圖形變換相似三角形綜合應用

畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 1 of 21 相似三角形綜合應用 2014 年中考怎么考 內(nèi)容基本要求略高要求 相似三角形了解兩個三角形相似的概念 會利用相似三角形的性質(zhì)與判定進行簡 單的推理和計算 會利用三角形的相似 解決一些實際問題 自檢自查必考點 模型一 角分線模型 1 內(nèi)角平分線 是的角平分線 則 ADABC ABBD ACCD 證明 過作交直線于 CCEAD ABE CEAD 1E 23 又 平分 ADBAC 12 3E AEAC 由可得 CEAD ABBD AECD ABBD ACCD 2 外角平分線 的外角平分線交對邊的延長線于 則 BAC BCD ABBD ACCD 證明 過作交直線于 CCEAD ABE CEAD 13 24 又 平分 ADCAF 12 34 AEAC 由可得 CEAD ABBD AECD 3 2 1 E D C B A DCB A D C B A F 4 3 2 1 E DCB A 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 2 of 21 ABBD ACCD 模型二 梯形模型 若 則ADBCab 22 ADEABEBECDEC SSSSaabbab E D CB A 中考滿分必做題 考點一 與公共邊有關(guān)的相似問題 例 1 如圖 在矩形中 對角線 相交于點 為的中點 連接交于 ABCDACBDGEADBEACF 連接 若 則下列四對三角形 與 與 FD90BFA BEA ACD FED DEB 與 與 其中相似的為 CFD ABG ADF CFB G A BC D E F A B C D 答案 D 解析 故 2 AEEF EB 2 DEEF EB FEDDEB 例 2 如圖 矩形中 于 恰是的中點 下列式子成立的是 ABCDBEAC FECD F EDC BA A B C D 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 答案 A 例 3 如圖 中 于 于 于 交于 的 ABC ADBC DBEAC EDFAB FBEGFDAC 延長線交于點 求證 H 2 DFFG FH 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 3 of 21 H G D F E C B A 解析 可通過射影定理轉(zhuǎn)化成證明 證明 即可 AF BFFG FH BFG HFA 例 4 如圖 中 于為的中點 的延長線交于 ABC 90ACB CDAB DE BC DEAC F 求證 ACFA BCFD 3 2 1 F D E C BA 答案 為中點 又 CDBC EBCEDEC 12 290390BB 又 又13 FF FCDFDA FAAD FDCD 3390ACBADC ABCACD ADAC CDBC ACFA BCFD 鞏固 在中 過直角頂點作斜邊的垂線 取的中點 連接并延長交的 RtABC BACBDBCEEDBA 延長于點 求證 F FDAB FBBC F E D CB A 解析 FADFDB FDADAB FBBDBC 例 5 如圖 在中 平分 的垂直平分線交于 交的延長線于 ABC ADBAC ADADEBCF 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 4 of 21 求證 2 FDFB FC E FDC B A 4 3 2 1 A E BD CF 答案 連接 垂直平分 即 又 AFEFADAFDF 4DAF 423 平分 又 41B 231B ADBAC 12 3B 又 CFAAFB CFAAFB 2 FAFC FB AFDF 2 FDFB FC 鞏固 如上圖 在中 的垂直平分線交于 交的延長線于 ABC 2 FDFB FC ADADEBCF 求證 平分 ADBAC E FDC B A 答案 連接 垂直平分 AFEFAD 又 AFDF 2 DFFC FB 2 AFFC FB AFFB FCAF AFCBFA AFCBFA 3B 423 41B 231B 即平分 12 ADBAC 例 6 已知 如圖 為等邊三角形 且的兩邊交直線于兩點 求 ABC 120DAE DAE BC DE 證 2 BCBD CE E D CB A 3 2 1 E D CB A 解析 又12060DAEBAC 1260 360 160E 2E 