金融工程簡介.docx

第一節(jié) 金融工程概述一、 金融工程的基本概念金融工程（Financial Engineering）是20世紀80年代中后期在西方發(fā)達國家興起的一門新興學科。1998年，美國金融學家費納蒂（Finnerty）首次給出了金融工程的正式定義：金融工程包括新型金融工具與金融工序、開發(fā)與實施，并為金融問題提供創(chuàng)造性的解決辦法。該定義不僅強調了對金融工具的運用，而且還強調了金融工具的重要性。金融工具重要包括各種原生金融工具和各種衍生金融工具。原生金融工具有外匯、貨幣、債券和股票交易，而衍生工具有遠期、期貨、期權和互換交易等。金融工序主要指運用金融工具和其他手段實現既定目標的程序和策略，不僅包括金融工具的創(chuàng)新，而且還包括金融工具運用的創(chuàng)新。一般來說，金融工程的概念有狹義和廣義之分。狹義的金融工程主要指利用先進的數學及通訊工具，在各種現有基本金融產品的基礎上，進行不同形式的組合分解，以設計出符合客戶需要并具有特定風險和收益的新的金融產品。而廣義的工程手段則是指一切利用工程化手段來解決金融問題的技術開發(fā)。他不僅包括金融產品設計，還包括金融產品定價、交易策略世界、金融風險管理等各個方面。無論是廣義還是狹義的概念，作為一門新興的學科，金融工程可以被認為是將工程思維引入金融領域，綜合的使用各種工程技術（主要有數學建模、數值計算、網絡圖解和仿真技術等）設計、開發(fā)和實施新型的金融工具盒金融工序，創(chuàng)造性的解決各種金融問題。它是一門將金融學、統計學、計算機技術相結合的交叉學科?！纠?】1993年，法國政府在對R-P化工公司實施私有化（Privatization）時遇到了困難。按照政府的設想，在出售股權的同時，R-P化工公司應將一部分股權售予公司的員工，以保護公司員工的利益，同時也使他們保持工作積極性。但是，R-P公司的員工卻對這一職工持股計劃反映非常冷淡。在政府與公司決定對員工提供10%的價格折扣之后，仍僅有20%左右的員工購買本公司的股票。這樣少的員工持股無疑使R-P化工公司的管理層對員工們未來的工作積極性和人力資源流動狀況深表憂慮，而政府和公司又不愿意提供更多的折扣，承擔更大的成本來吸引員工購股。在這兩難境地中，他們向著名的信孚銀行（Bankers Trust）求助。 信孚銀行所面臨的問題： 1、 原計劃的預期收益無法抵補預期所承擔的風險，企業(yè)員工的投資欲望不強；2、 認購比例達不到管理層的預期，違背了計劃的初衷。信孚銀行提出的方案：由R-P公司出面向員工保證其持有的股票在4年半內獲得25%的回報率，同時其股權所代表的表決權不受影響，并且員工可以獲得未來股票二級市場價格上漲所帶來的資本利得的2/3，而剩余部分則作為對R-P公司所提供的最低回報率的補償。該方案產生了以下效果： R-P化工員工在不影響其股票表決權的同時還能獲得最低收益保障，這使得員工的購股興趣大增；R-P化工公司只需支付較低的成本就可以利用員工持股，在這一定程度上解決了困擾企業(yè)發(fā)展的激勵問題和信息問題；如果二級市場價格上升該公司還能獲得員工持股的1/3溢價部分，如果市場境況不佳，R-P化工公司也不無須承擔股價下跌的風險。總之，信孚銀行的方案是R-P公司成功地向員工出售了股票，并且只需承擔比原先折扣優(yōu)惠更低的成本。二、 金融工程的核心分析原理和技術（一） 金融工程的核心分析原理金融工程的核心分析原理是無套利均衡理論。鑒于金融產品和交易的特點，人們往往很難準確描述資產的供求曲線和均衡時的變化特征，但如果可以將資產頭寸和市場上其他資產的頭寸相結合，構造一個市場均衡時不能產生無風險收益的組合頭寸，那么，在市場有效性的前提下，均衡問題便迎刃而解。無套利意義下的價格均衡規(guī)定了市場的一種穩(wěn)定態(tài)，一旦資產價格發(fā)生偏離，套利者的力量就會迅速引起市場的糾偏反應，價格重新調整至無套利狀態(tài)。從一定意義上說，無套利均衡原理抓住了金融市場均衡的本質。（二） 金融工程的核心分析技術金融工程的核心分析技術是組合和分解技術。所謂的“組合和分解技術”就是指利用基礎性的金融工具來組裝具有特定流動性及收益、風險特征的金融產品，或者是將原有相關金融產品的收益和風險進行剝離，并加以重新配置，以獲得新的金融結構，使之具備特定的風險管理功能，以有效滿足交易者的偏好和需要。組合和分解技術并不是一種隨意的“積木”游戲，而是無套利均衡原理的具體應用。不管在多大的范圍，以何種方式進行組合和分解，必須緊緊圍繞著“無套利均衡”這個中心。組合和分解技術又被稱為“復制技術”，即用一種（或一組）金融工具來“復制”另一種（或一組）金融工具，其要點是時復制組合的現金流與被復制組合的現金流特征完全一致，復制組合和被復制組合實現完全對沖。（三） 金融工程運作金融工程作為金融創(chuàng)新的手段，其運作可分為六個步驟：1、 診斷：識別金融問題的實質和根源。2、 分析：根據當前的體制、技術和金融理論找出解決問題的最佳方案3、 生產：運用工程技術方法從事新金融產品（工具或策略）的生產。4、 定價：在生產成本和收益的權衡中確定新產品的合理定價。5、 修正：根據不同客戶的需求進行修正。6、 商品化：將為特定客戶設計的方案標準化，面向市場推廣。以上六個步驟涵蓋了可行性分析、產品的性能目標確定、方案的設計優(yōu)化、產品的開發(fā)、定價模型的確定、仿真的模擬實驗、小批量的應用和反饋修正，直到大批量的銷售、推廣和應用。在各個環(huán)節(jié)緊密有序，大部分創(chuàng)新的新進入產品，成為運用金融工程創(chuàng)造性解決其他相關金融財務問題的工具，即組合型產品的基本單元。三、 金融工程學的發(fā)展（一） 金融學得描述性階段在20世紀的50年代以前，金融學是經濟學的一個分支，但此時的研究大多依賴于經驗分析而不是理論上的、合乎規(guī)范的探討，也沒有在分析中引入系統的數量分析方法。但在這一階段提出了兩個重要的理論，為后來的金融工程學打下了堅實的基礎：一是凈現值法，美國經濟學家費雪（Irving Fisher）在1896年提出了關于資產的當前價值等于其未來現金流量折現之和的思想，這一思想對后來的資產定價理論的發(fā)展起到了奠基石的作用；二是效用理論，它是由馮諾依曼（Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）在1944年提出的，效用理論描述了投資者的風險態(tài)度，是一種幫助人們在更廣的范圍內描述收益與風險的方法。（二） 金融學的分析性階段一般認為現代金融理論起始于20世紀50年代初馬克維茲（Harry Markowitz）提出的投資組合理論。馬克維茲理論的基本結論為：在一系列理論假設的基礎上，證券市場上存在著有效的投資組合。在證券允許賣空的條件下，證券組合前沿是一條雙曲線的一支；在證券不允許賣空的條件下，證券組合前沿是若干段雙曲線的拼接。證券組合前沿的上半部分稱為有效前沿；也就是說，在有效前沿上的投資組合是收益固定是方差最小的證券組合，或者說是方差固定時收益最大的證券組合，這就將投資者的資產選擇問題轉變成一個給定目標函數和約束條件的線性規(guī)劃問題。該理論不僅奠定了現代有價證券組合理論基礎，而且也被看做分析金融學的開端，并對后來的現代證券組合理論研究產生了重大的影響。1965年9-10月，芝加哥大學的法犸（Fama）提出了有效市場假說。有效市場假說認為，在一個有效市場上，股票的內在價值可以通過其市場價格表現出來；一種資產當前的價格能夠完全反映出影響這一資產價值的現在和未來經濟基本因素的所有公開可得信息。20世紀50年代后期，金融學在研究方法上從經濟學中獨立出來，莫迪格里亞尼(F. Modiogliani)和米勒(M.Millier)在研究公司資本結構和公司價值的關系時發(fā)表了一系列論文，探討公司財務政策是否影響公司的價值，他們的結論是：在理想的市場條件下，公司的價值與這些政策無關。該結論被稱為MM定理，并為公司財務這門學科奠定了基礎。與此同時，他們也首次提出了無套利假設，無套利假設是指在一個完備的金融市場中不存在套利機會（即確定的低買高賣之類的機會）。他們在論證過程中應用了“無套利”（no-arbitrage）分析方法，此方法的核心內容是對金融市場的某項“頭寸”進行估值和定價。分析的基本方法是將這項頭寸與市場中其他金融頭寸組合起來，構筑起一個在市場均衡條件下無法不承受風險的超額利潤的組合頭寸，并由此測算出該項頭寸在市場均衡時的價值。20世紀60年代早期，約翰遜（Leland Johnson）和杰羅斯（Jerose Stein）把證券組合理論拓展到套期保值的研究中，從而形成了現代套利保值理論。以夏普（William Sharpe）、林特納（John Lintner）和莫辛（Jan Mossin）為代表的一批學者，把注意力從馬克維茲的對單個投資者的微觀主體研究轉向整個市場的研究，考慮所有遵循馬克維茲假設下的投資者的共同行為將導致怎樣的市場狀態(tài)，并在1964年和1965年創(chuàng)造性的提出了著名的資本資產定價理論（CAPM）。但CAPM嚴格的假設條件卻給經驗驗證造成了很大的障礙，使得人們不得不致力于假定條件進行修改，以使其更符合實際。20世紀70年代，邁耶斯 (Mayers)、羅伯特莫頓 (Robert Merton)、艾爾頓和格魯伯 (Elton and Gruber)為代表的學者，放松了資產定價模型中的某些假定條件,得出一些有意義的結論。以費歇布萊克和梅隆斯科爾斯 (Fisher Black and Myron Scholes)、羅斯 (Ross)為代表的學者，基本放棄CAPM假定，以新假定條件為出發(fā)點重新建立 模型，從而分別提出：第一個完整的期權定價模型和套利定價理論,即 APT- Arbitrage Pricing Theory。期權定價模型和套利定價理論的提出，標志著分析性現代理論開始走向成熟，也可以說完成了現代金融理論從描述性科學向分析性科學的飛躍。