shù)學(xué)三名同 55 一個郵遞員掀起了信箱的蓋子 在清點有多少信件 你能根據(jù)這一情況猜出三個數(shù) 學(xué)名詞嗎 二 打數(shù)學(xué)家名字方面的 二 打數(shù)學(xué)家名字方面的 1 虎丘游春 2 博覽群書 三 打其它方面的 三 打其它方面的 1 八十五 打一影片名 2 三八二十四 打一體育名詞 3 四加四 打一字 4 打一政治名詞 5 圓規(guī)畫雞蛋 打一城市名稱 6 力 打一珠算口訣 7 千古興亡多少事 打三學(xué)科名稱 8 向陽村和青松村比賽籃球 向陽隊是東方鄉(xiāng)的冠軍 而青松隊是長豐鄉(xiāng)的冠軍 這場 兩個冠軍隊的比賽打得非常激烈 精彩 每球必爭 比分不相上下 直到最后一分鐘 向陽隊罰進一球才分出勝負 當(dāng)有人問起勝負情況和比分時 向陽隊的球員說 這次比 賽是 白 字比 雜 字 我們只贏了一分 你知道兩個隊各得幾分 謎底 謎底 一 1 倒數(shù) 2 無理數(shù) 3 函數(shù) 4 函數(shù) 5 代數(shù) 6 對數(shù) 7 對數(shù) 8 指數(shù) 9 負數(shù) 10 復(fù)數(shù) 11 半角 12 內(nèi)角 13 公共角 14 同位角 15 兩面角 16 加法 謎面意即 加罰 罰 與 法 諧音 17 減法 18 乘法 乘車方法 取乘法 19 負號 20 等號 21 消元 22 結(jié)合律 23 優(yōu)選法 24 半圓 25 圓心 26 切點 27 同心圓 28 同心圓 29 直徑 30 算盤 31 圓規(guī) 32 微積分 33 不定積分 34 繁分式 35 立體幾何 36 集合論 37 控制論 38 平行 39 一元二次 40 不定根 41 相等 42 共圓 43 精確值 44 無窮大 45 全等 46 集合 47 誤差 48 等于 于 與 魚 諧 音 49 趨向無窮 50 反比 反扣法 北 反為 比 51 正弦 假借法 因為初 八月亮是上弦 上 含 正 故為 正弦 52 正弦 53 等角 正切 54 大于 小于 分子 用增損法猜測 55 開立方 函數(shù) 幾何 二 1 蘇步青 2 張廣厚 三 1 月到中秋 2 女子雙打 三八 扣 女子 二十四 扣 雙打 因 為十二為一打 3 積 四加四 和是八 再由 和八 拼成 積 字 4 分裂主義 5 太原 原 與 圓 諧音 6 二一添作五 7 歷史 代數(shù) 幾何 9 九十九比九十八 白 是 百 減 一 雜 是 九 十 八 的組合 注注 1 不同的謎面有時有相同的謎底 2 同一個謎面它的謎底有時是由幾部分組成的 且這幾部分都是并列的 必須都 猜出來才算全對 3 第五十五個謎語屬啞謎 最后一個謎語屬故事謎 猜數(shù)學(xué)謎語可鍛煉思維能力 提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 在猜謎的過程中 有時需要一步步 地深入 前面猜測的結(jié)果可能成為下一步的前提 因此 算法思想始終滲透在數(shù)學(xué)謎語中 條理清晰 理由充分 推理正確 才能一步步地貼近謎面 同時 請學(xué)生表述答案的過程是 提高表達能力的過程 第二節(jié)第二節(jié) 雞兔同籠問題雞兔同籠問題 雞兔同籠 這個問題 是我國古代著名趣題之一 大約在 1500 年前 孫子算經(jīng) 中就 記載了這個有趣的問題 書中是這樣敘述的 今有雉兔同籠 上有三十五頭 下有九十四 足 問雉兔各幾何 這四句話的意思是 有若干只雞兔同在一個籠子里 從上面數(shù) 有 35 個頭 從下面數(shù) 有 94 只腳 求籠中各有幾只雞和兔 第一類 列表舉例法 方法 1 根據(jù)雞和兔共 20 只的條件 假設(shè)雞只有 1 只 那么兔有 19 只 腿共有 78 條 在這樣的逐一舉例中 直至尋求到所求的答案 方法 2 先作一些分析 比較后再試 方法 3 先假設(shè)雞和兔各占一半 再列表 60 54 說明兔子多了 應(yīng)減少兔子的只數(shù) 上面三種方法中 第一張表格是常規(guī)的逐一列舉法 即根據(jù)雞與兔共 20 只的條件 假 設(shè)雞只有 1 只 那么兔就有 19 只 腿共有 78 條 假設(shè)雞有 2 只 那么兔就有 18 只 腿共 有 76 條 再這樣的逐一舉例中 直至找到所求的答案 第二類 作圖分析法 方法 1 先畫 20 個圓圈表示 20 個頭 再為每個動物畫兩條腿 20 只動物只用完 40 條腿 還多出了 14 條腿 把剩下的 14 條腿用完 要給其中的 7 只動物加 2 條腿 這 7 只 就是兔子 另外的 13 只就是雞 方法 2 先畫 20 個頭 接著假設(shè)全部是兔 共畫 80 條腿 多出了 26 條腿 要給其中的 13 只動物去掉 2 條腿 這 13 只就是雞 另外的 7 只就是兔了 第三類 方程解答法 解法 1 設(shè)其中有 X 只兔 有 Y 只雞 