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 5 of 21 即360ABC 120ABDACE ABDECA ABCE BDAC AB ACBD CE ABACBC 2 ABBD CE 考點二 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的相似問題 例 7 如圖 直角梯形中 為梯形內(nèi)一點 且 ABCD90BCD ADBC BCCD E 將繞點旋轉(zhuǎn)使與重合 得到 連交于 已 90BEC BEC C90 BCDCDCF EFCDM 知 則的值為 53BCCF DM MC A B C D 5 33 54 33 4 M F E D CB A 答案 C 例 8 如圖 四邊形和均為正方形 求 ABCDBEFG AG DF CE A B C D E F G G F E D CB A 答案 連接 BDBF ABBC BGBEABGCBE ABBC BGBE ABGCBE AGCE EFBE EFBE 45 2EBFBFBE BCCD BCCD 45 2CBDBDBC 2 BDBF FBDCBE BCBE FBDEBC 2 DFBD ECBF 1 2 1AG DF CE 例 9 1 如圖 1 等邊中 為邊上的動點 以為一邊 向上作等邊 連接 ABC DABCDEDC 求證 AEAEBC 2 如圖 2 將 1 中的等邊改為以為底邊的等腰三角形 所作的改成相似 ABC BCEDC 于 請問 是否有 證明你的結(jié)論 ABC AEBC 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 6 of 21 E D C B A D E B C A 答案 1 由 得 故 ACEBCD EACACB AEBC 2 由 得 故 ACEBCD EACBACB AEBC 考點三 與三角形有關(guān)的相似綜合題 例 10 如圖 內(nèi)有一點 過作各邊的平行線 把分成三個三角形和三個平行四邊 ABC PPABC 形 若三個三角形的面積分別為 則的面積是 123 SSS 1 12 ABC P S3 S2 S1 I HG F ED CB A 解析 設的面積為 則 故ABC S 312 1 SSS PDPEHGBHHGGC BCBCBCBCSSS 22 123 1 1264 2SSSS 答案 64 2 例 11 如圖所示 是一個凸六邊形 分別是直線與 與 與 ABCDEFP Q RBAEFFECDDC 的交點 分別是與 與 與的交點 如果 ABSTUBCEDDEAFFACBAB PRCD 求證 RQEF QP BC USDE STFA TU T S U RQ P F E DC B A 答案 本題的條件和結(jié)論都是三個線段之比的連等式 且 構(gòu)成一個與相似的三角ABCDEFPQR 形的三邊 因而可以考慮通過平移變換將 集中到一起構(gòu)成一個與相似的三ABCDEFPQR 角形 如圖所示 將平移至位置 則 且 CDOEOECD OECD 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 7 of 21 T S U RQ P O F E DC B A 所以 且 FEOQ EO QRCD QREF QP 因此 從而 且 FEOPQR OFEP FO PREF QPAB PR 這說明 且 進而 且 FOAB FOAB FAOB FAOB 又因為 于是 所以 CODE COBSTU BC USCO STOB TU 注意到 故 CODE OBFA BC USDE STFA TU 例 12 已知 的高所在直線與高所在直線相交于點 ABC ADBEF 1 如圖 l 若為銳角三角形 且 過點作 交直線于點 ABC 45ABC FFGBC ABG 求證 FGDCAD 2 如圖 2 若 過點作 交直線于點 則之間 135ABC FFGBC ABGFGDCAD 滿足的數(shù)量關(guān)系是 3 在 2 的條件下 若 將一個角的頂點與點重合并繞點旋轉(zhuǎn) 5 2AG 3DC 45 BB 這個角的兩邊分別交線段于兩點 如圖 3 連接 線段分別與線段 線 FG MN CFCFBM 段相交于兩點 若 求線段的長 BN P Q 3 2 NG PQ 圖 1 G F E DCB A 圖 2 G F E D C B A 圖 3 N Q P A BC D E F G M 答案 1 證明 9045ADBABC 45BADABC