馬克維茲的投資組合理論以及布萊克-斯科爾斯提出的期權定價模型，是在較強的數學框架下得出的，并由此建立了分析金融學理論，有人稱之為“華爾街的兩次數學革命”，之后的內容就按照這兩個理論展開的。第二節(jié) 資產組合理論與資本資產定價模型一、證券組合管理理論概述（一） 現代證券組合理論的產生1952年，哈里馬克維茲發(fā)表了一篇題為證券組合選擇的論文。這篇著名的論文標志著現代證券組合理論的開端。馬克維茲考慮的問題是單期投資問題：投資者在某個時間（稱為“期初”）用一筆自有資金購買一組證券并持有一段時間（稱為“持有期”），在持有期結束時（稱為“期末”），投資者出售他在期初購買的證券并將收入用于消費或再投資。馬克維茲在考慮這個問題時，第一次對證券投資中的風險因素進行了正規(guī)闡述。他注意到一個典型的投資者不僅希望“收益高”，而且希望“收益盡可能確定”。這意味著投資者在尋求“預期收益最大化”的同時也追求“收益的不確定性最小”，在期初進行決策時必然力求使這兩個相互制約的目標達到某種平衡。馬克維茲分別用期望收益率和收益率的方差來衡量投資的預期收益水平和不確定性（風險），建立均值方差模型來闡述如何全盤考慮上述兩個目標，從而進行決策。推導出結果是，投資者應該通過購買多種證券而不是一種證券進行分散投資，（二） 現代證券組合理論的發(fā)展在投資者只關注“期望收益率”和“方差”的假設前提下，馬克維茲提供的方法是完全精確的。然而這種方法所面臨的最大問題是其計算量太大，特別是在大規(guī)模的市場存在著上千種證券的情況下。在當時，即使是借助計算機也難以實現，更無法滿足實際市場在時間上近乎苛刻的要求。這嚴重阻礙了馬克維茲方法在實際中的應用。1963年，馬克維茲的學生威廉夏普提出了一種簡化的計算方法，這一方法通過建立“單因素”模型來實現。在此基礎上后來發(fā)展出“多因素模型”，希望對實際有更精確的近似。這一簡化形式使得將證券組合理論應用與實際市場成為可能。特別是20世紀70年代計算機的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場化，極大的促進了現代證券組合理論在實際中的應用。當今，多因素模型已被廣泛應用在證券組合中普通股之間的投資分配；而馬克維茲模型則是被廣泛應用與不同類型證券之間的投資分配上，如債券、股票、風險資產和不動產等。早在證券組合理論廣泛傳播之前，夏普（William Sharpe）、林特納（John Lintner）和莫辛（Jan Mossin）三人幾乎同時獨立的提出了以下問題：“假定每個投資者都使用證券組合理論來經營他們的投資，這將會對證劵定價產生怎樣的影響？”他們在回答這一問題時，分別于1964年、1965年、1966年提出了著名的資本資產定價模型（CAPM）。這一模型在金融領域盛行十多年。1976年，理查德羅爾對這一模型提出了批評，認為該模型永遠無法用經驗事實來檢驗。與此同時，史蒂夫羅斯突破性的發(fā)展了資本資產定價模型，提出套利定價理論（APT）。這一理論認為，只要任何一個投資者都不能通過套利獲得收益，那么期望收益一定與風險相聯系。這一理論只需較少的假定。羅爾和羅斯在1984年認為這一理論至少在原則上是可以檢驗的。二、證券組合理論分析（一）投資者的風險偏好分析1.1 風險與風險厭惡在一般的投資分析中，我們都假設投資者是風險厭惡的。風險是對投資者預期收益的背離，或者說是收益的不確定性。在投資活動中，投資者投入的本金是當前行為，數額是確定，目的是希望獲得預期的收益，但在持有投資資產的時間內，有很多因素可能使預期收益減少甚至使本金遭受損失，而且相隔時間越長，預期收益的不確定性越大。大量事實證明，投資者普遍是風險厭惡的，即人們在投資決策時，總是希望預期收益越大越好，而風險越小越好，即會選擇預期收益更大，而風險更小的投資，在預期收益相同時，會選擇風險較小的投資，或在風險相同時，會選擇預期收益較大的投資，但如果預期收益和風險都要高，如下圖所示，i資產的承擔了較高的風險也獲得了較高的預期收益。此時投資決策就取決于投資者的風險偏好，即收益率的增加能否彌補投資者個人對風險補償的要求。如果投資者A認為增加的預期收益率恰好能補償增加的風險，即i與j兩種資產的滿意程度相同，則兩種資產是無差異的；如果投資者B認為增加的預期收益率不足以補償增加的風險，則j令他更滿意，即j比i好；如果投資者C認為增加的預期收益率超過了增加風險的補償，i比j更令人滿意，即i比j好。實際上，在風險相同的情況下，投資者要求的預期收益率補償越高，表明該投資者對風險約厭惡。在上述三位投資者中，B對風險厭惡的程度最高，最保守，A次之，而C的風險厭惡程度最低，最具冒險精神。1.2 投資者的無差異曲線一個特定的投資者，任意給定一個資產，根據他對風險的態(tài)度，按照預期收益率對風險補償的要求，可以得到一系列滿意程度相同的證券或組合。如下圖所示，某投資者認為經過j的那一條曲線上所有資產或組合對他的滿意程度相同，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。