2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題（全國卷I解析版）

1 20102010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題 全國卷年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題 全國卷 I I 解 解 析版 析版 本試卷分第 I 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 I 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 4 頁 考試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 教師簡評 本試卷整體上明顯比去年加大了難度 整套題對程度中等的學生來說有比較 有難度 估計最后的考試分數(shù)不會特別理想 試題不僅注意對基礎(chǔ)知識的考查 更注重了 對能力的考查 體現(xiàn)了 穩(wěn)中求變 深化能力 的主導思想 知識分布還是比較廣的 題 的形式穩(wěn)定 延續(xù)以前試題格式 本套試卷基礎(chǔ)與能力并重 前 6 題都是常見題 在考場 上能夠穩(wěn)定學生情緒 第 10 11 12 三題是較為綜合性的試題 這是近幾年來全國 1 套試 卷難度最大的 填空題難度不算大 主觀題試題類型都是常規(guī)題 難度和運算量仍然不小 第第 I I 卷卷 注意事項 1 答題前 考生在答題卡上務必用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準 考證號填寫清楚 并貼好條形碼 請認真核準條形碼上的準考證號 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 在試題卷上作答無效 3 第 I 卷共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項 是符合題目要求的 參考公式 參考公式 如果事件A B互斥 那么 球的表面積公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互獨立 那么 其中 R 表示球的半徑 P A BP A P B AA 球的體積公式 如果事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是p 那么 3 3 4 VR n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率 其中 R 表示球的半徑 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 選擇題一 選擇題 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 答案 C 命題意圖 本試題主要考查三角函數(shù)的誘導公式及特殊角求值 2 解析 0000 1 cos300cos 36060 cos60 2 故選 C 2 設(shè)全集 1 2 3 4 5U 集合 1 4M 1 3 5N 則 U NM A 1 3 B 1 5 C 3 5 D 4 5 答案 C 命題意圖 本試題主要考查集合的概念及集合的交集 補集運算 解析 2 3 5 3 5 UU C MNC M 故選 C 3 若變量 x y滿足約束條件 1 0 20 y xy xy 則2zxy 的最大值為 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 則 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 5 43 1 1 xx 的展開式 2 x的系數(shù)為 A 6 B 3 C 0 D 3 答案 A 命題意圖 本試題主要考查二項展開式的通項公式和指定項系數(shù)的求法 考查分類討論 的思想方法 解析 2 x項的系數(shù)是 12222 434 1 1 1 16CCC 故選 A 6 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 則異面直線 1 BA與 1 AC所成的角等于 3 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 命題意圖 本試題主要考查異面直線所成的角問題 考查空間想象與計算能力 解析 延長 B1A1到 E 使 A1E A1B1 連結(jié) AE EC1 則 AE A1B EAB 或其補角為所求 由已知條件可得 AEC1為正三角形 EAB 為 600 故選 C 7 已知函數(shù) lg f xx 若ab 且 f af b 則ab 的取值范圍是 A 1 B 1 C 2 D 2 8 已知 1 F 2 F為雙曲線 C 22 1xy 的左 右焦點 點 p 在 C 上 1 Fp 2 F 0 60 則 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 命題意圖 本試題主要考查雙曲線的定義 考查余弦定理的應用 解析 由雙曲線的定義得 12 2PFPF 又 0 1212 22 2 60FFcFPF 由余 弦定理 222 121212 8PFPFPF PFFF 由 2 得 12 4PF PF 故選 B 9 正方體 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B與平面 AC 1 D所成角的余弦值為 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命題意圖 本試題主要考查直線與平面所成的角問題 考查空間的想象與遷移能力 解析 在正方體中 DD1 BB1 所以 DD1 BB1與平面 ACD1所成的角相等 設(shè)正方體的棱長 為a 在正方體 AC1 中 可知三棱錐 D ACD1為正三棱錐 所以 D 在平面 ACD1的射影為正三 角形 ACD1的中心 O 則 DD1O 即為所求 又 ACD1的邊長為2a 所以 1 36 2 33 DOaa 1 1 1 6 cos 3 DO DDO DD 故選 D 10 設(shè) 1 2 3 log 2 ln2 5abc 則 