列式為 X Y 20 4X 2Y 54 最后算出 X 7 Y 13 解法 2 設(shè)其中有 X 只兔 有 20 X 只雞 列式為 2X 4x 20 X 54 最 后算出 X 7 得出兔的只數(shù)是 7 只 那么 20 X 13 就是雞的只數(shù) 第四類 假設(shè)推理法 方法 1 假設(shè)這 20 只全部是兔子 那么就應(yīng)該有 80 條腿 而題目只告訴我們 有 54 條 腿 我們算的 80 與實際相比多算了 26 條腿 這是為什么呢 因為一只雞是兩條 腿 而我們把它當(dāng)成四條腿算了 如果用一只雞來換一只兔 就要減少 2 條腿 也就是我們把多少只雞當(dāng)成了兔子 顯然 26 2 13 只 所以雞有 13 只 兔子 有 7 只 可以列式為 20X4 54 4 2 13 只 20 13 7 只 方法 2 假設(shè)這 20 只全部是雞 那么就應(yīng)該有 40 條腿 比實際少了 14 條腿 是因為每只 兔子少算了 2 條腿 這樣共有兔子是 7 只 雞則是 13 只 列式如下 54 20 x4 4 2 13 只 20 13 7 只 解決雞兔同籠問題通常使用假設(shè)法 可以假設(shè)所有的動物都是兔子 并求出在假設(shè)情況 下的總腿數(shù) 再把實際的腿數(shù)和假設(shè)情況下的腿數(shù)相比較 看看多出了多少 每多 2 只腿說 明有一只雞 將多出的腿數(shù)除以 2 就算出共有多少只雞 也可以假設(shè)全部是兔子來解 方法 3 把一只雞和一只兔看做一個整體 一個整體中就有 4 2 6 條腿 54 條腿應(yīng)該是 幾個這樣的整體呢 54 6 9 個 在 9 個這樣的整體里兔子的只數(shù)應(yīng)該不是 9 只 因為 9 只兔和 11 只雞的腿的條數(shù)超過了總條數(shù) 54 那么就把兔看成 8 只 還是偏 大 最后把兔的只數(shù)看成 7 只 雞是 13 只 腿的總條數(shù)就正好是 54 了 列式為 4 2 6 只 54 6 9 個 9 1 8 只 9 2 7 只 20 7 13 只 7X4 28 條 13X2 26 條 28 26 54 條 第五類 金雞獨立 法 此方法是 每只雞都用一只腳站著 而每只兔子都用后腳站起來 顯然 在這種情況下 總腳數(shù)出現(xiàn)了一半 是 27 此時 雞的腳數(shù)與雞的頭數(shù)是相等 的 兔子的腳數(shù)是兔子的頭數(shù)的 2 倍 所以 從 27 中減去總的頭數(shù) 20 得 7 就是兔子的頭 數(shù) 當(dāng)然 20 7 13 雞就是 13 只了 雞兔同籠問題早在我國古代數(shù)學(xué)名著 孫子算經(jīng) 中就出現(xiàn)過 社會發(fā)展到今天 雞和 兔同裝一籠的此類事件應(yīng)該不多見了 但學(xué)生可以借助 雞兔同籠 這個載體經(jīng)歷嘗試 創(chuàng) 新的過程 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的運用與解決實際問題的聯(lián)系 體會到數(shù)學(xué)的價值 作業(yè) 設(shè)計一個算法 輸入雞兔的頭和腳數(shù) 輸出雞和兔的數(shù)量 第三節(jié)第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用九宮圖的應(yīng)用 一 數(shù)學(xué)故事 任意寫一個三位數(shù) 做幾次簡單運算 可以發(fā)現(xiàn)一個小小規(guī)律 任意寫一個三位數(shù) 例如 135 把它的數(shù)字 倒過來寫 成為 531 用其中較大的減去較小的 得到 531 135 396 換幾個另外的三位數(shù) 也做同樣的計算 分別得到 876 678 198 995 599 396 963 369 594 以上 4 個式子里得到的差 有一個明顯的共同點 差的中間一位數(shù)字都是 9 再仔細看 看 還發(fā)現(xiàn)一個共同點 差的首 尾兩位數(shù)字的和等于 9 這樣 通過觀察和歸納 就發(fā)現(xiàn) 了三位數(shù)顛倒相減的規(guī)律 還可以再隨意寫很多三位數(shù)顛倒相減的例子 來驗證上面得到的 規(guī)律 結(jié)果大部分都完全符合 只有兩種例外情形 第一種例外 如 594 495 99 差是兩位數(shù) 99 不是三位數(shù) 第二種例外 如 323 323 0 這時的差是 0 由此可見 剛才初步歸納出來的規(guī)律 需要作兩點小補充 第一 如果差的末位數(shù)字是 9 這個差一定是 99 第二 如果差的末位數(shù)字是 0 這個差一定是 0 在其他情形下 差都是三位數(shù) 這樣一來 規(guī)律就完整了 你可以讓你的朋友轉(zhuǎn)過身去 在紙上任意寫三位數(shù) 然后顛 倒相減 