根據無差異曲線，任何資產或組合均可與資產j進行比較。在圖中，對該投資者而言，資產i與j無差異，無差異曲線上方的資產k比j好，而無差異曲線下方的資產l比j壞。無差異曲線同樣，也有一系列資產或組合與k和l無差異，從而形成經過k和l的無差異曲線。實際上，任何一個資產或組合都將落在某一條無差異曲線上，而落在不同的無差異曲線上則有無差異曲線族不同的滿意程度。一個資產或組合不會同時落在兩條不同的無差異曲線上，即兩條無差異曲線不會相交。此外，無差異曲線的位置越高，所帶來的滿意程度也越高。對于一個特定的投資者而言，所有的無差異曲線形成一個曲線族，稱為該投資者的無差異曲線族。無差異曲線的數量是無限的，而且將密布整個平面。對于風險回避者而言，投資者的無差異曲線具有以下特點：1）向右上方傾斜，表明收益與風險之間是正相關的；2）凸向坐標軸，表明投資者邊際風險的收益替代率遞增，或邊際收益的風險替代率遞減；3）在同一坐標軸平面不能相交；4）充滿整個坐標平面，表明無差異曲線系統是對投資者滿足程度或效用的完全反映；5）左上方的無差異曲線比右下方的無差異曲線給投資者帶來的滿足程度或效用更大。1.3 風險厭惡程度與無差異曲線一般情況下，無差異曲線越陡峭表明風險越大，投資者要求的邊際收益補償也越大，但不同投資者厭惡風險的程度不同，也就有著不同的無差異曲線族。下圖表示了高風險厭惡者、中等風險厭惡者、輕微風險厭惡者的無差異曲線族。 高度風險厭惡者 中等風險厭惡者 輕微風險厭惡者在某些極端的情況下，有些投資者只關心風險，風險越小越好，對預期收益毫不在意，這類投資者的無差異曲線是一族直線，而另一類投資者對風險毫不在意，只關心預期收益，收益越高越好，這類投資者的無差異曲線是一族水平線。 只關心風險的投資者 只關心預期收益的投資者（二）資產的關聯性與風險分散投資組合的業(yè)績取決于組合中各項資產的收益，分散投資后的收益就是各項資產收益的加權平均，但投資組合的風險則更復雜，并不是各項資產的加權平均，而取決于兩個因素：一是單個資產的風險，二是不同資產之間的聯動性。2.1 相關系數在統計學中，衡量資產收益之間聯動性的一種方法是相關系數，可用來衡量任意兩種資產收益之間的關系程度。相關系數是一個取值范圍在-11、度量相關性的指標。相關系數為1時表示完全正相關，相關系數為-1時表示完全負相關，相關系數為0表示零相關（或相互獨立）。1、完全正相關在完全正相關時，收益之間是完全的直線相關關系。投資者知道其中一種資產的收益就可以完全預測另一種資產的收益。在下表中，股票A和B在19931998年的6年中有相同的收益形態(tài)，當股票A的收益上升時，股票B的收益也上升，反之亦然。當收益正相關時，投資組合的風險就是單個資產風險的加權平均。年份股票A股票B投資組合AB（1：1）19930.360.360.361994-0.12-0.12-0.121995-0.1-0.1-0.119960.340.340.341997-0.06-0.06-0.06199平均收益2標準差0.2150.2150.215長期收益正相關的資產組合的收益率2、完全負相關在完全負相關的情況下，資產的收益是完全相反的線性關系。當一個資產的收益升高時，另一個資產的收益則降低。下表中的股票A和C呈完全負相關的關系，其實際收益與均值（12%）之間的差異消除了，使得投資組合的收益為12%。這一投資組合沒有風險，它將在持有期內固定產生每年12%的收益，而且平均收益也為12%。年份股票A股票C投資組合AC（1：1）19930.36-0.120.121994-0.120.360.121995-0.10.340.1219960.34-0.10.121997-0.060.30.1219980.3-0.060.12平均收益2標準差0.2150.2150.000長期收益負相關的資產組合的收益率3、零相關在零相關的情況下，資產收益之間沒有線性相關。把兩種零相關的資產組合在一起可以降低投資組合的風險。如果更多沒有相關性的資產加入到資產組合中可以更顯著的降低風險，但在這種情況下風險不能完全被消除。4、不完全正相關下表中的兩種資產，股票A和D正相關程度為0.55，這也是投資者通常會遇到的情況。我們可以發(fā)現每只股票的標準差仍為0.215，平均收益為0.12，但按1：1組合后，風險在某種程度上降低了，變?yōu)?.18。任何風險的降低都不會對收益產生負面影響。在正相關的情況下，風險可以降低但不可能完全消除。對投資者而言，最理想的是能找到負相關或正相關性較低的資產，但通常遇到的資產都具有一定的正相關性。年份股票A股票D投資組合AD（1：1）19930.360.250.3051994-051995-4519960.340.280.311997-0.06-0.35-0.2051996平均收益2標準差0.2150.2150.1802.2 協方差1、協方差的含義由于資產收益之間普遍存在著相關性，因而必須量化互動性的實際程度，并將其應用到投資組合風險的度量中，因為這種互動性影響到投資組合的方差（或標準差），協方差可以做到這一點。