合肥工業(yè)大學(xué)-高等數(shù)學(xué)-下.ppt

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 一 平面點(diǎn)集n維空間 二 多元函數(shù)的概念 三 多元函數(shù)的極限 四 多元函數(shù)的連續(xù)性 第九章多元函數(shù)微分學(xué) 點(diǎn)P0的去心鄰域記為 1 鄰域 例如 在平面上 圓鄰域 在空間中 球鄰域 說明 若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 也可寫成 一 平面點(diǎn)集n維空間 在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域 因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域 平面上的方鄰域?yàn)?可以互相包含 1 內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn) 邊界點(diǎn) 設(shè)有點(diǎn)集E及一點(diǎn)P 若存在點(diǎn)P的某鄰域U P E 若存在點(diǎn)P的某鄰域U P E 則稱P為E的內(nèi)點(diǎn) 則稱P為E的外點(diǎn) 顯然 E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E E的外點(diǎn)必不屬于E 2 區(qū)域 聚點(diǎn)可以屬于E 也可以不屬于E 2 聚點(diǎn) D 若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) 則稱E為開集 若點(diǎn)集E 邊界 則稱E為閉集 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域 連通的開集稱為開區(qū)域 E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界 3 開區(qū)域及閉區(qū)域 例如 在平面上 開區(qū)域 閉區(qū)域 整個(gè)平面是最大的開域 也是最大的閉域 存在一圓盤 可覆蓋整個(gè)區(qū)域 即為有界域 3 n維空間 中點(diǎn)a的 鄰域?yàn)?二 多元函數(shù)的概念 引例 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式 定義1 設(shè)非空點(diǎn)集 點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域 數(shù)集 稱為函數(shù)的值域 特別地 當(dāng)n 2時(shí) 有二元函數(shù) 當(dāng)n 3時(shí) 有三元函數(shù) 映射 稱為定義在D上 的n元函數(shù) 記作 例如 二元函數(shù) 定義域?yàn)閳A域 說明 二元函數(shù)z f x y x y D 圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面 的圖形一般為空間曲面 三 多元函數(shù)的極限 定義2 設(shè)n元函數(shù) 點(diǎn) 則稱A為函數(shù) 也稱為n重極限 當(dāng)n 2時(shí) 記 二元函數(shù)的極限可寫作 P0是D的聚 若存在常數(shù)A 對(duì)一 記作 都有 對(duì)任意正數(shù) 總存在正數(shù) 切 例1設(shè) 求證 證 故 總有 要證 例2設(shè) 求證 證 故 總有 要證 若當(dāng)點(diǎn) 不同值或有的極限不存在 解設(shè)沿直線趨于點(diǎn) 在點(diǎn) 0 0 的極限 則可以斷定函數(shù)極限不存 則有 k值不同極限不同 在 0 0 點(diǎn)極限不存在 以不同方式趨于 在 例3討論函數(shù) 函數(shù)趨于 例4 求 由積的極限運(yùn)算法則 得 例5求 而 故 僅知其中一個(gè)存在 推不出其它二者存在 二重極限 不同 如果它們都存在 則三者相等 例如 顯然 與累次極限 但由例3知它在 0 0 點(diǎn)二重極限不存在 四 多元函數(shù)的連續(xù)性 例如 函數(shù) 在點(diǎn) 0 0 極限不存在 故 0 0 為其間斷點(diǎn) 又如 函數(shù) 在圓周上間斷 結(jié)論 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù) 定理 若f P 在有界閉域D上連續(xù) 則 4 f P 必在D上一致連續(xù) 在D上可取得最大值M及最小值m 3 對(duì)任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致連續(xù)性定理 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì) 證明略 解原式 例5求 例6求函數(shù) 的連續(xù)域 解 內(nèi)容小結(jié) 1 區(qū)域 鄰域 區(qū)域 連通的開集 2 多元函數(shù)概念 n元函數(shù) 常用 二元函數(shù) 圖形一般為空間曲面 三元函數(shù) 有 3 多元函數(shù)的極限 4