4 A abc B bca C cab D cba 11 已知圓 O 的半徑為 1 PA PB 為該圓的兩條切線 A B 為兩切點 那么PA PB 的 最小值為 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 12 已知在半徑為 2 的球面上有 A B C D 四點 若 AB CD 2 則四面體 ABCD 的體積的 最大值為 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命題意圖 本試題主要考查本題主要考查幾何體體積的計算 球的性質(zhì) 綜合考查空間 分析問題 解決問題能力 解析 過 CD 作平面 PCD AB 于 P 設(shè) P 到 CD 的距離為h 則 A BCDB PCDA PCDPCD 1112 VVVAB S22 h h 3323 所以當 h 最大時 體積 最大 當直徑通過 AB 與 CD 的中點時 22 max h2 212 3 所以 max 4 3 V 3 故選 B 5 絕密 啟用前 2010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學 必修 選修 II 第 卷 注意事項 1 答題前 考生先在答題卡上用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準考 證號填寫清楚 然后貼好條形碼 請認真核準條形碼上的準考證號 姓名和科目 2 第 卷共 2 頁 請用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答 在試題卷上作答無效 3 第 卷共 10 小題 共 90 分 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 把答案填在題中橫線上 注意 在試題卷上作答無效 13 不等式 2 211xx 的解集是 15 某學校開設(shè) A 類選修課 3 門 B 類選修課 4 門 一位同學從中共選 3 門 若要求兩類 課程各自少選一門 則不同的選法共有 種 用數(shù)字作答 答案 30 命題意圖 本試題主要考查排列組合知識及分類討論的思想方法 解析 分兩種情況 1 A 類選 1 門 B 類選 2 門 有 12 34 18C C 種方法 2 A 類選 2 門 B 類選 1 門 有 21 34 12C C 種方法 共有 30 種方法 16 已知F是橢圓C的一個焦點 B是短軸的一個端點 線段BF的延長線交C于點D 且BF2FD uu ruur 則C的離心率為 6 答案 3 3 命題意圖 本試題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì) 考查定比分點問題 解析 假設(shè)橢圓的焦點在 x 軸 方程為 22 22 xy 1 ab 設(shè)點B 0 b C c 0 由 BF2FD 則 D 有向線段BF 的比為 3 則 3b D c 22 代入方程得 2 2 9c1 1 4a4 所以 c3 e a3 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 10 分 注意 在試題卷上作答無效 記等差數(shù)列 n a的前n的和為 n S 設(shè) 3 12S 且 23 2 1 a aa a 成等比數(shù)列 求 n S 命題意圖 本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式 以及等比數(shù)列的性質(zhì) 考查學生用方程組的思想解決數(shù)列問題的能力 參考答案 點評 數(shù)列問題屬于高考的傳統(tǒng)題型 近兩年全國 1 文科卷 數(shù)列解答題的難度有所降 低 旨在考查考生對數(shù)列的基本公式 性質(zhì)的掌握 顯然這就降低對綜合能力的要求 18 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 已知ABCV的內(nèi)角A B及其對邊a b滿足cotcotabaAbB 求內(nèi) 角C 7 19 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效注意 在試題卷上作答無效 投到某雜志的稿件 先由兩位初審專家進行評審 若能通過兩位初審專家的評審 則予以錄用 若兩位初審專家都未予通過 則不予錄用 若恰能通過一位初審專家的評 審 則再由第三位專家進行復審 若能通過復審專家的評審 則予以錄用 否則不予錄 用 設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為 0 5 復審的稿件能通過評審的概率為 0 3 各專家獨立評審 I 求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率 II 求投到該雜志的 4 篇稿件中 至少有 2 篇被錄用的概率 命題意圖 本題主要考查獨立事件與互斥事件的概率問題 考查學生分類討論的思想和 分析問題 解決問題的能力 參考答案 解 記 A 表示事件 稿件能通過兩位初審專家的評審 B 表示事件 稿件恰能通過一位初審專家的評審 C 表示事件 稿件能通過復審專家的評審 D 表示事件 稿件被錄用 則 D A B C 0 5 0 50 25 2 0 5 0 50 5 0 3 P AP BP C P DP AB C A P AP B C A 8 P AP B P C 0 25 0 5 0 3 0 40 記 0 A表示事件 4 篇稿件中沒有 1 篇被錄用 1 A表示事件 4 篇稿件中恰有 1 篇被錄用 2 A表示事件 4 篇稿件中恰有 2 篇被錄用 2 A 0 A 1 A 4 0 1 0 40 1296P A 3 1 14 0 41 0 40 3456 P AC 20101 P AP AAP AP A 0 1296 0 3456 0 4752 22 1 1 0 47520 5248P AP A 點評 概率問題是高考的必考題型 一般都在 18 19 題 試題的難度不大 主要考查考 生對互斥事件 獨立事件等基本概率模型知識的掌握程度以及應用知識分析問題 解決問 題的能力 新背景下的概率問題是高考的亮點內(nèi)容之一 估計明年高考對概率解答題的考 查除了常規(guī)模式外 還可能與數(shù)列 不等式 統(tǒng)計等交匯命題 