只要把差的末位數(shù)字告訴你 就能猜出差是多少 無論哪種情形 只要掌握規(guī)律 總能應(yīng)答如流 一猜就準 二 九宮圖的應(yīng)用二 九宮圖的應(yīng)用 歷史歷史 古老而悠久的中華文化的寶殿中 有兩顆璀璨奪目的明珠 河圖洛書 至今吸引著眾多 學(xué)者的研究熱情 人們?yōu)楹訄D洛書的神話般的傳說 高深的奧義 豐富的內(nèi)容 簡潔的形式 萬分驚訝 對河圖洛書與中國的思想文化 社會科學(xué) 自然科學(xué)的密切聯(lián)系更是迷惑不解 種種論述表明 河圖洛書是中華文化的總源頭 對中國及世界文化的發(fā)展 都有過深刻的影 響 然而 令我們每個人吃驚和迷惑不解的是 河圖洛書只是兩個簡單的數(shù)字圖 龍馬載河圖 神龜背洛書龍馬載河圖 神龜背洛書 河圖洛書是我們祖先創(chuàng)造出來的 翻遍祖國的各種古典著作 我們根本找不到這位創(chuàng)始 人 河圖洛書的產(chǎn)生 至少要追溯到四千五百多年以前 那時 人類尚處于無文字時代 人 類的認識水平還十分低 很難想象那時就有人能夠制造出如 此高深莫測的圖書 在我國各種古籍中 對河圖洛書的起源 僅有兩個龍馬載河圖 神龜背洛書的傳說 一 龍馬載河圖 一 龍馬載河圖 相傳遠古時期的孟津河邊 一天河水忽然大漲 波浪滔 天 水中有一巨獸 似龍非龍 似馬非馬 浪里飛騰 當(dāng)時的伏羲黃帝與眾臣聽到有人報告 立即去河邊觀看 只見河中洪濤巨浪 波浪中一巨獸踏水如登平地 大體象馬卻身有魚鱗 高八九尺 有兩翼 形體象駱駝 身上負有由花點構(gòu)成的圖案 黃帝命人走近河邊 將圖案 記錄下來 剛剛記下 怪獸即沒而不見 后伏羲皇帝認真研究了這副圖發(fā)現(xiàn)它正是由十種花 點組成 這十種花點代表 1 10 這 10 個數(shù) 兩種花點構(gòu)成一組 布局在東西南北中五個位置 上 每組花點所表示的數(shù) 其差均是 5 這種和諧統(tǒng)一 四方對稱的特征 黃帝越研究越感 到奇妙無比 后來他就依此畫八卦 建甲歷 定時辰 治理國家 由于此幅圖是在孟津河中 發(fā)現(xiàn)的 故稱此圖為河圖 二 神龜背洛書 二 神龜背洛書 公元前 23 世紀 大禹治水的時候 在黃河支流洛水中 有一天突然浮規(guī)出一個大烏龜 當(dāng)時 大禹與治水士兵正在河邊現(xiàn)察洛河水情 商議治理黃河大計 遇到烏龜在河里上下翻 騰就十分奇怪 只見此龜行走水面 游來游去 其身形龐大 甲背平圓 近處仔細觀看 發(fā) 現(xiàn)甲上載有 9 種花點的圖案 大禹令士兵們將圖案中的花點布局記了下來 帶回去作了深入 的研究 他驚奇地發(fā)現(xiàn) 9 種花點數(shù)正好是 1 9 這 9 個數(shù) 各數(shù)的位置排列也相當(dāng)奇巧 縱 橫六線及兩條對角線上三數(shù)之和都為 15 既均衡對稱 又深奧有趣 在奇偶數(shù)的交替變化 之中似有一種旋轉(zhuǎn)運動之妙 大禹受到啟發(fā) 他參照九數(shù)而劃分天下雨九別 并且把一般政 事也區(qū)分為九奧 據(jù) 史記 夏本紀 寫道 夏禹治水時 左準通 右規(guī)矩 載四時 以 開九州 通九道 陂九澤 大禹治水以九宮為據(jù) 應(yīng)用到測量 氣象 地理與交通運輸 之中 從而治理黃河 大獲成功 受到黃河兩岸人們的擁戴 由于神龜所背圖是在黃河支流 洛水中發(fā)現(xiàn) 且圖中內(nèi)容如書一樣深奧 故人們稱此為洛書 應(yīng)用 如何分班 應(yīng)用 如何分班 為師各班成績均勻 我們給先學(xué)生排序 然后按照一定的規(guī)律將學(xué)生分組 如分 3 個班 將學(xué)生排序后 按照圖 1 的行 或列 從上到下一次編號為一組 向下重復(fù) 所有編號為 1 的一個班 編號為 2 的一個班 編號為 3 的一個班 如分 4 個班則按圖 2 處理 5 個班按圖 3 處理 6 個班按圖 4 處理 132 321 213 圖 1 圖 2 13452 24513 52341 35124 41235 圖 3 圖 4 作業(yè) 按照示例 4 圖 請與同學(xué)合作 編制一張分 7 個班的分班表 1 432 3214 2341 4123 316524 625341 541236 163452 452163 234615 第四節(jié)第四節(jié) 大衍求一術(shù)大衍求一術(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 讓梨游戲讓梨游戲 第六節(jié)第六節(jié) 幻方與魔陣幻方與魔陣 第七節(jié)第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題數(shù)學(xué)中的簡單邏輯推理問題 一 一 被墨水蓋住被墨水蓋住 的算式的算式 如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領(lǐng) 