ADBD 90BEC 90CBEC 90DACC CBEDAC 90FDBCDA FDBCDA DFDC GFBD 45AGFABC AGFBAD FAFG FGDCFADFAD 2 FGDCAD 3 如圖 135ABC 45ABD 90ADB 45DABDBA ADBD FGBC GDBADAB AFFG 222 5 2AGFGAFAG 5FGAF 由 2 知 3CD FGDCAD 2ADBD 13BCDF 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 8 of 21 為等腰直角三角形 FDC 22 3 2GCDFDC 分別過 作于點 于點 四邊形為矩形BNBHFG HNKBG KDFHB 23HFBDBHDF 3BHHG 2 BGBH sin NK G NG 3 2 4 NK 9 2 4 BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB MBHNBK MHBH NKBK 1MH 1FM BCFG BCFCFN BPCMPF CBFM BPCMPF 13 2 22 PCPFFC K HM G F E D CB A P Q N BQCNQF BCQNFQ BCCQ NFFQ 2 7 CQ FQ 223 2 3 2 993 CQFC 5 2 6 PQCPCQ 考點四 與相似有關(guān)的動點問題 例 13 如圖 中 點從出發(fā) 沿方向以的速度移動 ABC 3 908 5 AC CBC AB PBBC2 s 點從出發(fā) 沿方向也以的速度移動 若分別從出發(fā) 經(jīng)過多少時間 Q CCA1 s PQ BC 與相似 CPQ CBA Q P CB A 答案 設 3 908 5 AC CBC AB 35ACkABk 222 ACBCAB 即 解得 負值已舍去 222 3 8 5 kk 2k 6AC 設經(jīng)過后與相似 此時s tCPQ CBA 282BPtPCtCQt 本題需分兩種情況 1 當時 CABCQP 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 9 of 21 即 解得 CQCP CACB 82 68 tt 2 4t 2 當時 CABCPQ 即 解得 CQCP CBCA 82 86 tt 32 11 t 綜上 當秒或秒時 與相似2 4t 32 11 CPQ CBA 例 14 如圖 在矩形中 點沿邊從點開始向點以秒的速度移動 ABCD 126ABBC PABAB2 點沿邊以秒的速度從點開始移動 如果同時出發(fā) 用 秒 表示移動的時間 Q DA1 D PQ t 06 t 1 當 為何值時 為等腰直角三角形 t QAP 2 求四邊形面積 提出一個與計算結(jié)果相關(guān)的正確結(jié)論 QAPC 3 當 為何值時 以點為頂點的三角形與相似 t QAP ABC Q P D C B A 答案 1 當為等腰直角三角形時 QAP APAQ 26tt 2t 2 即四邊形的面積為定值 11 6 122636 22 QACAPCQAPC SSStt 四邊形 QAPC 3 分 2 種情況 當時 即 解得 APQBAC 2 APBA AQBC 2 2 6 t t 3t 當時 即 解得 AQPBAC 2 AQBA APBC 6 2 2 t t 6 5 t 綜上當或時 以點為頂點的三角形與相似 3t 6 5 QAP ABC 中考滿分必做題 例 1 如圖 已知在等腰 ABC 中 A B 30 過點 C 作 CD AC 交 AB 于點 D 若過 A D C 三點的圓的半徑為 則線段 BC 上是否存在一點 P 使得以 P D B 為頂點的三角形與 O3 BCO 相似 若存在 則 DP 的長為 BA C D BA C DO P1 P2 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 10 of 21 09 年浙江麗江中考試題 解析 BCD ACB ACD 120 90 30 BCD B DB DC 又 在 Rt ACD 中 DC AD sin30 DB 過點 D 作 DP1 OC 交 BC 于點 P1 則 P1DB COB 33 OB OD DB DP1 OC 過點 D 作 DP2 AB OC DP1 OB DB 32 OB DB 32 3 3 2 3 交 BC 于點 P2 則 BDP2 BCO BC 3 OC DP2 BC BD 22 OCBO 22 332 DP2 OC 