協方差是兩個資產收益的相關程度的絕對度量方法，與相關系數相同，協方差也可以是：正數，表明兩個資產的收益傾向于同時同方向變動，一個上升或下降時，另一個也做相同變動。協方差為正數時，相關系數也為正。負數，表明兩個資產的收益傾向于反向變動，一個上升或下降時，另一個做反向變動。協方差為負數時，相關系數也為負。零，表明兩個資產的收益獨立變動，并且沒有同方向或反方向變動的趨勢。2、協方差的計算在預期基礎上計算協方差的公式為：根據歷史數據同樣可以計算協方差：兩種資產的協方差有以下性質：；如果A、B兩種資產相互獨立，則有3、協方差與相關系數的聯系協方差與相關系數之間關系可用下式來表示：即相關系數是協方差除以兩個收益的標準差，由上式可知： 完全正相關 不完全正相關 不相關 完全負相關相關系數越小，特別是負相關的資產組合，其分散化效應就越大，相關系數越大，特別是正相關的資產組合，其分散化效應就越小。如當鐵路股票受損失時，航空股票就會獲益，兩者的收益率呈負相關，兩者的投資組合將會顯著降低風險，分散化效應較為明顯；相反的，若將輪胎公司和汽車公司的股票結合在一起，由于兩者的收益率呈正相關，它們的投資組合就不會降低風險，也沒有什么分散化效應。（三）資產組合的收益與風險3.1 兩種資產組合的收益與風險1、收益假設有兩種資產A和B，其預期收益率分別為和，則分別以xA和xB的比例投資于兩種資產構成的投資組合的預期收益為：投資組合的預期收益率是各資產預期收益率的一種線性組合，因為xA+xB=1，則有xA1投資組合預期收益率與持有資產A比例的線性關系上圖表明投資組合預期收益率為xA的線性函數。xA可以為負，此時投資者可以賣空資產A，并將所得的資金連同自有資金買入資產B，則xB大于1。當然在允許賣空時，xA也可以大于1，表明投資者賣空資產B。在上圖中，實線部分表明不允許賣空的情況，延長線則表明允許賣空的情況。2、風險A、B兩種資產組成的投資組合的風險，用收益的標準差計算如下：由上式可見，投資組合的風險大小取決于：持有的每一種資產的比例；持有資產的方差（或風險）；資產之間的相關程度。給定資產的方差和相關程度后，選擇不同的投資比例，就可以得到不同的投資組合，從而得到不同的預期收益率和標準差。例：19922001年可口可樂和Duke能源股票的平均收益率分別為12.12和15.16，標準差分別為21.58和25.97，相關系數為0.29，假定投資于每只股票的資金相同，則組合的標準差為：3、相關性與兩種資產組合的風險例：假設A、B兩公司的標準差分別為37.3%和23.3%，如果投資權重各占一半，則在不同相關系數下，該組合的標準差分別為： 如果相關系數為1，組合標準差為30.3%；如果相關系數為0.5，組合標準差為26.5%；如果相關系數為0.15，組合標準差為23.4%，如果相關系數為0，組合標準差為22%；如果相關系數為-0.5，組合標準差為16%；如果相關系數為-1，組合標準差為7.0%。由上可見，如果將相關性較低的資產組合在一起，投資組合的風險將會降低。1）完全正相關下兩種資產組合的風險完全正相關時，則即此時，投資組合的風險為投資比例的線性函數。此時A、B兩種資產組成的組合就是連接這兩點的直線，如下圖所示。E(rp)AB=1=-1=-0.5=0相關系數不同的資產組合2）完全負相關下兩種資產組合的風險在完全負相關時，。則此時存在一個投資比例使投資組合的標準差為0，令，可得，即按上述比例進行投資，就可以使組合的風險降為0。3）不相關下兩種資產組合的風險在不相關下，則此時存在一個最小方差組合，令，可得：， 此時最小標準差為：4）不完全相關下兩種資產組合的風險令可得最小方差組合為：，注意xA可能為負值，如果為負表明投資者需要賣空資產A才能得到最小方差組合。3.2 N種資產的情況1、收益：2、風險：投資組合風險是各單項資產風險和資產之間協方差的函數，以方差來表示投資組合風險如下： （）上式可簡化為：3、協方差的重要性當我們將一個新的資產添加到一個由很多投資組成的投資組合之中，會發(fā)生兩種影響：一是資產本身的風險被加入到投資組合的風險之中；二是新資產與其他資產之間兩兩對應的協方差也被加入到投資組合中。隨著投資組合中資產數量的增加，單項資產自身風險的重要性降低，而協方差的重要性逐步上升。例如一個有100種資產的投資組合，每種資產自身的風險對投資組合風險的貢獻非常小，投資組合的風險基本上由資產之間的協方差風險組成。組合中方差與協方差的項數與構成組合的證券種數之間的關系構成組合的資產種數組合中方差總項數組合中資產方差的項數組合中協方差的項數111024223936101001090100100001009900NN2NN2 -N（四） 有效投資組合與最優(yōu)投資組合4.1 有效投資組合有效投資組合是指投資者以預期收益率和標準差作為衡量資產組合標準時所選擇的最優(yōu)組合。1、可行集與有效集可行集又稱機會集，是所有資產各種可能組合的全部集合。一般來說，投資者的可行集無窮無盡，即使在資產組合數目一定的情況下，由于投資比例可以有不同組合，可行集也是無法窮盡的。因此投資者不可能也沒有必要根據可行集做出投資決策。