第五章_貝塞爾函數(shù).doc

n階第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)，或稱Neumann函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù)漢克爾（Hankel）函數(shù)，第一類變形的貝塞爾函數(shù)開爾文函數(shù)（或稱湯姆孫函數(shù)）階第一類開爾文（Kelvin）第五章 貝塞爾函數(shù)在第二章中，用分離變量法求解了一些定解問題。從2.3可以看出，當我們采用極坐標系后，經(jīng)過分離變量就會出現(xiàn)變系數(shù)的線性常微分方程。在那里，由于只考慮圓盤在穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布，所以得到了歐拉方程。如果不是考慮穩(wěn)恒狀態(tài)而是考慮瞬時狀態(tài)，就會得到一種特殊類型的常微分方程。本章將通過在柱坐標系中對定解問題進行分離變量，引出在2.6中曾經(jīng)指出過的貝塞爾方程，并討論這個方程解的一些性質。下面將看到，在一般情況下，貝塞爾方程的解不能用初等函數(shù)表出，從而就導入一類特殊函數(shù)，稱為貝塞爾函數(shù)。貝塞爾函數(shù)具有一系列性質，在求解數(shù)學物理問題時主要是引用正交完備性。5.1 貝塞爾方程的引出 下面以圓盤的瞬時溫度分布為例推導出貝塞爾方程。設有半徑為的薄圓盤，其側面絕緣，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零攝氏度，且初始溫度為已知，求圓盤內瞬時溫度分布規(guī)律。這個問題可以歸結為求解下述定解問題：用分離變量法解這個問題，先令代入方程（5.1）得或由此得到下面關于函數(shù)和的方程 （5.4） （5.5）從（5.4）得方程（5.5）稱為亥姆霍茲（Helmholtz）方程。為了求出這個方程滿足條件 （5.6）的非零解，引用平面上的極坐標系，將方程（5.5）與條件（5.6）寫成極坐標形式得 再令 ，代入（5.7）并分離變量可得 （5.9） （5.10）由于是單值函數(shù)，所以也必是單值得，因此應該是以為周期的周期函數(shù)，這就決定了只能等于如下的數(shù)：對應于，有（為常數(shù)）以代入（5.10）得 （5.11）這個方程與（2.93）相比，僅僅是兩者的自變量和函數(shù)記號有差別，所以，它是階貝塞爾方程。若再作代換，并記 ，則得.這是階貝塞爾方程最常見的形式。由條件（5.8）及溫度是有限的，分別可得 （5.12）因此，原定解問題的最后解決就歸結為求貝塞爾方程（5.11）在條件（5.12）下的特征值與特征函數(shù)（5.12中第一個條件是在處的第一類邊界條件，第二個條件是在處的自然邊界條件，由于在處為零，所以在這一點應加自然邊界條件）。在下一節(jié)先討論方程（5.11）的解法，然后在5.5中再回過頭來討論這個特征值問題。5.2 貝塞爾方程的求解在上一節(jié)中，從解決圓盤的瞬時溫度分布問題引出了貝塞爾方程，本節(jié)來討論這個方程的解法。按慣例，仍以表示自變量，以表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為 （5.13）其中為任意實數(shù)或復數(shù)。我們僅限于為任意實數(shù)，且由于方程中的系數(shù)出現(xiàn)的項，所以在討論時，不妨先假定。設方程（5.13）有一個級數(shù)解，其形式為， （5.14）其中常數(shù)和可以通過把和它的導數(shù)代入（5.13）來確定。將（5.14）及其導數(shù)代入（5.13）后得化簡后寫成要上式為恒等式，必須各個冪的系數(shù)全為零，從而得到下列各式：1；2；3。由1得，代入2得。先暫取，代入3得4。因為，由4知，而都可以用表示，即，.由此知（5.14）的一般項為是一個任意常數(shù)，讓取一個確定的值，就得（5.13）得一個特解。