1 BC BD 3 3 3 例 2 如圖 在平面直角坐標系中 點 A 的坐標為 2 2 點 P 是線段 OA 上的一個動點 不與 O A 重合 過點 P 作 PQ x 軸于 Q 以 PQ 為邊向右作正方形 PQMN 連接 AN 并延長交 x 軸 于點 B 連接 ON 設 OQ t BMN 與 MON 相似時 則 BMN 的面積為 BMQO PN A y x BMQO PN A y xH 圖 2 09 年甘肅中考試題 答案 或 9 1 25 9 解析 當 0 t 1 時 如圖 1 若 BMN MON 則 即 t NM BM OM NM t t tt 2 22 2 t t 23 2 NM BM S BMN BM NM 當 1 t 2 時 如圖 3 2 t 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 9 1 2 若 BMN MON 則 即 t NM BM NM BM OM NM t t tt 2 22 2 t t 25 6 5 6 t 2 1 5 3 S BMN BM NM 2 1 2 1 5 3 5 6 25 9 例 3 如圖 ACB 90 CD 是 ACB 的平分線 點 P 在 CD 上 CP 將三角板的直角頂點放置 2 在點 P 處 繞著點 P 旋轉(zhuǎn) 三角板的一條直角邊與射線 CB 交于點 E 另一條直角邊與直線 CA 直線 CB 分別交于點 F 點 G 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 11 of 21 1 當點 F 在射線 CA 上時 求證 PF PE 設 CF x EG y 求 y 與 x 的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域 2 連接 EF 當 CEF 與 EGP 相似時 求 EG 的長 12 年中考模擬試題 解析 1 證明 過點 P 作 PM AC PN BC 垂足分別為 M N CD 是 ACB 的平分線 PM PN 由 PMC MCN CNP 90 得 MPN 90 1 FPN 90 2 FPN 90 1 2 PMF PNE PF PE 解 CP CN CM 1 2 CF x PMF PNE NE MF 1 x CE 2 x CF PN 即 CF PN CG GN x 1 CG CG 1 CG x 1 x y 2 x 0 x 1 x 1 x 2 當 CEF 與 EGP 相似時 點 F 的位置有兩種情況 當點 F 在射線 CA 上時 GPE FCE 90 1 PEG G 1 FG FE CG CE CP 在 Rt EGP 中 EG 2CP 2 2 當點 F 在 AC 延長線上時 GPE FCE 90 1 2 3 2 1 45 5 1 45 2 5 2 易證 3 4 可得 5 4 CF CP FM 1 22 易證 PMF PNE EN FM 1 2 CF PN 即 CF PN CG GN 1 GN GN GN 1 2 A CB F P D GE A CB P D 備用圖 A CB F P GE 1 D A CB M P F G NE 1 5 2 3 4 D A CB F P D E M N 2 1 G 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 12 of 21 EG 1 1 2 222 例 4 如圖 在 Rt ABC 中 ACB 90 CE 是斜邊 AB 上的中線 AB 10 tanA 點 P 是 CE 4 3 延長線上的一動點 過點 P 作 PQ CB 交 CB 延長線于點 Q 設 EP x BQ y 1 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及定義域 2 連接 PB 當 PB 平分 CPQ 時 求 PE 的長 3 過點 B 作 BF AB 交 PQ 于 F 當 BEF 和 QBF 相似時 求 x 的值 2012 年上海模擬試題 解析 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 10 tanA BC AC 4 3 AC 6 BC 8 CE 是斜邊 AB 上的中線 CE BE AB 5 1 2 PCQ ABC 又 PQC ACB 90 PCQ ABC 即 CQ PC BC AB 4 5 8 y 5 x 4 5 y x 4 x 5 4 5 2 過點 B 作 BH PC 于 H PB 平分 CPQ BQ PQ BH BQ y BH BC x 4 3 5 24 5 4 5 24 5 x 11 3 BQF ACB 90 QBF A BFQ ABC 當 BEF 和 QBF 相似時 則 BEF 和 ABC 也相似 A P CQ E B A B C E 備用圖 A BC E 備用圖 A B P CQ E H A B P CQ E F 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 13 of 21 有兩種情況 當 BEF A 時 在 Rt EBF 中 EBF 90 BE 5 BF y 5 3 x 4 5 解得 x 10 5 3 4 5 4 3 當 BEF ABC 時 在 Rt EBF 中 EBF 90 BE 5 BF y 5 3 x 4 5 解得 x 5 3 4 5 3 4 125 16 當 BEF 和 QBF 相似時 求 x 的值為 10 或 125 16 例 5 如圖 1 在 Rt AOC 中 AO OC 點 B 在 OC 邊上 OB 6 BC 12 ABO C 90 動 點 M 和 N 分別在線段 AB 和 AC 邊上 1 求證 AOB COA 并求 cosC 的值 2 當 AM 4 時 AMN 與 ABC 相似 求 AMN 與 ABC 的面積之比 3 如圖 2 當 MN BC 時 以 MN 所在直線為對稱軸將 AMN 作軸對稱變換得 EMN 設 MN x EMN 與四邊形 BCNM 重疊部分的面積為 y 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 并寫 出自變量 x 的取值范圍 2012 年上海模擬試題 解析 1 AO OC ABO BAO 90 ABO C 90 BAO C AOB COA AOB COA OB OA OA OC OB 6 BC 12 6 OA OA 18 OA 6 3 AC 12 OC 2 OA 23 cosC OC AC 2 cosC C 30 tan ABO ABO 60 OA OB3 BAC 30 AB BC 12 A B P CQ E F A O N B C 圖 1 M A O N C B M 圖 1 A O N E C B M 圖 2 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 14 of 21 當 AMN ABC 時 如圖 1 AMN ABC AM 4 S AMN S ABC AM 2 AB 2 4 2 12 2 1 9 當 AMN C 時 如圖 2 AMN ACB AM 4 S AMN S ABC AM 2 AC 2 4 2 12 2 1 27 3 3 易得 S ABC BC OA 12 6 36 1 2 1 233 MN BC AMN ABC S AMN S ABC MN 2 BC 2 S AMN 36 x 2 12 2 3 S AMN x 2 當 EN 與線段 AB 相交時 設 EN 與 AB 交于點 F 如圖 3 MN BC ANM C 30 ANM BAC AM MN x 以 MN 所在直線為對稱軸將 AMN 作軸對稱變換得 EMN ENM ANM 30 AFN 90 MF MN AM x 1 2 1 2 1 2 S FMN S AMN MF AM y x 2 x x 1 2 1 2 y x 2 0 x 8 當 EN 與線段 AB 不相交時 設 EN 與 BC 交于點 G 如圖 4 MN BC CN AC BM AB CN 12 12 x 12 CN 12 x 333 CNG CBA S CNG S ABC CN 2 BC 2 S CNG 36 12 x 2 12 2 333 S CNG 12 x 2 33 S陰影 S ABC S AMN S CNG 36 x 2 12 x 2 333 即 y x 2 18x 72 8 x 12 333 例 6 如圖 ABC 中 ABC 90 AB BC 4 點 O 為 AB 邊的中點 點 M 是 BC 邊上一動點 不與點 B C 重合 AD AB 垂足為點 A 連接 MO 將 BOM 沿直線 MO 翻折 點 B 落在 點 B1處 直線 MB1與 AC AD 分別交于點 F N 1 當 CMF 120 時 求 BM 的長 2 設 BM x y 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 并寫出自變量 x 的取值范圍 CMF 的周長 ANF 的周長 3 連接 NO 與 AC 邊交于點 E 當 FMC AEO 時 求 BM 的長 2012 