20 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 如圖 四棱錐 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 為棱 SB 上的一點 平面 EDC 平面 SBC 證明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 9 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故ADE 為等腰三角形 取ED中點 F 連接AF 則 22 6 3 AFDE AFADDF 連接FG 則 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 連接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 10 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小為 120 解法二 以 D 為坐標原點 射線DA為x軸的正半軸 建立如圖所示的直角坐標系Dxyz 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令2x 則 2 0 m 由平面DECSBC 平面得 0 20 2mn m n A 故2SEEB 由 知 2 2 2 3 3 3 E 取DE中點 F 則 1 1 1 3 3 3 F 211 333 FA 故0FA DE A 由此得FADE 11 又 2 42 3 33 EC 故0 EC DE A由此得ECDE 向量FA 與EC 的夾角等于二面角ADEC 的平面角 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FA EC A 所以 二面角ADEC 的大小為 120 21 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 已知函數(shù) 422 32 31 2 31 4f xaxaxaxx I 當 1 6 a 時 求 f x的極值 II 若 f x在 1 1 上是增函數(shù) 求a的取值范圍 命題意圖 本題主要考查導數(shù)的兩大應用 即利用導數(shù)求極值和解決函數(shù)的的單調(diào)性 考查學生對高次方程的因式分解能力與計算能力 參考答案 解 2 41 331fxxaxax 當 1 6 a 時 2 2 2 1 fxxx f x在 2 內(nèi)單調(diào)減 在2 內(nèi)單調(diào) 增 在2x 時 f x有極小值 所以 2 12f 是 f x的極小值 在 1 1 上 f x單調(diào)增加當且僅當 2 41 331 0 fxxaxax 即 2 3310 axax i 當 a 0 時 恒成立 ii 當 a 0 時 成立 當且僅當 2 3 13 1 10aa AA 12 解得 1 6 a iii 當 a 0 時 成立 即 2 13 3 10 24 a a x 成立 當且僅當 3 10 4 a 解得 4 3 a 綜上 a 的取值范圍是 4 1 3 6 點評 本題屬于導數(shù)的常見題型 與往年不同的是次數(shù)的升高 這就對考生的因式分解 能力加大了要求 這就要求我們在復習備考時 在牢固掌握三次函數(shù)的導數(shù)問題同時對四 次的導數(shù)問題也應該有所涉獵 22 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 已知拋物線 2 4C yx 的焦點為 F 過點 1 0 K 的直線l與C相交于A B兩點 點 A 關(guān)于x軸的對稱點為 D 證明 點F在直線BD上 設(shè) 8 9 FA FB A 求BDK 的內(nèi)切圓M的方程 13 故直線 BD 的斜率 21 43 7yy 因而直線 BD 的方程為3730 3730 xyxy 因為 KF 為BKD 的平分線 故可設(shè)圓心 0 11 M tt 0 M t到l及 BD 的距離分 別為 31 31 54 tt 由 3131 54 tt 得 1 9 t 或9t 舍去 故 圓 M 的半徑 312 53 t r 所以圓 M 的方程為 22 14 99 xy 14 18 解 由ab cotcotaAbB 及正弦定理得 sinAsinBcosAcosB sinAcosAcosBsinB 從而 sincoscossincossinsincos 4444 AABB sin sin 44 AB 又0AB 故 44 AB 2 AB 所以 2 C 19 解 記 A 表示事件 稿件能通過兩位初審專家的評審 B 表示事件 稿件恰能通過一位初審專家的評審 C 表示事件 稿件能通過復審專家的評審 D 表示事件 稿件被錄用 則 D A B C 15 2 A 0 A 1 A 4 0 1 0 40 1296P A 3 1 14 0 41 0 40 3456 P AC 20101 P AP AAP AP A 0 1296 0 3456 0 4752 22 1 1 0 47520 5248P AP A 20 解法一 連接 BD 取 DC 的中點 G 連接 BG 由此知 1 DGGCBG 即ABC 為直角三角形 故 BCBD 又ABCD BCSDSD 平面故 所以 BC 平面BD S BCD E 作BK EC EDCSBCK 為垂足 因平面平面 故BK 平面ED C SBCBKDE DE 與平面內(nèi)的兩條相交直線BK BC都垂直 SBC DEEC DESBDE 平面 16 22 6 SBSDDB 連接FG 則 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 連接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小為 120 解法二 以 D 為坐標原點 射線DA為x軸的正半軸 建立如圖所示的直角坐標系Dxyz 設(shè) 1 0 0 A則 1 1 0 B 0 2 0 C 0 0 2 S 0 2 2SC 1 1 0 BC 設(shè)平面SBC的法向量為 na b c 由 0 0nSC nBCSCn BC AA得n 故220 0 bcab 令1 1 1 1 1 1 abcn 則 17 又設(shè)SEEB 0 則 由 知