不但應(yīng)具有非凡的推 理能力 還要懂得大量的其他知識 然而 只要你有心 也可以破譯一些簡單 的密碼 現(xiàn)在我們來看一個例子 據(jù)傳說 英國物理學(xué)家牛頓 1642 1727 小的時候 學(xué)習(xí)成績幾乎在學(xué) 校是倒數(shù)第一 后來他下決心改變這一令人沮喪的狀況 有一次 他把自己的 作業(yè)做得干凈整齊 沒有任何錯誤 但正當(dāng)他把筆和本子收起來時 糟糕的事 情發(fā)生了 墨水灑了 正好在他的一道算術(shù)題上留下 了一塊墨跡 下圖顯示了這個令人不快的結(jié)果 式中只剩下了 3 個數(shù)字較為清晰 小牛頓盡了一切努力 最后終于記起來 整道題湊巧用了 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 全部 10 個數(shù)字 一樣一個 如果這是一種從 0 到 9 這 10 個數(shù)字編制的密碼 你能破譯出被墨水蓋住的都 是哪些數(shù)字嗎 由于被墨水蓋住的是 10 個數(shù)字 所以原式應(yīng)為 我們可以把這個算式寫成 28A CB4 2 8 4 GFED 其中每個英文字母分別表示數(shù)字 0 1 3 5 6 7 9 中的某一個 我們先考慮千位上的 G 兩個三位數(shù)相加 和是四位數(shù) 由于兩個百位上 的數(shù)相加 和最多向千位進 1 所以 G 只能是 1 這時 算式就成了 28A CB4 1FED 再看百位上的 C 和 F 如果要保證向千位進 1 C 不能小于 7 即 C 只可 能是 7 或 9 中的一個 設(shè) C 9 那么如果十位不進位到百位 F 1 如果十位 進位到百位 F 2 這都和已知的數(shù)字重復(fù) 所以 C 9 所以 C 7 F 0 即 28A 7B4 10ED 這時 B 可能是 3 5 6 7 中的某一個 如果 B 3 那么應(yīng)有 E 1 或 2 但這不可能 如果 B 5 那么 E 3 但 6 4 9 9 4 6 如果 B 6 那么 E 5 這時令 A 9 則有 D 3 整理出來就是 A 9 B 6 C 7 D 3 E 5 F 0 G 1 于是 小牛頓的算式應(yīng)為 289 764 1053 二 問路問題二 問路問題 有這樣一個故事 在太平洋中有 AB 兩個相鄰的小島 A 島居民都是誠實的 人 B 島的居民都是騙子 當(dāng)你問一個問題時 A 島的居民會告訴你正確的答 案 而 B 島的居民給你的答案都是錯誤的 一天 一個旅游者獨自登上了兩島 中的某個島 他分辨不清這個島是 A 島還是 B 島 只知道這個島上的人既有本 島的居民又有另一島的來客 他想問島上的人 這是 A 島還是 B 島 卻又無 法判斷被問者的答案是否正確 旅游者動腦筋想了會一兒 終于想出一個辦法 他只需要問他所遇到的任意一人一句話 就能從對方的回答中準確無誤地斷定 這里是哪個島 你能猜出旅游者所問的問題嗎 如果旅游者直接問 這是 A 島還是 B 島 那么當(dāng)被問者是 A 島人時 他 會得到正確的回答 當(dāng)被問者是 B 島人時 他會得到錯誤的回答 兩種回答截 然相反 而旅游者又無法知道他得到的答案對不對 因此這樣問話達不到問路 的目的 聰明的旅游者的問話是 你是這個島的居民嗎 如果對方回答 是 那么這個島一定是 A 島 如果對方回答 不是 那么這個島一定是 B 島 你能說出這是為什么嗎 下面我們就對上面的問題進行分析 我們知道 旅游者提出問題時并不知 道提問地是何島 也不知道被問者是何島居民 他要從所聽到的第一句回答來 判斷問話地是何島 因此 所提問題的答案必須是因提問地而異 而不由被問 者是 A 島居民或是 B 島居民發(fā)生變化 根據(jù)上述特點 我們設(shè)法找到這樣的問題 1 使得在 A 島提問時 被問者 不論是何島居民 都回答同樣的一種答案 2 在 B 島提問時 被問者都回答另一種答案 于是 我們就可以根據(jù)任一人的回答來判斷提問地為何島了 顯然 這樣 的問題必須與提問地相關(guān) 并且還要與被問者有關(guān) 如果在 A 島提出這樣的問 題時 A 島居民應(yīng)作肯定回答 B 島居民也會作肯定回答 但這種回答與客觀 實際相反 那么在 B 島提出同一問題時 A 島居民應(yīng)作否定回答 B 島居民也 會做否定回答 但回答與實際情況相反 你是這個島的居民嗎 這一問題就是一個滿足以上要求的問題 我們 通過下表表示在不同的提問地的不同的被問者對問題的相應(yīng)回答 問題 你是這個島的居民嗎 被問者 問話地 A 島居民B 島居民 回答 A 島 是是 B 島不是不是 由上表可以一目了然地發(fā)現(xiàn) 在 A 島提問時 回答總為 是 在 B 島提 問時 回答總為 不是 這就為旅游者判斷提問地是哪個島提供了依據(jù) 于 是 問路問題 得以解決 請想一想 如果旅游者的問題為 