年上海模擬試題 A O N B C 圖 2 M A O N E C B M 圖 3 F A O N E C B M 圖 4 G D A C B N O F M B1 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 15 of 21 解析 1 CMF 120 BMN 60 BMO 30 Rt MOB 中 BM OB cot30 2 3 2 連接 ON OA OB OB1 ON ON Rt ANO Rt B1NO AON B1ON AN B1N 又 MOB1 MOB MON 90 OB1M B 90 MB1O OB1N OB12 B1M B1N 又 B1M BM x OB1 OB 2 2 2 x B1N B1N AN 4 x 4 x AD AB DAB 90 又 B 90 AD BC CMF ANF y x 2 x CMF 的周長 ANF 的周長 CM AN 1 4 即 y x 2 x 0 x 4 1 4 3 由題意知 EAO C 45 若 FMC AEO 則有兩種情況 FMC AEO 或 FMC AOE 當 FMC AEO 時 有 CFM AOE 由 2 知 AOE B1OE OMF CFM OMF OM AC OMB C 45 Rt MOB 中 BM OB cot45 2 當 FMC AOE 時 AOE OMF FMC OMF OMB 60 MOB 中 BM OB cot60 綜上所述 當 FMC AEO 時 求 BM 的長為 2 或 例 7 在平面直角坐標系中 點 C 的坐標為 0 4 A t 0 是 x 軸上一動點 M 是線段 AC 的中 點 把線段 AM 繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90 得到線段 AB 過點 B 作 x 軸的垂線 過點 C 作y 軸的垂線 兩直線交于點 D 直線 DB 交 x 軸于點 E 1 若 t 3 則點 B 的坐標為 若 t 3 則點 B 的坐標為 2 若 t 0 當 t 為何值時 BCD 的面積等于 6 3 是否存在 t 使得以 B C D 為頂點的三角形與 AOC 相似 若存在 求此時 t 的值 若不 存在 請說明理由 2012 年江蘇模擬試題 D A C B N O F M B1 D A C B N O M B1 F E D A C B N O F M B1 E B EAO M DC y xO C y x 備用圖 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 16 of 21 解析 1 5 1 3 2 3 2 2 當 0 t 8 時 如圖 1 CAB 90 CAO BAE 90 CAO ACO 90 BAE ACO 又 BEA AOC 90 BEA AOC 即 AE CO BE AO AB CA 1 2 AE 4 BE t 1 2 AE 2 BE t B t 2 t 1 2 1 2 S BCD CD BD t 2 4 t 6 1 2 1 2 1 2 解得 t 2 或 t 4 當 t 8 時 如圖 2 S BCD CD BD t 2 t 4 6 1 2 1 2 1 2 解得 t 10 或 t 4 舍去 當 t 2 或 t 4 或 t 10 時 BCD 的面積等于 6 3 當 0 t 8 時 如圖 1 若 CDB AOC 則 CD AO BD CO 即 t 無實數(shù)解 t 2 t 若 BDC AOC 同理 解得 t 2 2 舍去 或 t 2 2 55 當 t 8 時 如圖 2 若 CDB AOC 則 CD AO BD CO 即 解得 t 4 8 舍去 或 t 4 8 t 2 t33 若 BDC AOC 同理 t 無實數(shù)解 當 2 t 0 時 如圖 3 若 CDB AOC 則 CD AO BD CO 即 t 4 8 或 t 4 8 舍去 t 2 t55 若 BDC AOC 同理 t 無實數(shù)解 當 t 2 時 如圖 4 CDB AOC 則 CD AO BD CO B EAO M DC y x 圖 4 B E A O M DC y x 圖 3 B EAO M DC y x 圖 1 B EAO M D C y x 圖 2 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 17 of 21 即 t 無實數(shù)解 t 2 t 若 BDC AOC 同理 解得 t 4 或 t 4 舍去 存在 t 2 2 或 4 8 或 4 8 或 4 使得以 B