把取作這樣選取可使一般項系數(shù)中2的次數(shù)與的次數(shù)相同，并可以運用下列恒等式：使分母簡化，從而使（5.14）中一般項的系數(shù)變成 （5.15）這樣就比較整齊、簡單了。以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一個特解用級數(shù)的比率判別法（或稱達朗貝爾判別法）可以判定這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂。這個無窮級數(shù)所確定的函數(shù)，稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)。記作 （5.16）至此，就求出了貝塞爾方程的一個特解。當為正整數(shù)或零時，故有 （5.17）取時，用同樣的方法可得（5.13）的另一特解 （5.18）比較（5.16）式與（5.18）式可見，只要在（5.16）右端把換成，即可得到（5.18）式。因此不論式正數(shù)還是負數(shù)，總可以用（5.16）統(tǒng)一地表達第一類貝塞爾函數(shù)。當不為整數(shù)時，這兩個特解與是線性無關的，由齊次線性常微分方程的通解的結構定理知道，（5.13）的通解為 （5.19）其中為兩個任意常數(shù)。當然，在不為整數(shù)的情況，方程（5.13）的通解除了可以寫成（5.19）式以外還可以寫成其它的形式，只要能夠找到該方程另一個與線性無關的特解，它與就可構成（5.13）的通解，這樣的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取，則得到（5.13）的一個特解（5.20）顯然，與是線性無關的，因此，（5.13）的通解可以寫成 （5.21）由（5.20）式所確定的函數(shù)稱為第二類貝塞爾函數(shù)，或稱Neumann函數(shù)。5.3 當n為整數(shù)時貝塞爾方程的通解 上一節(jié)說明，當不為整數(shù)時，貝塞爾方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式確定，當為整數(shù)時，（5.13）的通解應該是什么樣子呢？ 首先，我們證明當為整數(shù)時，與是線性相關的。事實上，不妨設為正整數(shù)（這不失一般性，因為負整數(shù)時，會得到同樣的結果），這在（5.18）中，當時均為零，這時級數(shù)從起才開始出現(xiàn)非零項。于是（5.18）可以寫成即與線性相關，這時與已不能構成貝塞爾方程的通解了。為了求出貝塞爾方程的通解，還要求出一個與線性無關的特解。取哪一個特解？自然我們想到第二類貝塞爾函數(shù)。不過當為整數(shù)時（5.20）的右端沒有意義，要想把整數(shù)階貝塞爾方程的通解也寫成（5.21）的形式，必須先修改第二類貝塞爾函數(shù)的定義。在為整數(shù)的情況，我們定義第二類貝塞爾函數(shù)為 （5.22）由于當為整數(shù)時，所以上式右端的極限為“”形式的不定型的極限，應用洛必達法則并經(jīng)過冗長的推導，最后得 （5.23）其中，稱為歐拉常數(shù)。根據(jù)這個函數(shù)的定義，它確是貝塞爾方程的一個特解，而且與是線性無關的（因為當時，為有限值，而為無窮大）。綜上所述，不論是否為整數(shù)，貝塞爾方程（5.13）的通解都可表示為其中為任意常數(shù)，為任意實數(shù)。5.4貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間不是彼此鼓孤立的，而是有一定的聯(lián)系，本節(jié)來建立反映這種聯(lián)系的遞推公式。先考慮零階與一階貝塞爾函數(shù)之間的關系。在（5.17）中令及得取出第一個級數(shù)的第項求導數(shù)，得這個式子正好是中含這一項的負值，且知的第一項導數(shù)為零，故得關系式 （5.24）將乘以并求導數(shù)，又得 即 （5.25）以上結果可以推廣，現(xiàn)將乘以求導數(shù)，得即 （5.26）同理可得 （5.27）將（5.26）和（5.27）兩式左端的導數(shù)求出來，并經(jīng)過化簡，這分別得及 .