有效集是指有效投資組合，即最優(yōu)投資組合的全部集合。有效集一旦確定，投資者即可根據自身的偏好選出滿足其偏好的最優(yōu)投資組合。2、有效集的標準1）風險相同時，收益高比低好；2）收益相同時，風險小比大好。3、有效集的確定如上圖所示，曲線圍成部分表示所有可能投資組合的可行集，每一投資者組合的風險-收益組合可被上述坐標軸里的任意點所決定。從圖中可以看出，有些風險和收益組合比其他組合更令人滿意，尤其是可行集左上方的邊界，這是最滿意風險組合的集合，這就是有效邊界。位于有效邊界上的組合都優(yōu)于所有的內部各點。如S和V比，收益率相同，而風險較大；S與Q比，風險相同而收益率較低。因此在S、V、Q三點都存在的情況下，沒有人愿意選S點。投資組合的可行域有效邊界上的所有點構成一有效集，有效集是由那些風險一定而收益最高，或收益一定而風險最小的投資組合構成。尋找有效集的過程，實際上是以下兩個問題的優(yōu)化過程：一是約束風險，求收益最大的問題；二是約束收益，求最小風險的問題。4.2 最優(yōu)投資組合的選擇根據投資者的無差異曲線和投資組合的有效集，就可以確定投資者的最優(yōu)投資組合。將無差異曲線系統與有效集放在一起，兩者的切點就是最優(yōu)投資組合。在下圖中，無差異曲線I2與有效集的切點B就是投資者選擇的最優(yōu)投資組合。（五）無風險資產與風險資產的組合在前面的分析中，有效集上的資產組合都是由風險資產構成的，這里我們將考慮無風險資產納入投資組合選擇之中的情況。首先，投資者不僅能投資于風險資產，也可以投資于無風險資產，其次投資者將被允許借入資金，但須支付與貸出相同的利率，即投資者可以賣空一定比例的無風險資產。5.1 無風險資產無風險資產是指在持有期間具有確定收益率的資產。由于無風險資產的最終價值沒有任何不確定性，故其標準差應為0，而且無風險資產與任意風險資產之間的協方差也為0。根據無風險資產的定義，由于公司發(fā)行的證券都存在違約的可能性，所以無風險資產只能選擇政府發(fā)行的證券，但并不是所有政府證券都可以視為無風險資產。如果投資者有一筆持有期為3個月的資金，他購買了10年到期的國債，這樣的一種資產是有風險，因為投資者不知道在投資期末這筆資產到底值多少錢，因為利率可能以不可預料的方式變化，利率風險的存在使得該政府債券具有不確定性，也就不能被視為無風險資產。再考慮一種政府債券，它在投資者的持有期結束之前到期，如30天到期的政府債券，但投資者的資金持有期為3個月，此時投資者在持有期期初不知道30天以后的利率，而這個利率正是投資者將其30天到期政府債券的收益在剩下持有期內進行再投資的基礎。所有到期日少于投資者投資期的政府債券都存在這種再投資利率風險，而這種風險的存在也意味著這樣一些證券同樣不能被視為無風險資產。這樣以來，只有到期日與投資者投資期長度相匹配的政府債券才可以作為無風險資產。5.2 無風險資產與風險資產的組合根據對無風險資產的定義，無風險資產收益率的標準差為0，預期收益率rf為一常數。由風險資產A與無風險資產構成的投資組合的預期收益率為：由于，則假設，則該投資組合的預期收益率為：，標準差為：。由以上兩式可消去xA，可得：無風險資產與風險資產構成的投資組合上圖中的直線就代表了與之間的關系，其中rf至A的線段表示以無風險利率貸出部分資金和投資于風險資產的組合，H點即為上例中的組合。如果允許無風險借入，則點A右上方的點可行，表示賣空無風險資產以籌集資金投入風險資產，借入越多，離A點就越遠，投資者的風險和預期收益率也將隨之增大。如果把無風險貸出看作對無風險資產的投資，則無風險借入就好比購買股票的保證金交易。假設一投資者有1萬元，再借入1萬元，全部共2萬元投資于資產A，則其持有比例為xA=2，1-xA=-1.0。該投資組合的預期收益為30%，標準差為57.4%。可見，當無風險借入利率低于風險資產的預期收益率時，無風險借入具有提高投資組合預期收益率和風險的作用。5.3 最優(yōu)風險資產組合引入無風險資產后，新的可行投資組合將包含無風險資產與所有可行的風險資產組合的再組合，這里也可以將風險資產組合視為一種風險資產。這樣，無風險資產與所有可行的風險資產組合的再組合就是從無風險資產發(fā)出的經過該風險資產組合的一系列射線。如上圖所示，經無風險利率所在的F點作一條與有效邊界相切的切線，切點為M。M點具有以下特點：首先，M點是一個風險資產組合，既未借入也未貸出無風險資產，這個風險組合在沒有無風險資產時就已是一個有效組合，現在仍是有效組合；其次，將無風險資產引入資產組合后，所有有效組合將由無風險資產與風險資產組合M的組合來產生，無論投資者對風險持何種態(tài)度，他擁有風險資產的最好組合都是M。此時風險厭惡程度將體現在不同投資者會在FM這條射線上獲得不同位置，這些位置均由無風險資產與風險資產組合M之間的組合產生。如果投資者相對保守一些，不愿承擔太大的風險，則可以同時買入適量的無風險資產與風險資產的組合M，從而獲得FM之間的某個組合；如果投資者更愿意冒險一些，希望承擔更大一些的風險，則投資者可以借入無風險資產并將所獲收入連同自有資金投資于風險資產組合M，從而獲得M點右上方的組合?？