C D 為頂點的三角形與 AOC 相似 535 例 8 如圖 1 在平面直角坐標系中 直線 l 與坐標軸相交于 A 2 0 B 0 兩點 將 Rt 55 AOB 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 Rt A OB 1 求直線 l 的解析式 2 若 OA AB 垂足為 D 求點 D 的坐標 3 如圖 2 若將 Rt AOB 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 A B 與直線 l 相交于點 F 點 E 為 x 軸上 一動點 試探究 是否存在點 E 使得以點 A E F 為頂點的三角形和 A BB 相 似 若存在 請求出點 E 的坐標 若不存在 請說明理由 2012 年山西中考試題 解析 1 設直線 l 的解析式為 y kx b 點 A 2 0 B 0 在直線 l 上 55 解得 直線 l 的解析式為 y x 1 25 2 A 2 0 B 0 OA 2 OB 5555 AB 5 OA 2 OB 2 OA AB 即 OD AB OA OB AB OD 1 2 1 2 2 5 OD OD 2 1 255 1 2 過點 D 作 DH x 軸于點 H 如圖 1 則 DAH ADH ODH ADH 90 DAH ODH 在 Rt AOB 中 tan BAO OB OA 1 2 tan ODH DH 2OH OH DH 1 2 y B D l AxO B A 圖 1 y B F l AxO B A 圖 2 y B D l AxO B A 圖 1 H y B F l AxO B A 圖 2 E 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 18 of 21 在 Rt ODH 中 設 OH a 則 DH 2a OH 2 DH 2 OD 2 a 2 4a 2 2 2 a 0 a OH DH 點 D 的坐標為 3 存在點 E 使得以點 A E F 為頂點的三角形和 A BB 相似 理由 A OB 由 AOB 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 所得 A OB AOB B A O BAO 又 FBA OBA BFA BOA 即 BF BO A B AB BF BO A O BO AB BF 1 AF AB BF 6 如圖 2 當 AFE A BB 時 有 AE A B AF A B AE 6 OE AE AO 6 2 4 AE 55555 E1 4 0 5 如圖 3 當 AEF A BB 時 有 AE A B AF A B AE OE AO AE 2 6 55 E2 0 綜上所述 存在點 E1 4 0 E2 0 使得以點 A E F 為頂點的三角形和 5 A BB 相似 課后作業(yè) 1 如圖 1 甲 乙兩人分別從 A B 兩點同時出發(fā) 點 O 為坐標原點 點 甲沿 AO 方 A 13 60 向 乙沿 BO 方向均以每小時 4 千米的速度行走 t 小時后 甲到達 M 點 乙到達 N 點 1 請說明甲 乙兩人到達點 O 前 MN 與 AB 不可能平行 2 當 t 為何值時 OMN OBA 3 甲 乙兩人之間的距離為 MN 的長 設 s MN2 求 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式 并求甲 乙兩 人之間距離的最小值 y B F l AxO B A 圖 3 E 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學 相似三角形綜合應用 教師版Page 19 of 21 圖 1 2012 年連云港市中考第 26 題 答案 1 當 M N 都在 O 右側(cè)時 24 1 2 2 OMt t OA 642 1 63 ONt t OB 所以 因此 MN 與 AB 不平行 OMON OAOB 2 如圖 2 當 M N 都在 O 右側(cè)時 OMN B 不可能 OMN OBA 如圖 3 當 M 在 O 左側(cè) N 在 O 右側(cè)時 MON BOA 不可能 OMN OBA 如圖 4 當 M N 都在 O 左側(cè)時 如果 OMN OBA 那么 ONOA OMOB 所以 解得 t 2 462 426 t t 圖 2 圖 3 圖 4 3 如圖 2 24OMt 1 2OHt 3 1 2 MHt 64 1 2 52NHONOHttt 如圖 3 42OMt 21OH