將這兩式相減及相加，分別得到 （5.28） （5.29）以上幾式就是貝塞爾函數(shù)的遞推公式，它們在有關貝塞爾函數(shù)的的分析運算中非常有用。特別值得一提的是，應用（5.28）式可以用較低階的貝塞爾函數(shù)把較高階的貝塞爾函數(shù)表示出來，因此如果我們已有零階與一階貝塞爾函數(shù)表，這利用此表和（5.28），即可計算任意正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的數(shù)值。第二類貝塞爾函數(shù)也具有與第一類貝塞爾函數(shù)相同的遞推公式 （5.30）作為遞推公式的一個應用，考慮半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)，現(xiàn)計算，。由（5.16）可得而從而 （5.31）同理，可求得 （5.32）利用遞推公式（5.28）得到同理可得一般而言，有 （5.33）這里為了方便起見，采用了微分算子，它是算子連續(xù)作用次的縮寫，例如，千萬不能把它與混為一談。從（5.33）可以看出，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。5.5函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級數(shù) 利用貝塞爾求解數(shù)學物理方程的定解問題，最終要把已知函數(shù)按貝塞爾方程的特征函數(shù)系進行展開。這一節(jié)我們先要所明貝塞爾方程的特征函數(shù)系是什么樣的函數(shù)系，然后證明這個特征函數(shù)系是一個正交系。 5.5.1 貝塞爾函數(shù)的零點在5.1中，已經(jīng)將求解圓盤的溫度分布問題通過分離變量法轉化成貝塞爾方程的特征值問題：方程（5.34）的通解為，由條件（5.36）可得，即利用條件（5.35）得 （5.37） 這就說明，為了求出上述特征值問題的特征值必須要計算的零點。有沒有實的零點？若存在實的零點，一共有多少個？關于這些問題，有以下結論：1有無窮多個單重實零點，且這無窮多個零點在軸上關于原點實對稱分布的，因而必有無窮多個正的零點。2的零點與的零點是彼此相間分布的，即的任意兩個相鄰零點之間必存在一個且僅有一個的零點。3以表示的非負零點（），則當時無限地接近于，即幾乎是以為周期的函數(shù)。與的圖形見圖5.1。為了便于工程技術上的應用，貝塞爾函數(shù)的正零點的數(shù)值已被詳細計算出來，并列成表格。下表給出了的前9個正零點的近似值：利用上述關于貝塞爾函數(shù)零點的結論，方程（5.37）的解為（）即（） （5.38）與這些特征值相對應的特征函數(shù)為（） （5.39）5.5.2 貝塞爾函數(shù)的正交性現(xiàn)在來討論特征函數(shù)系的正交性，我們將要證明 （5.40）由于貝塞爾函數(shù)系是特征值問題（5.345.36）的特征函數(shù)系，所以它的正交性由2.6中的施圖姆劉維爾理論可以直接推出。不過因為在那里我們并沒有就一般情況證明這個結論，因此，我們在這里把貝塞爾函數(shù)系的正交性詳細證明一下，而且這個證明方法是富有啟發(fā)性的，完全可以類似的步驟來證明2.6中的結論3。下一章將要講到的勒讓德多項式的正交性，也是施圖姆劉維爾理論的另一個具體例子。下面就來證明（5.40）。為了書寫方便，令，按定義，分別滿足以乘第一個方程減去以乘第二個方程，然后對從到積分得即由此可得因，故上式可寫成 （5.41）若取，則，從而（5.41）的右端為零，即（5.40）中第一個式子已得證。為了證明（5.40）中第二個式子，在（5.41）兩端令，此時（5.41）右端的極限是“”形式的不定型的極限，利用洛必達法則計算這個極限得由遞推公式及可知從而，這就是（5.40）中第二個式子。通常把定積分的正平方根，稱為貝塞爾函數(shù)的模。