2012中考數(shù)學(xué)壓軸題 函數(shù)相似三角形問題(三)

用心 愛心 專心1 20122012 中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題 三三 例 5 如圖 1 拋物線經(jīng)過點A 4 0 B 1 0 C 0 2 三點 1 求此拋物線的解析式 2 P是拋物線上的一個動點 過P作PM x軸 垂足為M 是否存在點P 使得以 A P M為頂點的三角形與 OAC相似 若存在 請求出符合條件的 點P的坐標(biāo) 若不存 在 請說明理由 3 在直線AC上方的拋物線是有一點D 使得 DCA的面積最大 求出點D的坐標(biāo) 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 09 臨沂 26 拖動點P在拋物線上運動 可以體驗到 PAM的形狀在變化 分別雙擊按鈕 P在B左側(cè) P在x軸上方 和 P在A右側(cè) 可以顯示 PAM與 OAC相似的三個情景 雙擊按鈕 第 3 題 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動 觀察 DCA的形狀和 面積隨D變化的圖象 可以體驗到 E是AC的中點時 DCA的面積最大 思路點撥 1 已知拋物線與x軸的兩個交點 用待定系數(shù)法求解析式時 設(shè)交點式比較簡便 2 數(shù)形結(jié)合 用解析式表示圖象上點的坐標(biāo) 用點的坐標(biāo)表示線段的長 3 按照兩條直角邊對應(yīng)成比例 分兩種情況列方程 4 把 DCA可以分割為共底的兩個三角形 高的和等于OA 用心 愛心 專心2 滿分解答 1 因為拋物線與 x 軸交于A 4 0 B 1 0 兩點 設(shè)拋物線的解析式為 4 1 xxay 代入點C的 坐標(biāo) 0 2 解得 2 1 a 所以拋物線的解析式 為2 2 5 2 1 4 1 2 1 2 xxxxy 2 設(shè)點P的坐標(biāo)為 4 1 2 1 xxx 如圖 2 當(dāng)點P在x軸上方時 1 x 4 4 1 2 1 xxPM xAM 4 如果2 CO AO PM AM 那么2 4 4 1 2 1 x xx 解得5 x不合題意 如果 2 1 CO AO PM AM 那么 2 1 4 4 1 2 1 x xx 解得2 x 此時點P的坐標(biāo)為 2 1 如圖 3 當(dāng)點P在點A的右側(cè)時 x 4 4 1 2 1 xxPM 4 xAM 解方程2 4 4 1 2 1 x xx 得5 x 此時點P的坐標(biāo)為 2 5 解方程 2 1 4 4 1 2 1 x xx 得2 x不合題意 如圖 4 當(dāng)點P在點B的左側(cè)時 x 1 4 1 2 1 xxPM xAM 4 解方程2 4 4 1 2 1 x xx 得3 x 此時點P的坐標(biāo)為 14 3 解方程 2 1 4 4 1 2 1 x xx 得0 x 此時點P與點O重合 不合題意 綜上所述 符合條件的 點 P 的坐標(biāo)為 2 1 或 14 3 或 2 5 用心 愛心 專心3 圖 2 圖 3 圖 4 3 如圖 5 過點D作x軸的垂線交AC于E 直線AC的解析式為2 2 1 xy 設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m 41 m 那么點D的坐標(biāo)為 2 2 5 2 1 2 mmm 點 E 的 坐標(biāo)為 2 2 1 mm 所以 2 2 1 2 2 5 2 1 2 mmmDEmm2 2 1 2 因此4 2 2 1 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4 2 2 m 當(dāng)2 m時 DCA的面積最大 此時點D的坐標(biāo)為 2 1 圖 5 圖 6 考點伸展 第 3 題也可以這樣解 如圖 6 過D點構(gòu)造矩形OAMN 那么 DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去 CDN和 ADM的面積 用心 愛心 專心4 設(shè)點D的橫坐標(biāo)為 m n 41 m 那么 42 4 2 1 2 2 1 4 22 2 1 nmmnnmnS 由于2 2 5 2 1 2 mmn 所以mmS4 2 例 6 如圖 1 ABC中 AB 5 AC 3 cosA 3 10 D為射線BA上的點 點D不與點B重 合 作DE BC交射線CA于點E 1 若CE x BD y 求y與x的函數(shù)關(guān)系式 并寫出函數(shù)的定義域 2 當(dāng)分別以線段BD CE為直徑的兩圓相切時 求DE的長度 3 當(dāng)點D在 AB 邊上時 BC邊上是否存在點F 使 ABC與 DEF相似 若存在 請 求出線段BF的長 若不存在 請說明理由 圖 1 備用圖 備用圖 用心 愛心 專心5 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 09 閘北 25 拖動點D可以在射線BA上運動 雙擊按鈕 第 2 題 拖動點D可以體驗到兩圓可以外切一次 內(nèi)切兩次 雙擊按鈕 第 3 題 再分別雙擊按鈕 DE為腰 和 DE為底邊 可以體驗到 DEF為等腰三角形 思路點撥 1 先解讀背景圖 ABC是等腰三角形 