廣東省揭陽市2013屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)(理)試題含答案

1 絕密 啟用前 揭陽市揭陽市 20132013 年年高中畢業(yè)班第二次高考模擬考試高中畢業(yè)班第二次高考模擬考試 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 理科理科 本試卷共本試卷共 4 頁 頁 21 小題 滿分小題 滿分 150 分 考試用時分 考試用時 120 分鐘 分鐘 參考公式 棱錐的體積公式 參考公式 棱錐的體積公式 其中 S 表示棱錐的底面積 h 表示棱錐的高 1 3 VSh 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 8 小題 每小題小題 每小題 5 分 滿分分 滿分 40 分 在每小題給出的四個選項中 只分 在每小題給出的四個選項中 只 有一項是符合題目要求的 有一項是符合題目要求的 1 已知全集UR 則 ACU 21 x Ax y A B C D 0 0 0 0 2 若 其中 a b R i 是虛數(shù)單位 則 12 1ai ibi abi A B C D 1 2 i 5 5 2 5 4 3 已知點 A和向量 2 3 若 則點 B 的坐標(biāo)為 1 5 a 3ABa A 7 4 B 7 14 C 5 4 D 5 14 4 在等差數(shù)列 n a中 首項 1 0 a 公差0d 若 129m aaaa 則的值為m A 37 B 36 C 20 D 19 5 一個棱長為 2 的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖 如圖 1 示 則該幾何體的體積為 A 7 B C D 22 3 47 6 23 3 圖 1 俯視圖 6 已知函數(shù) 則 yf x 的圖象大致為 1 ln 1 f x xx 件 件 件件 件 件 2 7 某市教育局人事部門打算將甲 乙 丙 丁四名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生安排到該市三所不同的 學(xué)校任教 每所學(xué)校至少安排一名 其中甲 乙因?qū)偻粚W(xué)科 不能安排在同一所學(xué)校 則不同的安排方法種數(shù)為 A 18 B 24 C 30 D 36 8 設(shè)是定義在 0 1 上的函數(shù) 對任意的都有 f x1yx 11 1 yx fff xyxy 記 則 2 1 55 n afnN nn 8 1 i i a A B C D 1 2 f 1 3 f 1 4 f 1 5 f 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 7 小題 考生作答小題 考生作答 6 小題 每小題小題 每小題 5 分 滿分分 滿分 30 分 分 一 必做題 一 必做題 9 13 題 題 9 若點在函數(shù)的圖象上 則的值為 1 a 1 3 logyx 4 tan a 10 過雙曲線的右焦點 且平行于經(jīng)過一 三象限的漸近線的直線方程是 22 1 916 xy 11 某個部件由兩個電子元件按圖 2 方式連接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 則部件正常工作 設(shè)兩個電子元件的使 用壽命 單位 小時 均服從正態(tài)分布 2 1000 50 N 且各個 圖 2 元件能否正常工作相互獨立 那么該部件的使用壽命超過 1000 小時的概率為 12 已知函數(shù) 若命題 使 是真命題 4 21f xa xa 0 0 1 x 0 0f x 則實數(shù)的取值范圍為 a 13 已知點滿足則點構(gòu)成的圖形的面積為 P x y 01 02 x xy Q xy y 二 選做題 二 選做題 14 15 題 考生只能從中選做一題 題 考生只能從中選做一題 14 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 在極坐標(biāo)系中 O 為極點 直線過圓 C 的圓心 C 且與直線 OC 垂直 則直線的極坐標(biāo)方程為 2 2cos 4 15 幾何證明選講選做題幾何證明選講選做題 如圖 3 所示 是半圓周上的兩個 C D 三等分點 直徑 垂足為 與相交于4AB CEAB EBDCE 點 則的長為 FBF 件 件 2 件 件 1 圖3 F E DC BA o 3 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 滿分小題 滿分 80 分 解答須寫出文字說明 證明過程和演算步驟 分 解答須寫出文字說明 證明過程和演算步驟 16 本小題滿分 本小題滿分 12 分 分 已知函數(shù) 12sin 2 