梢姡L險資產組合M極大的簡化了對投資組合的選擇，投資者只須根據自己的偏好程度決定借入或貸出多少無風險資產即可，剩余資金的投資將只有一種適當的風險組合M是唯一最佳的選擇。因此我們把風險資產組合稱為最優(yōu)風險組合或切點組合。最優(yōu)風險組合的存在將投資者愿意承擔多大風險的所謂金融決策與具體確定持有多種風險資產比例的投資決策分離開來，因此這一特性通常被稱為分離定理。5.4 切點組合的計算假設有n種風險資產S1、S2、Sn，其預期收益率分別為、，方差-協方差矩陣為：為Si收益率的方差，為Si和Sj的協方差，且；另外還存在一種無風險資產F，收益率為rf，rf是一個常數，F的方差為0，F與Si的協方差也是0。作F，S1、S2、Sn的一個組合p（y，x1，x2，xn），其中，則，這一組合的期望收益率為：組合的方差為：切點組合的問題就是：給定期望收益率，求x1、x2、xn使方差最小，即求解一個條件極值問題：作拉格朗日函數：將函數L對各個變量xi求導，并令其等于0，得到方程組：兩端除-后，移項得：再令，得到含有n個未知量的方程組：由于方程組的系數行列式不等于0（因為協方差矩陣為正定陣），故由上面方程組可以解出唯一的一組解y1、y2、yn，再令則有例：設有兩種風險資產S1和S2，期望收益率和風險分別為：，二者的協方差，再設無風險資產F的收益率為4%，求F，S1和S2的切點組合和有效邊界。根據上面的結果，有代入數據得：可解得y1=1.776，y2=2.408，z1=0.424，z2=0.576切點組合為（42.4%，57.6%）再求切點組合M的坐標：，有效邊界是連接點F（0，4%）和點M（10.33%，8.46%）的直線，它的方程是：三、資本資產定價模型（一） 資本市場均衡本資產定價模型（CAPM）是關于資本市場理論的模型，是在馬柯維茨的投資組合理論基礎上發(fā)展起來的。馬柯維茨的投資組合理論通過數學規(guī)劃的原則，系統闡述了如何通過有效的分散化來選擇最優(yōu)的投資組合，但這一理論具有一定的局限性，即偏重規(guī)范性分析（投資者應如何去行動），而缺乏實證性分析（投資組合的風險收益如何度量）。在資產投資組合分析中，投資者最關心的是資產的收益-風險關系，但馬柯維茨的投資組合理論并不能確定最高收益和所能承擔的最大風險，投資者也無從知道證券該分散到何種程度才能達到低風險高收益的最佳組合。為解決這些問題，夏普在馬柯維茨投資組合理論的基礎上對證券價格的風險-收益關系進入了深入研究，并于1964年提出了資本資產定價模型。此后，林特納（1965）和莫森（1966）又分別獨立提出了資本資產定價模型。CAPM較好的描述了證券市場上投資者行為準則，這些準則導致了證券均衡價格、證券收益-風險的均衡狀態(tài)。1.1 資本資產定價模型的基本假設資本資產定價模型對資本資產的定價問題從理論上給出了一個十分完美的解答，以一個簡捷的方程描述了單個資產收益與市場收益之間的關系。這一模型是建立在一些嚴格條件之上的，盡管有些假設與現實不符，但還是抓住了一些主要因素，對實際問題在一定程度上給出了有力的說明，具有一定的指導作用。資本資產定價模型考慮的是一個單一期限的情形，投資者在期初進行投資，在期末賣出資產，期間不考慮消費問題，同樣假設市場上存在N個風險資產和1個無風險資產，同時假設：1）所有資產均為責任有限的，即對任何資產，其期末價值總是大于或等于零；2）市場是完備的，即不存在交易成本和稅收，而且所有資產均為無限可分割的；3）市場上有足夠多的投資者使得他們可以按市場價格買賣他們所想買賣的任何數量的任何可交易資產；4）資本市場上的借貸利率相等，且對所有投資者都相同；5）所有投資者均為風險厭惡者同時具有不滿足性，即對任何投資者，財富越多越好；6）所有投資者都追求期末財富的期望效用最大化；7）所有投資者均可免費地獲得信息，市場上信息是公開的、完備的；8）所有投資者對未來具有一致性的預期，都正確地認識到所有資產的收益服從聯合的正態(tài)分布；9）對于任何風險資產，投資者對其評價有兩個主要的指標：風險資產收益辜的預期和方差，預期代表收益、方差（或標準差）代表風險。前四個假設對資本市場的一種理想化假定，概括起來，其實質是認為一個理想的市場應該是完備的、無摩擦的，從而對資源的配置是有效的。當然，這種理想的市場在現實中是不存在的，但我們可以對這些條件進行放松，并發(fā)現放松后對原來的結果影響不是根本的，即是說，這些理想的假設抓住了主要矛盾，結果也就十分有意義。同時，隨著科學技術尤其是信息技術的發(fā)展現實中的資本市場也正一步一步地向這一理想市場靠近。假設5）、6）、8）、9）是關于投資者的假設。風險厭惡的假設是有代表性的，當然我們并不否認存在風險偏好的投資者；同時這些假設還對投資者的選擇標準給出了說明；而假設7）則是關于市場有效性的假設。1.2 資金借入與貸出資本市場理論一般假定，市場上存在可供投資的無風險證券，且投資者可根據其意愿以無風險利率rf隨意借入和貸出。