你是相鄰的另一島上的居民嗎 那 么能根據(jù)任一人的回答來判斷提問地是何島嗎 為什么 試通過列表的方式說 明理由 數(shù)學(xué)中有個分支叫做數(shù)理邏輯 它通過數(shù)學(xué)方法來研究邏輯規(guī)律 在數(shù)理 邏輯中 列表法是一種基本的研究方法 只是其中表的形式與本文中的表有許 多不同 使用了一些有關(guān)命題 真值的抽象符號 但其基本思想與我們用表討 論問題的思想是大體一致的 都是通過列表來分析和說明問題 數(shù)學(xué)是以邏輯推理為重要研究方法的學(xué)科 所謂邏輯推理 就是合乎事理 的 有根有據(jù)的推導(dǎo)判斷 上面的兩個問題正是運用到邏輯推理的問題 同學(xué) 們應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意提高自己的邏輯推理能力 使自己勤于思考并且善于思 考 成為聰明人 第八節(jié)第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問題欺騙眼睛的幾何問題 生活中我們常常相信親眼所見 但又常常為自己的眼睛所騙 魔術(shù)就是一個很好的例子 數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù) 我們先看一個問題 問題問題 1 1 在下面的兩個圖形中 如果將圖 1 中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖 2 我們會發(fā)現(xiàn) 與圖 1 相比 圖 2 多出了一個洞 這怎么可能呢 我們自然會提出這樣的 疑問 奧妙何在我們姑且按下不表 讓同學(xué)們先動動腦子 上面的題目有些復(fù)雜 下面我們來看一個簡單一些的問題 問題問題 2 2 將圖 3 中面積為 13 13 169 的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形 然后重 新拼接成圖 4 計算可知長方形的面積為 8 21 168 比正方形少了一個單位的面積 非常 不可思議 這是為什么呢 這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解 值得我們花費一些時間動手按照所說的剪裁 方法做一做 我們先來分析一下問題 2 我們在白紙上將正方形量好畫出 剪成四塊 重新安排后拼 成長方形 除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確 我們一般是不會發(fā)現(xiàn)拼接成的長 方形在對角線附近發(fā)生了微小的重疊 正是沿對角線的微小重疊導(dǎo)致了一個單位面積的丟失 要證實這一點我們只要計算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應(yīng)邊的斜率 比較 一下就會清楚了 問題 2 中涉及到四個數(shù)據(jù) 5 8 13 和 21 有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)會認出這是著名的斐 波那契數(shù)列中的四項 斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項都是前兩項之和 1 1 2 3 5 8 13 21 34 我們還可以使用這個數(shù)列中的其他相鄰四項來試驗 這個過程 無論選取哪四項 都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的面積是不會相等的 有時正方形 的面積比長方形多一個單位面積 有時則正好相反 多做幾次上述實驗 我們就會得出斐波 那契數(shù)列的一個重要性質(zhì) 這個數(shù)列任意一項的平方等于它前后相鄰兩項之積加 1 或減 1 用公式表示就是 其中表示正方形的面積 表示長方形的面積 2 11 1 nnn fff 2 n f 11nn ff 知道了這個事實 我們就可以自己構(gòu)造類似于問題 2 的幾何趣題 上面的這個斐波那契數(shù)列是以 1 1 兩數(shù)開始的 廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù) 開始 比如說 用廣義斐波那契數(shù)列 2 2 4 6 10 16 做上述試驗 就會多得或 丟失四個單位的面積 如果用 a b c 表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項 以 x 表示 得 或 失 的數(shù)字 則下列兩式成立 我們還可以來研究這樣一個有趣的問題 2 abc bacx 把正方形按上述方法剪成四塊 是否會拼接成一個與它面積相等的長方形 要回答這個問題 可以令方程組中的 x 等于零 再解之得唯一正解是 其中恰是著名的黃 15 2 b a 