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導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【典例1】 【2016四川卷節(jié)選】設(shè)函數(shù)f(x)ax2aln x,g(x),其中aR,e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)x1時(shí),g(x)0.【解析】(1)由題意得f(x)2ax(x0).當(dāng)a0時(shí),f(x)0時(shí),由f(x)0有x,當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)ex1x,則s(x)ex11.當(dāng)x1時(shí),s(x)0,所以ex1x,從而g(x)0.【規(guī)律方法】用導(dǎo)數(shù)討論(證明)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟:(1)求f(x);(2)確認(rèn)f(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào);(3)作出結(jié)論:f(x)0時(shí)為增函數(shù);f(x)0,得單調(diào)遞增區(qū)間;(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0.h(x)ax2.若函數(shù)h(x)在(0,)上存在單調(diào)減區(qū)間,則當(dāng)x0時(shí),ax2有解.設(shè)G(x),所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1,所以G(x)min1.所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,).(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞減,當(dāng)x1,4時(shí),h(x)ax20恒成立,(*)則a恒成立,所以aG(x)max.又G(x)1,x1,4因?yàn)閤1,4,所以,所以G(x)max(此時(shí)x4),所以a.當(dāng)a時(shí),h(x)x2,x1,4,h(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)x4時(shí)等號(hào)成立.(*)h(x)在1,4上為減函數(shù).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【易錯(cuò)警示】(1)特稱命題理解不清,不能將第(1)問轉(zhuǎn)化為ax20有解,難以得到不等式(*).錯(cuò)求a的取值范圍.(2)錯(cuò)誤理解“f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a,b)都有f(x)0,且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.”導(dǎo)致在第(2)問中(*)處易錯(cuò)求h(x)0時(shí),令3x2a0,得x0,f(x)0(f(x)0知:(1)當(dāng)a0時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)為(0,)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;(2)當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,解得xa.又當(dāng)x(0,a)時(shí),f(x)0,從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值,且極小值為f(a)aaln a,無極大值.綜上,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a,無極大值.命題角度三已知極值求參數(shù)【典例13】 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)x3bx2cxbc在x1處有極值,試求b,c的值.【解析】f(x)x22bxc,由f(x)在x1處有極值,可得解得或若b1,c1,則f(x)x22x1(x1)20,f(x)沒有極值.若b1,c3,則f(x)x22x3(x3)(x1).當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)001f(x)極小值12極大值當(dāng)x1時(shí),f(x)有極大值,滿足題意.故b1,c3為所求.【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟:確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)數(shù)f(x);解方程f(x)0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取極小值.(2)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同.應(yīng)注意,導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).對(duì)含參數(shù)的求極值問題,應(yīng)注意分類討論.【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)ax32x2xc(a0).(1)當(dāng)a1,且函數(shù)圖象過(0,1)時(shí),求函數(shù)的極小值;(2)若f(x)在R上無極值點(diǎn),求a的取值范圍. (2)若f(x)在R上無極值點(diǎn),則f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),故f(x)0或f(x)0恒成立.當(dāng)a0時(shí),f(x)4x1,顯然不滿足條件;當(dāng)a0時(shí),f(x)0或f(1)0恒成立的充要條件是(4)243a10,即1612a0,解得a.綜上,a的取值范圍是.題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【典例2】 【2017鄭州模擬】已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值.【解析】(1)由f(x)(xk)ex,得f(x)(xk1)ex,令f(x)0,得xk1.當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,k1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k1,).(2)當(dāng)k10,即k1時(shí),函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k,當(dāng)0k11,即1k2時(shí),由(1)知f(x)在0,k1)上單調(diào)遞減,在(k1,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1.當(dāng)k11,即k2時(shí),函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上可知,當(dāng)k1時(shí),f(x)mink;當(dāng)1k0),若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切,(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值.【解析】(1)由f(x)aln xbx2,得f(x)2bx(x0).函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切.解得(2)由(1)知f(x)ln xx2,則f(x)x,當(dāng)xe時(shí),令f(x)0,得x1,令f(x)0,得1x0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)的極小值為e3,求f(x)在區(qū)間5,)上的最大值.【解析】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc,由于ex0.令f(x)0,則g(x)ax2(2ab)xbc0,3和0是yg(x)的零點(diǎn),且f(x)與g(x)的符號(hào)相同.又因?yàn)閍0,所以3x0,即f(x)0,當(dāng)x0時(shí),g(x)0,即f(x)0時(shí),由f(x)0,得0x0,得x,f(x)在上遞減,在上遞增,即f(x)在x處有極小值.綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,)上沒有極值點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,)上有一個(gè)極值點(diǎn).(2)函數(shù)f(x)在x1處取得極值,f(1)a10,則a1,從而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b,令g(x)1,則g(x),令g(x)0,得xe2,則g(x)在(0,e2)上遞減,在(e2,)上遞增,g(x)ming(e2)1,即b1.故實(shí)數(shù)b的最大值是1.【方法總結(jié)】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況,直觀而且條理,減少失分.2.求極值、最值時(shí),要求步驟規(guī)范、表格齊全;含參數(shù)時(shí),要討論參數(shù)的大小.3.可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同.4.若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么yf(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.【易錯(cuò)防范】1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣,可使
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