在此基礎上，投資者還可以將無風險資產與風險資產的投資組合M混合起來，得到要求的風險-收益率組合。假定投資于無風險資產的比例為w，則無風險資產與風險資產組合的期望收益率為：考慮三種不同情形的投資選擇：一是貸出無風險資產和投資于風險資產；二是僅投資于風險資產；三是借入無風險資產并投資于風險資產。不同借貸組合情況下的風險與收益率無風險資產比重w無風險利率風險資產比重風險資產收益率風險資產的標準差投資組合收益率投資組合的風險0.55%0.510%0.27.5%0.105%110%0.210%0.2-0.55%1.510%0.212.5%0.3圖6-1 可性集與有效集圖6-2 引入無風險資產后的有效集圖6-1和6-2描述了無風險資產的借入和貸出將原來的有效集（即投資機會）改變成了直線AT，與原有效集相切于T，包含了所有風險投資組合M與無風險借貸的組合。E(Rp)rfMI1I0I2圖6-3 無風險借貸對投資者效用的影響如圖6-3所示，無風險資產的引入可以允許投資者在一系列不同風險、不同預期收益的可能組合資產中進行選擇，從而得到較高的無差異曲線。若沒有無風險資產，投資者只能選擇M點，而引入無風險資產后，直線上的所有組合都是可以選擇，激進型的投資者會大量借入資金而購進風險資產，而保守型投資者則會將一部分資金以無風險利率水平貸出，將資產配置在無風險資產和風險資產上面。在圖6-3中，I1代表保守型投資者的資產組合，I2代表激進型投資者的資產組合。注意由于切點M代表市場組合，當市場組合發(fā)生變動時，M點也會發(fā)生相應變動。以市場組合為基礎，就可以引申出被動的、但有效的指數化投資策略，這種策略分兩個步驟：第一步，按市場的組合比例構建風險資產組合，這帶一定程度上實現了風險分散化；第二步，投資者將資金按照各自的風險收益偏好分布于無風險資產和風險資產組合。這種被動式投資策略不但構造簡單，而且也十分方便。若投資者調低資產組合風險，適當增大無風險資產投資比例即可。在金融市場上，市場指數反映了對應的市場所交易的各種資產的構成比例。以此指數為基礎而開發(fā)的指數產品，往往作為風險市場組合的替代品，因而這種投資策略被稱為指數化投資策略。這種被動式的指數化投資策略在西方被養(yǎng)老基金、共同基金等金融機構廣泛的采用，并用作評估其他主動性投資策略績效的依據。1.3 分離定理與資本市場的均衡1、分離定理在資本市場處于均衡時，由于每個投資者對證券的期望收益率、方差、相互之間的協方差及無風險利率的估計是一致的，所以每個投資者的線性有效集相同。由于所有投資者都有相同的有效集，他們選擇不同的證券組合的原因在于他們有不同的無差異曲線。因此，不同投資者對風險和收益的偏好不同，將在同一個有效集上選擇不同的證券組合。所有的投資者，無論風險偏好如何，在構造投資組合時投資者通過資金借貸使其效用趨于最大化，將市場組合M和無風險資產搭配組合。也就是說，市場組合M和無風險資產的不同組合產生機會性，將比其他風險資產和無風險資產搭配產生的任何機會線都陡峭，即通過市場組合M，不同風險偏好的投資者都可以達到最優(yōu)的期望效用。以無風險利率進行資金借貸的可能性將投資者過程分成兩個階段：首先確定市場組合M，然后投資者為獲得風險和收益的最優(yōu)組合，以無風險利率借入或貸出，再把所有的資金按相同比例投資到風險資產上，從而實現效用的最大化。在無風險資產與風險資產的組合中，融資的方式（即無風險資產的數量）取決于投資者對風險的厭惡程度：風險厭惡程度高的投資者將貸出更多的無風險資產，風險厭惡程度低的投資者將借入更資金更多的投資于組合M，這就是分離定理，也稱為托賓分割定理。2、資本市場均衡根據分離定理，可推導出證券市場均衡：如果一個風險資產收益率向量和無風險利率rf使對資金的借貸量相等且對所有風險資產的供給等于需求，則這種市場狀態(tài)成為市場均衡（相應的風險資產價格向量和無風險資產價格稱為均衡價格）。若一個市場達到均衡狀態(tài)，則該市場具有如下性質：1）每個投資者都持有正的一定數量的風險證券，即在切點證券組合M的構成中都占有非零的比例，這是由分離定理決定。根據分離定理，每個投資者所選擇的證券組合中的風險證券的組成是一樣的，都選擇市場組合M作為資產組合中的風險證券組成部分；2）證券的價格使得對每種證券的需求量正好等于市場上存在的證券數量；3）無風險利率使得對資金的借貸量相等，即市場上所有無風險證券必須結清；所有個體的初始財富的和等于所有風險證券的市場總價值。（二）資本市場線與證券市場線資本市場線（CML）和證券市場線（SML）是CAPM的兩個主要結論，CML是投資組合理論的直接延伸。2.1 資本市場線資本市場線描述的是均衡的資本市場上任一投資組合的預期收益率與其風險之間的關系。當市場處于均衡狀態(tài)時，市場組合M就為切點投資組合，代表了所有投資者對風險資產的投資方式。所有投資者在進行最優(yōu)投資選擇時都是將其資金在無風險資產與M之間進行分配，無風險資產rf與M的連線也就是有效集這條直線形狀的有效集就是資本市場線