15 2 金分割比 通常用來表示 它是一個無理數(shù) 等于 1 這就是說 唯一的每項平方等 于前后相鄰兩項之積的斐波那契數(shù)列是 1 要證明它的確是斐波 2 3 4 那契數(shù)列 只要證明它等價于數(shù)列 1 1 2 1 3 2 就可以了 只有用這個 數(shù)列相鄰項數(shù)表示的長度來分割正方形 才可以拼出面積不變的長方形 我們再回到問題 1 題中涉及到的數(shù)據(jù) 1 1 2 3 5 8 13 恰是斐波那契數(shù)列的前 七項 因此問題 1 實際上是問題 2 的一個復(fù)雜化版本 計算一下圖中兩個大小三角形斜邊的 斜率 那么一開始的疑問已不講自明 最后再給喜歡思考的同學(xué)提出一個與前兩個問題略有不同的問題 3 圖 5 這個正方形按 圖中標出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形 剪開后重新拼接成圖 6 奇怪 又多出了一個洞 這次斜線處并無疊合 少掉的一個單位面積哪里去了呢 這個問題最初是由美國魔術(shù)師保羅 卡瑞提出的 雖然它曾經(jīng)難倒了許多美國人 但相信它難不倒聰明的中國學(xué)生 為幫助大A 家思考 提示一下 不要忘了計算 最后送給大家一句華羅庚教授的話 數(shù)缺形時少直觀 形少數(shù)時難入微 第九節(jié)第九節(jié) 抽屜原理的簡單應(yīng)用抽屜原理的簡單應(yīng)用 任意 367 個人中 必有生日相同的人 從任意 5 雙手套中任取 6 只 其中至少有 2 只恰為一雙手套 從數(shù) 1 2 10 中任取 6 個數(shù) 其中至少有 2 個數(shù)為奇偶性不同 大家都會認為上面所述結(jié)論是正確的 這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢 這個原理叫 做抽屜原理抽屜原理 抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理 它是數(shù)學(xué)中證明存在性的一種特殊方 法 它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為 把 m 個東西任意分放進 n 個空抽屜里 m n 那 么一定有一個抽屜中放進了至少 2 個東西 舉個最簡單的例子 把 3 個蘋果按任意的方式 放入兩個抽屜中 那么一定有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的蘋果 這是因為如果每一個 抽屜里最多放有一個蘋果 那么兩個抽屜里最多只放有兩個蘋果 運用同樣的推理可以得到 原理原理 1 1 把多于 n 個的物體放到 n 個抽屜里 則至少有一個抽屜里有 2 個或 2 個以上的 物體 原理原理 2 2 把多于 mn 個的物體放到 n 個抽屜里 則至少有一個抽屜里有 m 1 個或多于 m l 個的物體 下面我們用抽屜原理來分析前面的例子 第一個結(jié)論中 由于一年最多有 366 天 因此 在 367 人中至少有 2 人出生在同月同日 這相當(dāng)于把 367 個東西放入 366 個抽屜 至少有 2 個東西在同一抽屜里 在第二個結(jié)論中 不妨想象將 5 雙手套分別編號 即號碼為 1 2 5 的手套各有兩只 同號的兩只是一雙 任取 6 只手套 它們的編號至多有 5 種 因此其中至少有兩只的號碼相同 這相當(dāng)于把 6 個東西放入 5 個抽屜 至少有 2 個東西在同 一抽屜里 例 利用上述原理證明 任意 7 個整數(shù)中 至少有 3 個數(shù)的兩兩之差是 3 的倍數(shù) 分析 因為任一整數(shù)除以 3 時余數(shù)只有 0 1 2 三種可能 所以 7 個整數(shù)中至少有 3 個 數(shù)除以 3 所得余數(shù)相同 即它們兩兩之差是 3 的倍數(shù) 如果問題所討論的對象有無限多個 抽屜原理還有另一種表述 把無限多個東西任意 分放進 n 個空抽屜 n 是自然數(shù) 那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西 抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素 易于接受 它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用 許多有關(guān)存在性 的證明都可用它來解決 一 抽屜原理和六人集會問題一 抽屜原理和六人集會問題 1958 年 6 7 月號的 美國數(shù)學(xué)月刊 上有這樣一道題目 證明在任意 6 個人的集會上 或者有 3 個人以前彼此相識 或者有三個人以前彼此不 相識 這個問題可以用如下方法簡單明了地證出 在平面上用 6 個點 A B C D E F 分別代表參加集會的任意 6 個人 如果兩人以前 彼此認識 