4 cos x f x x 1 求函數(shù)的定義域 f x 2 設(shè)是第四象限的角 且 求的值 4 tan 3 f 17 本小題滿分 本小題滿分 12 分 分 某批產(chǎn)品成箱包裝 每箱 5 件 一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出 3 箱 設(shè)取出的 3 箱 中 第一 二 三箱中分別有 0 件 1 件 2 件二等品 其余為一等品 1 在取出的 3 箱中 若該用戶從第三箱中有放回的抽取 3 次 每次一件 求恰有兩次 抽到二等品的概率 2 在取出的 3 箱中 若該用戶再從每箱中任意抽取 2 件產(chǎn)品進行檢驗 用 表示抽 檢的 6 件產(chǎn)品中二等品的件數(shù) 求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 18 本小題滿分 本小題滿分 14 分 分 數(shù)列中 是常數(shù) 且成 n a 1 3a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 公比不為的等比數(shù)列 1 求的值 c 2 求的通項公式 n a 3 求最小的自然數(shù) 使 n2013 n a 19 本小題滿分 本小題滿分 14 分 分 在圖 4 所示的長方形 ABCD 中 AD 2AB 2 E F 分別為 AD BC 的中點 M N 兩點分別在 AF 和 CE 上運動 且 AM EN a 02 a 把長方形 ABCD 沿 EF 折成大小為的二面角 A EF C 如圖 5 所示 其中 0 2 1 當(dāng)時 求三棱柱 BCF ADE 的體積 0 45 2 求證 不論怎么變化 直線 MN 總與平面 BCF 平行 3 當(dāng)且時 求異面直線 MN 與 AC 所成角 0 90 2 2 a 的余弦值 20 本小題滿分 本小題滿分 14 分 分 t l y X O MF B A 件 件 5件 件 件 4件 M N M NF D C B A E C F B A ED 4 如圖 6 已知拋物線的準(zhǔn)線為 焦點為 F 2 2 0 C ypx p 圓 M 的圓心在 x 軸的正半軸上 且與 y 軸相切 過原點作傾斜角 為的直線 t 交于點 A 交圓 M 于點 B 且 3 2AOOB 1 求圓 M 和拋物線 C 的方程 2 設(shè)是拋物線C上異于原點的兩個不同點 且 G HO 求面積的最小值 0OG OH GOH 圖 6 3 在拋物線C上是否存在兩點關(guān)于直線對稱 若存在 QP 10m yk xk 求出直線 的方程 若不存在 說明理由 m 21 本小題滿分 本小題滿分 14 分 分 設(shè)函數(shù)在上的最大值為 2 1 n n fxxx 1 1 2 n a1 2 n 1 求的值 12 a a 2 求數(shù)列的通項公式 n a 3 證明 對任意 nN 都有成立 2n 2 1 2 n a n 揭陽市揭陽市 20132013 年年高中畢業(yè)班高考第二次模擬考高中畢業(yè)班高考第二次模擬考 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 理科理科 參考答案及評分說明參考答案及評分說明 一 本解答給出了一種或幾種解法供參考 如果考生的解法與本解答不同 可根據(jù)試題的一 本解答給出了一種或幾種解法供參考 如果考生的解法與本解答不同 可根據(jù)試題的 主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則 主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則 二 對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時 如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容二 對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時 如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容 5 和難度 可視影響的程度決定給分 但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半 如果后和難度 可視影響的程度決定給分 但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半 如果后 續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤 就不再給分 續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤 就不再給分 三 解答右端所注分?jǐn)?shù) 表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 三 解答右端所注分?jǐn)?shù) 表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 四 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)四 只給整數(shù)分?jǐn)?shù) 一 選擇題 一 選擇題 BCDA DACC 解析解析 1 由得 故選 B 210 x 0 x 0 A 2 由得 選 C 12 1ai ibi 1 1 2 ab 22 5 2 abiab 3 設(shè) 由得 所以選 D B x y3ABa 16 59 x y 4 由得 選 A 129m aaaa 5 1 93637mdadm 5 依題意可知該幾何體的直觀圖如右上圖 其體積為 故選 3 1123 221 1 1 323 D 6 令 則 由得即函數(shù) ln 1 g xxx 1 1 11 x g x xx 0 g x 0 x 在上單調(diào)遞增 由得 即函數(shù)在上單調(diào)遞 g x 0 0g x 10 x g x 1 0 減 所以當(dāng)時 函數(shù)有最小值 于是對任意的0 x g x min 0 0g xg 有 故排除 B D 因函數(shù)在上單調(diào)遞減 則 1 0 0 x 0g x g x 1 0 函數(shù)在上遞增 故排除 C 所以答案選 A f x 1 0 7 四名學(xué)生中有兩名分在一所學(xué)校的種數(shù)是 順序有種 而甲乙被分在同一所學(xué)校 2 4 C 3 3 A 的有種 所以不同的安排方法種數(shù)是 故選 C 3 3 A 233 433 30C AA 8 因 故 2 1 3 2 55 3 2 1 n nn aff nnnn 11 23 ff nn 8 1 i i a 128 111111 34451011 aaaffffff 故選 C 1111 31 31111 3 14 ffff 二 填空題 二 填空題 9 10 11 12 或 343200 xy 3 4 1 2 a 1 2 a 13 2 14 或 15 cossin20 cos 2 4 2 3 3 6 解析解析 9 依題意得 則 3a 4 tan a 4 tan 3 3 10 雙曲線的右焦點為 漸近線的方程為 所以所求直線方程 22 1 916 xy 5 0 4 3 yx 為即 4 5 3 yx 43200 xy 11 兩個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 2 1000 50 N得 兩個電子元件的使用壽命 超過 1000 小時的概率均為 1 2 p 則該部件使用壽命超過 1000 小時的概率為 2 1 3 1 1 4 Pp 12 由 1 0 0 x 使得0 0 xf 是真命題 得 0 1 0ff 或 12 4 21 0aaa 0 21 21 0 a aa 0 61 21 0 a aa 1 2 a 13 令 則點滿足 在平面內(nèi)畫 xyu yv Q u v 01 02 uv u uov 出點所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖 易得其面積為 2 Q u v 14 把化為直角坐標(biāo)系的方程為 圓心 C 的坐標(biāo)為 2 2cos 4 22 22xyxy 1 1 與直線 OC 垂直的直線方程為化為極坐標(biāo)系的方程為20 xy 或cossin20 cos 2 4 15 依題意知 則 AD 2 過點 D 作 DG于 G 則 AG BE 1 所以30DBA AB 2 3 3 BF 三 解答題 三 解答題 16 解 1 函數(shù)要有意義 需滿足 f xcos0 x 解得 2 分 2 xkkZ 即的定義域為 4 分 f x 2 x xkkZ 2 6 分 12sin 2 4 cos x f x x 22 12 sin2cos2 22 cos xx x 1cos2sin2 cos xx x 2 u 2 1 v u 1 v u 12 o v u 7 8 分 2 2cos2sin cos cos xxx x 2 cossin xx 由 得 又 4 tan 3 4 sincos 3 22 sincos1 是第四象限的角 10 分 2 9 cos 25 3 cos 5 4 sin 5 12 分 14 2 cossin 5 f 17 解 1 設(shè)表示事件 從第三箱中有放回地抽取 3 次 每次一件 恰有兩次取到A 二等品 依題意知 每次抽到二等品的概率為 2 5 2 分 故 5 分 22 3 2336 55125 P AC 2 可能的取值為 0 1 2 3 6 分 P 0 P 1 C C C C 18 