利用2.6中關于特征函數(shù)系的完備性可知，任意在上具有一階連續(xù)導數(shù)及分段連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù)，只要它在處有界，在處等于零，則它必能展開成如下形式的絕對且一致收斂的級數(shù) （5.42）為了確定這個展開式的系數(shù)，在（5.42）兩端同乘以，并對r從0到R積分，由正交關系式（5.40）得即 （5.43）下一節(jié)將通過例子說明貝塞爾函數(shù)在求解定解問題時的用法。5.6貝塞爾函數(shù)應用舉例下面舉兩個例子，說明用貝塞爾函數(shù)求解定解問題的全過程。例1 設有半徑為1的薄均勻圓盤，邊界上溫度為零攝氏度，初始時刻圓盤內溫度分布為，其中是圓盤內任一點的極半徑，求圓盤內溫度分布規(guī)律。解 由于是在圓盤內求解問題，故采用極坐標系較為方便，并考慮到定解條件與無關，所以溫度分布只能是的函數(shù)，于是根據(jù)問題的要求，即可歸結為求解下列定解問題：此外，由物理意義，還有條件，且當時，。令代入方程（5.44）得或由此得 （5.47） （5.48）方程（5.48）得解為因為時，。所以只能大于零，令，則此時方程（5.47）的通解為由的有界性，可知，再由（5.45）得，即是的零點。以表示的正零點，則綜合以上結果可得從而由條件（5.46）得從而因，即故得另外從而所以，所求定解問題的解為 (5.49)其中是的正零點。例2 求下列定解問題： 解 用分離變量法來解，令，采用例1類似的運算，可以得到 （5.53） （5.54）由在處的有界性，可知，即 （5.55）再根據(jù)邊界條件（5.51）中第一式，得因不能為零，故有利用貝塞爾函數(shù)的遞推公式（5.24）可得即是的非負零點，以表示的所有正零點，又因，所以及（5.56）當時，由（5.47），（5.48）及（5.51）中第二個條件可知，方程（5.50）有一個特解其中是待定常數(shù)。當時，由方程（5.55）及（5.54）得即（5.50）由特解其中是待定常數(shù)。利用疊加原理可得原定解問題的解為代入條件（5.52）得 （5.57） （5.58）由（5.57）得，在（5.58）兩端同乘以并對在上積分得由（5.58）并利用下面的結果（見習題五第14題）：如果是的正零點，則得到所以最后得到定解問題的解為。5.7貝塞爾函數(shù)的其他類型由于解決某些工程問題的需要，本節(jié)引入另外三種形式的貝塞爾函數(shù)。5.7.1 第三類貝塞爾函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù)有名漢克爾（Hankel）函數(shù)，它是由下列公式來定義的：其中，由于漢克爾函數(shù)是與的線性組合，所以，同樣也具有第一類貝塞爾函數(shù)相同的遞推形式：， ，.在下一節(jié)將看到這種函數(shù)當很大時有比較簡單的漸近公式。5.7.2 虛宗量的貝塞爾函數(shù)當我們在圓柱形域內求解定解問題，如果圓柱上下兩底的邊界條件都是齊次的，側面的邊界條件是非齊次時，就會遇到形如 （5.60）的方程，它和貝塞爾方程只有一項的符號有差別，若令就可將這個方程化成貝塞爾方程，因為代入（5.60）得到 因此方程（5.60）的通解為這里將上式乘以后，我們就定義它為第一類虛宗量的貝塞爾函數(shù)或稱第一類變形的貝塞爾函數(shù)，并記作 （5.61）特別，關于第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)定義如下：當是非整數(shù)時；當是整數(shù)時.（5.62）所以方程（5.60）的通解又可寫為其中為任意常數(shù)。與不存在實的零點，所以它們的圖形不是振蕩型曲線，這一點與及不同。5.7.3 開爾文函數(shù)（或稱湯姆孫函數(shù)）階第一類開爾文（Kelvin）函數(shù)有兩種形式，它們分別被定義為的實部與虛部，記作和。在應用這種函數(shù)時，主要是用零階和一階的。由于所以和分別為 （5.63） （5.64）用類似的方法可以得到一階開爾文函數(shù)： （5.65） （5.67）5.8 貝塞爾函數(shù)的漸近公式在應用貝塞爾函數(shù)解決工程技術問題時，常常需要求出這些函數(shù)當自變量取很大值