那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線 否則連一條藍線 考慮 A 點與其余各 點間的 5 條連線 AB AC AF 它們的顏色不超過 2 種 根據(jù)抽屜原理可知其中至少有 3 條連線同色 不妨設(shè) AB AC AD 同為紅色 如果 BC BD CD3 條連線中有一條 不妨設(shè) 為 BC 也為紅色 那么三角形 ABC 即一個紅色三角形 A B C 代表的 3 個人以前彼此相識 如果 BC BD CD3 條連線全為藍色 那么三角形 BCD 即一個藍色三角形 B C D 代表的 3 個人以前彼此不相識 不論哪種情形發(fā)生 都符合問題的結(jié)論 圖 1 六人集會問題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例 這個簡單問題的證 明思想可用來得出另外一些深入的結(jié)論 這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容 拉姆 塞理論 從六人集會問題的證明中 我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用 二 抽屜原理與二 抽屜原理與 電腦算命電腦算命 電腦算命 看起來挺玄乎 只要你報出自己出生的年 月 日和性別 一按按鍵 屏 幕上就會出現(xiàn)所謂性格 命運的句子 據(jù)說這就是你的 命 其實這充其量不過是一種電腦游戲而已 我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說明它的荒謬 如果以 70 年計算 按出生的年 月 日 性別的不同組合數(shù)應(yīng)為 70 365 2 51100 我們把它作為 抽屜 數(shù) 我國現(xiàn)有人口 11 億 我們把它作為 物體 數(shù) 由于 1 1 21526 51100 21400 根據(jù)原理 2 存在 21526 個以上的人 盡管他們 的出身 經(jīng)歷 天資 機遇各不相同 但他們卻具有完全相同的 命 這真是荒謬絕倫 在我國古代 早就有人懂得用抽屜原理來揭露生辰八字之謬 如清代陳其元在 庸閑齋 筆記 中就寫道 余最不信星命推步之說 以為一時 注 指一個時辰 合兩小時 生一 人 一日生十二人 以歲計之則有四千三百二十人 以一甲子 注 指六十年 計之 止有 二十五萬九千二百人而已 今只以一大郡計 其戶口之?dāng)?shù)已不下數(shù)十萬人 如咸豐十年杭州 府一城八十萬人 則舉天下之大 自王公大人以至小民 何啻億萬萬人 則生時同者必不 少矣 其間王公大人始生之時 必有庶民同時而生者 又何貴賤貧富之不同也 在這里 一年按 360 日計算 一日又分為十二個時辰 得到的抽屜數(shù)為 60 360 12 所謂 電腦算命 不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各 自的柜子里 誰要算命 即根據(jù)出生的年月 日 性別的不同的組合按不同的編碼機械地到 電腦的各個 柜子 里取出所謂命運的句子 這種在古代迷信的亡靈上罩上現(xiàn)代科學(xué)光環(huán)的 勾當(dāng) 是對科學(xué)的褻瀆 第十節(jié)第十節(jié) 帕斯卡 楊輝 三角形與道路問題帕斯卡 楊輝 三角形與道路問題 蘇珊很為難 她步行去學(xué)校 路上老是遇到斯廷基 斯廷基 嘿嘿 蘇珊 我可以陪 你一起走嗎 蘇珊 不 請走開 蘇珊心想 我有辦法了 每天早上我走不同的路線去學(xué)校 這樣斯廷基就不知道在哪兒 找到我了 下面這張地圖表示蘇珊的住所和學(xué)校之間的所有街道 蘇珊去學(xué)校時 走路的方 向總是朝南或朝東 她總共有多少條路線呢 蘇珊 我真想知道有多少條路線可走 讓我想一想 要算出多少條路線看來并不簡單 嗯 啊哈 一點不難 簡單得很 蘇珊想到了什么好主意呢 她的推理如下 蘇珊 在我家這個角點上寫一個 1 因為我只能從這一點出發(fā) 然后 在與此相隔一個街區(qū)的兩個角點上各寫一個 1 因為到那里只有一條途徑 現(xiàn)在 我在這個 角點上寫上 2 因為到達那里可以有兩條途徑 蘇珊發(fā)現(xiàn) 2 是 1 加 1 之和 她忽然領(lǐng)悟 若 到某一個僅有一條途徑 則該角點上的數(shù)字為前一個角點上的數(shù)字 若有兩條途徑 則為前 兩個角點上的數(shù)字之和 蘇珊 瞧 又有四個角點標上了數(shù)字 我馬上把其他角點也標上數(shù)字 請你替蘇珊 把剩下的角點標上數(shù)字 并且告訴她步行到學(xué)校共有多少條不同的路線 蘇珊的家 H 1 1 1 2 1 3 1 1 3 學(xué)校 G 剩下的 5 個點 自上而下 從左至右分別標以 1 4 10 5 15 最后一點上的 15 表 示蘇珊去學(xué)校共有十五條最短路徑 蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡單的算法 用來計算從她家到學(xué)校的最短路徑共有多少條 要是她把這些路徑一條一條地畫出來 然后再計數(shù) 這樣肯定麻煩 還容易出錯 如果街道 的數(shù)目很多 那么這種方法根本就行不通 你不妨把這十五條路線都畫出來 這樣你就更能 體會到蘇珊的算法是多么地有效了 你對這種算法是否已經(jīng)理解 可以再畫一些不同的街道網(wǎng)絡(luò) 然后用這種算法來確定從 任意點 A 到另一任意點 B 的最短路線共有多少條 網(wǎng)絡(luò)可以是矩形網(wǎng)格 三角形網(wǎng)格 平行 四邊形網(wǎng)格和蜂窩狀的正六邊形網(wǎng)格 也可以用其他方法 例如組合公式 求解 但這種方法 十分復(fù)雜 需要很高的技巧 在國際象棋棋盤上 車 從棋盤的一角到對角線上另一角的最短路徑共有多少條 就 像蘇珊給街道交點標上數(shù)字一樣 把棋盤上所有格子也都填上數(shù)字 于是問題就迎刃而解了 車 只能沿著右上方向朝另一個角的目標移動 便可以求出共有多少條最短路徑 如圖所示 1836120 330 792 17163432 172884210 462 924 1716 162156126 252 462 792210 330 141020355684120 1361015212836 12345678 車1111111 把整個棋盤正確標號 根據(jù)所標的數(shù)字 一眼就能看出在棋盤上從一個角出發(fā)到任意一 角 有多少條最短路線 右上角的數(shù)字是 3432 所以 車 從一角到對角線的另一角的最短 路徑共有 3432 條 讓我們把棋盤沿著左上至右下的對角線一截為二 使其成為如下圖所示的陣列 此三角 形上的數(shù)字與著名的帕斯卡三角形 我國叫做楊輝三角形 的數(shù)字是相同的 當(dāng)然 計算街道 路徑條數(shù)的算法 恰恰就是構(gòu)造帕斯卡三角形所依據(jù)的過程 這種同構(gòu)現(xiàn)象使得帕斯卡三角 形成為無數(shù)有趣特性的不竭的源泉 1 11 121 1331 14641 利用帕斯卡三角形立即可以求出二項式展開的系數(shù) 即求 a b 的任意次冪 同樣也可 以用來解出初等概率論中的許多問題 請注意 上圖中自頂部至底部 從邊沿一格來說是 1 隨著向中間移動 數(shù)字逐漸增加 也許你見過根據(jù)怕斯卡三角形所制成的一種裝置 在 一快傾斜的板上 成百個小球滾過木釘進入各格的底部 全部小球呈現(xiàn)出一條鐘形的二項式 分布曲線 因為到達每個底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項式展開的系數(shù) 顯然 蘇珊的算法同樣適用于由矩陣格子組成的三維結(jié)構(gòu) 設(shè)有一個邊長為 3 的立方體 分成 27 個立方體單元 把它看成棋盤 處于某一個角格上的 車 可以向三個坐標上的任 何位置作直線移動 試問 車 到空間對角線的另一個角格有多少條最短路徑 第十一節(jié)第十一節(jié) 數(shù)數(shù) 獨獨 數(shù)獨是一種源自 18 世紀末的瑞士 后在美國發(fā)展 并在日本得以發(fā)揚光大的數(shù)學(xué)智 力拼圖游戲 拼圖是九宮格 即 3 格寬 3 格高 的正方形狀 每一格又細分為一個九宮格 在每一個小九宮格中 分別填上 1 至 9 的數(shù)字 讓整個大九宮格每一列 每一行的數(shù)字都不 重復(fù) 數(shù)獨的基礎(chǔ)是數(shù)字魔方 它的解也一定是數(shù)字魔方 制作一個數(shù)獨 便是使用一個一般的數(shù)字魔方 蓋住部分數(shù) 字 成為一個擁有唯一解的數(shù)獨 數(shù)獨前身為 九宮格 最早起源于中國 數(shù)千年前 我們的祖先就發(fā)明了洛書 其特點較之現(xiàn)在的數(shù)獨更為復(fù)雜 要求縱向 橫向 斜向上的三個數(shù)字之和等于 15 而非簡單 的九個數(shù)字不能重復(fù) 中國古籍 易經(jīng) 中的 九宮圖 也源于此 故稱 洛書九宮圖 而 九宮 之名也因 易經(jīng) 在中華文化發(fā)展史上的重要地位而保存 沿用至今 現(xiàn)在已 有多種手機裝有數(shù)獨游戲 1783 年 瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德 歐拉發(fā)明 了一種當(dāng)時稱作 拉丁方塊 Latin Square 的游 戲 這個游戲是一個 n n 的數(shù)字方陣 每一行和每 一列都是由不重復(fù)的 n 個數(shù)字或者字母組成的 19 世紀 70 年代 美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲 雜志 戴爾鉛筆字謎和詞語游戲 Dell Puzzl