100 9 50 C C C C C C C C C 12 25 P 2 P 3 10 分 C C C C C C C C C 15 50 C C C C 1 25 的分布列為 0123 P 9 50 12 25 15 50 1 25 11 分 數(shù)學(xué)期望為 E 1 2 3 1 2 12 12 25 15 50 1 25 分 18 解 1 1 分 1 3a 2 3ac 3 33ac 成等比數(shù)列 2 分 1 a 2 a 3 a 2 3 3 33 cc 解得或 3 分0c 3c 當(dāng)時 不符合題意舍去 故 4 分0c 123 aaa 3c 2 當(dāng)時 由 2n 21 aac 32 2aac 1 1 nn aanc 得 6 分 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 8 1 3a 3c 2 33 3 1 2 2 3 22 n an nnnn 分 當(dāng)時 上式也成立 9 分1n 2 3 2 2 n annnN 8 3 由得 即 102013 n a 2 3 2 2013 2 nn 2 13400nn 分 11 分nN 14 335 2 n 14 181 36 22 令 得 令得 13 分37n 37 20012013a 38n 38 21122013a 使成立的最小自然數(shù) 14 分2013 n a 38n 19 解 1 依題意得平面 2 分 EFDE EFAEEF ADEDEA 由得 45 12 sin45 24 ADE SDE EA 4 分 2 4 BCFADEADE VSEF 2 證法一 過點 M 作交 BF 于 1 MMBF 1 M 過點 N 作交 BF 于 連結(jié) 5 分 1 NNCF 1 N 11 M N 11 MMAB NNEF 11 MMNN 又 7 分 11 MMNNFMCN ABFACEEF 11 MMNN 四邊形為平行四邊形 8 分 11 MNN M 10 11 MNN M 11 MNBCF N MBCF 又面面 MNBCF 面 分 法二 過點 M 作交 EF 于 G 連結(jié) NG 則MGEF CNFMFG NEMAGE 6 分 NGCF 7 分 NGBCF CFBCFNGBCF 又面面面 同理可證得 又 平面 MNG 平面 BCF 9 分 MGBCF面MGNGG MN平面 MNG 10 分 MNBCF 面 3 法一 取 CF 的中點為 Q 連結(jié) MQ NQ 則 MQ AC 或其補角為異面直線 MN 與 AC 所成的角 11 分NMQ 且 0 90 2 2 a 1 2 NQ 22 123 222 MQ G E A B C D F N M N1 M1 E A B C D F N M Q E A B C D F N M 9 12 分 2 2 MN 222 6 cos 23 QMMNNQ NMQ MN QM 即 MN 與 AC 所成角的余弦值為 14 分 6 3 法二 且 0 90 2 2 a 分別以 FE FB FC 所在直線為 x 軸 y 軸 z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 11 分 則 12 1 1111 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 2222 2 ACMNACMN 得 分 13 分 16 cos 32 3 2 AC MN 所以與 AC 所成角的余弦值為 14 分 6 3 20 解 1 即 1 cos6021 22 p OA 2p 所求拋物線的方程為 2 分 2 4yx 設(shè)圓的半徑為 r 則 圓的方程為 4 分 1 2 2cos60 OB r 22 2 4xy 2 設(shè) 由得 1122 G x yH xy0OG OH 0 2121 yyxx 6 分 22 1122 4 4yxyx 12 16x x 1 2 GOH SOG OH 22 22222 1122 11 44 GOH SOGOHxyxy 22 1122 1 44 4 xxxx 256 2 12121212 1 416 4 x xx xxxx x 2 12121212 1 4216 4 x xx xx xx x 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 16 GOH S 12 2xx 面積最小值為 9 分GOH 16 3 設(shè)關(guān)于直線對稱 且中點 4433 yxQyxPmPQ 00 y xD 在拋物線上 4433 yxQyxPC 22 3344 4 4yxyx 10 兩式相減得 11 分 343434 4yyyyxx 34 34 34 4 44 PQ xx yyk yyk 0 2yk 在上 00 y xD 10m yk xk 點在拋物線外 13 分 0 10 x 00 y xD 在拋物線C上不存在