那么第 3 題中符合條件的 DEF也是等腰 三角形 2 用含有x的式子表示BD DE MN是解答第 2 題的先決條件 注意點E的位置不 同 DE MN表示的形式分兩種情況 3 求兩圓相切的問題時 先羅列三要素 再列方程 最后檢驗方程的解的位置是否符 合題意 4 第 3 題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論 運用典型題目的結(jié)論可以幫助我 們輕松解題 滿分解答 1 如圖 2 作BH AC 垂足為點H 在 Rt ABH中 AB 5 cosA 3 10 AH AB 所 以AH 3 2 1 2 AC 所以BH垂直平分AC ABC 為等腰三角形 AB CB 5 因為DE BC 所以 ABAC DBEC 即 53 yx 于是得到 5 3 yx 0 x 2 如圖 3 圖 4 因為DE BC 所以 DEAE BCAC MNAN BCAC 即 3 53 DEx 1 3 2 53 x MN 因此 5 3 3 x DE 圓心距 5 6 6 x MN 用心 愛心 專心6 圖 2 圖 3 圖 4 在 M中 115 226 M rBDyx 在 N中 11 22 N rCEx 當(dāng)兩圓外切時 51 62 xx 5 6 6 x 解得 30 13 x 或者10 x 如圖 5 符合題意的解為 30 13 x 此時 5 3 15 313 x DE 當(dāng)兩圓內(nèi)切時 51 62 xx 5 6 6 x 當(dāng) x 6 時 解得 30 7 x 如圖 6 此時E在CA的延長線上 5 3 15 37 x DE 當(dāng) x 6 時 解得10 x 如圖 7 此時E在CA的延長線上 5 3 35 33 x DE 圖 5 圖 6 圖 7 3 因為 ABC是等腰三角形 因此當(dāng) ABC與 DEF相似時 DEF也是等腰三角 形 如圖 8 當(dāng)D E F為 ABC的三邊的中點時 DE為等腰三角形DEF的腰 符合題意 此時BF 2 5 根據(jù)對稱性 當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時 也符合題意 此時BF 4 1 用心 愛心 專心7 如圖 9 當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時 四邊形DECF是平行四邊形 此時 125 34 BF 圖 8 圖 9 圖 10 圖 11 考點伸展 第 3 題的情景是一道典型題 如圖 10 如圖 11 AH是 ABC的高 D E F為 ABC的三邊的中點 那么四邊形DEHF是等腰梯形 例 7 如圖 1 在直角坐標(biāo)系xOy中 設(shè)點A 0 t 點 Q t b 平移二次函數(shù) 2 txy 的圖象 得到的拋物線F滿足兩個條件 頂點為Q 與x軸相交于B C兩點 OB OC 連結(jié)A B 1 是否存在這樣的拋物線F 使得OCOBOA 2 請你作出判斷 并說明理 由 2 如果AQ BC 且 tan ABO 2 3 求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式 用心 愛心 專心8 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 08 杭州 24 拖動點A在y軸上運動 可以體驗到 AQ與 BC保持平行 OA OB與OA OB 保持 3 2 雙擊按鈕 t 3 t 0 6 t 0 6 t 3 拋物線正好經(jīng)過點 B 或B 思路點撥 1 數(shù)形結(jié)合思想 把OCOBOA 2 轉(zhuǎn)化為 212 txx 2 如果AQ BC 那么以O(shè)A AQ為鄰邊的矩形是正方形 數(shù)形結(jié)合得到t b 3 分類討論 tan ABO 2 3 按照A B C的位置關(guān)系分為四種情況 A在y軸正半 軸時 分為B C在y軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況 A在y軸負(fù)半軸時 分為B C在y軸同側(cè) 和兩側(cè)兩種情況 滿分解答 1 因為平移 2 txy 的圖象得到的拋物線F的頂點為Q t b 所以拋物線 F對應(yīng)的解析式為btxty 2 因為拋物線與 x 軸有兩個交點 因此0 bt 用心 愛心 專心9 令0 y 得 tOB t b tOC t b 所以 tOCOB t b t t b 2 t 22 OAt t b 即 22 b tt t 所以當(dāng) 3 2tb 時 存在拋物線F使得 2 OCOBOA 2 因為AQ BC 所以t b 于是拋物線F為ttxty 2 解得 1 1 21 txtx 當(dāng)0 t時 由 OCOB 得 0 1 tB 如圖 2 當(dāng)01 t時 由 ABOtan 2 3 OB OA 1 t t 解得3 t 此時二次函 數(shù)的解析式為24183 2 xxy 如圖 3 當(dāng)01 t時 由 ABOtan 2 3 OB OA 1 t t 解得 t 5 3 此時二次 函數(shù)的解析式為 y 5 3 2 x 25 18 x 125 48 圖 2 圖 3 用心 愛心 專心10 如圖 4 如圖 5 當(dāng)0 t時 由 OCOB 將t 代t 可得 t 5 3 3 t 此時二次函數(shù)的解析式為 y 5