1.1.1兩個基本計數(shù)原理.doc

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教材分析第1章計數(shù)原理江蘇省宿遷市馬陵中學(xué)范金泉本章是組合數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)的知識，共包含1. 1兩個基本計數(shù)原理、1. 2排列、1. 3組合、1. 4計數(shù)應(yīng)用題和1. 5二項式定理五節(jié)內(nèi)容，其中分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理這兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具一、課程標(biāo)準關(guān)于計數(shù)原理的表述及教學(xué)要求1表述：計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)計數(shù)基本原理、排列、組合、二項式定理及其應(yīng)用，了解計數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題2教學(xué)要求：（1）分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題（2）排列與組合通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題（3）二項式定理能用計數(shù)原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題二、課程標(biāo)準與教學(xué)大綱在要求上的主要變化12002年4月由教育部頒布實施的教學(xué)大綱，將這一部分的教學(xué)內(nèi)容的標(biāo)題定為排列、組合、二項式定理，教學(xué)目標(biāo)規(guī)定為：（1）掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題（2）理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題（3）理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題（4）掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題2對比2003年4月由教育部頒布的課程標(biāo)準，一是章節(jié)名稱變?yōu)橛嫈?shù)原理，突顯了計數(shù)原理的基礎(chǔ)地位，同時在教學(xué)要求上，發(fā)生了明顯的變化，主要變化有：（1）“計數(shù)原理”的要求由“掌握”變?yōu)椤巴ㄟ^實例，總結(jié)出加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理”；（2）“排列、組合”的要求也由“理解排列、組合的意義”變?yōu)椤巴ㄟ^實例，理解排列、組合的概念”，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題（3）關(guān)于“排列數(shù)、組合數(shù)”，則由“掌握排列數(shù)計算公式，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)”變?yōu)椤澳芾糜嫈?shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式”（4）“二項式定理”由“掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)”變?yōu)椤澳苡糜嫈?shù)原理證明二項式定理”，省去了“二項展開式的性質(zhì)”，并給出了參考例題1以上變化，主要是為了防止教學(xué)過程中“人為地加深難度，對知識點進行深挖”（5）教學(xué)課時也有所變化，教學(xué)大綱規(guī)定為18課時，而課程標(biāo)準規(guī)定為14課時，減少了學(xué)時數(shù)三、江蘇省普通高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明中“計數(shù)原理”部分的考試范圍與要求層次考試內(nèi)容要求層次ABC計數(shù)原理加法原理與乘法原理排列與組合二項式定理四、江蘇高考考題計數(shù)原理作為選修內(nèi)容，只能出現(xiàn)在江蘇省普通高考數(shù)學(xué)試卷的附加題部分，由于這一部分內(nèi)容的考點較多，故涉及排列、組合、二項式定理的考題僅在2008年江蘇省普通高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)，為第23題（真題如下）：請先閱讀：在等式cos2x2cos2x1（xR）的兩邊求導(dǎo)，得：（cos2x）（2cos2x1），由求導(dǎo)法則，得（sin2x）24cosx（sinx），化簡得等式：sin2x2cosxsinx（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1x）n （xR，整數(shù)n2），證明：n （1x）n-11（2）對于正整數(shù)n3，求證：（i）0；（ii）0；（iii）本題重在考查二項式定理，并融入了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容?。?）證明：在等式（1x）n兩邊求導(dǎo)得：n （1x）n-1n，故n （1x）n-11（2） （i）在等式n（1x）n-1中，令x1，則有0兩邊同乘以1得，0即0（ii）對等式n（1x）n-1再求導(dǎo)，得n（n1）（1x）n-2令x1，則有0兩邊乘以(1)2，得0由（i）得0（iii）因為所以五、江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)于計數(shù)原理的教學(xué)建議1分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計數(shù)原理分析、處理問題，而不是機械地套用公式通過對實際問題的分析，確定解決該問題是需要分類，還是需要分步，再選用相應(yīng)的公式計算在本章的教學(xué)中，應(yīng)注意控制題目的難度，避免繁瑣的、技巧性過高的計數(shù)問題2在解決問題時，要讓學(xué)生正確理解“完成一件事”的具體含義是什么，怎樣才算“完成”，以及采用何種方式“完成”3解決計數(shù)應(yīng)用問題的關(guān)鍵是設(shè)計完成一件事的過程，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生合理設(shè)計完成這件事的過程4解決本章的應(yīng)用題，方法靈活多樣，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生多方向地思考，選擇最佳方案，使一些較復(fù)雜的問題得到簡化5在教學(xué)中，可通過試驗、畫簡圖等方法幫助學(xué)生將問題直觀化，進而尋求解題途徑在計數(shù)問題中，由于結(jié)果的正確性往往難以直接驗證，因而可以用多種不同的方法求解來加以驗證本章教學(xué)約需14課時，具體分配如下：11兩個基本計數(shù)原理約2課時12排列約3課時13組合約3課時14計數(shù)應(yīng)用題約1課時15二項式定理約3課時本章復(fù)習(xí)與小結(jié)約2課時六、本章教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題1教材開篇在列舉一些貼近生活的典型實例的基礎(chǔ)上，用明確的語言指出了兩個計數(shù)原理與加法、乘法運算之間的關(guān)系，并提出“不通過一個一個地數(shù)而確定這個數(shù)”的問題，從而使學(xué)生體會學(xué)習(xí)計數(shù)原理的必要性由于兩個計數(shù)原理的這種基礎(chǔ)地位，并且在應(yīng)用它們解決問題時具有很大的靈活性，是訓(xùn)練學(xué)生推理技能的好素材.面對一個復(fù)雜的計數(shù)問題時，通過分類或分步將它分解為若干個簡單計數(shù)問題，在解決這些簡單問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來而得到原問題的答案，可以達到以簡馭繁、化難為易的效果2“完成一件事情”是一個比較抽象的詞匯，它比學(xué)生熟悉的“完成一件工作”、“完成一項工程”的含義要廣泛得多，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)結(jié)合實例讓學(xué)生辨析例如：“從甲地到乙地”、“從甲地經(jīng)丙地再到乙地”、“從中任取一本書”、“從中任取數(shù)學(xué)書、語文書各一本”、“從19這九個數(shù)字中任取兩個組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)”等等，這些都是原理中所說的“完成一件事情”排列、組合中的“確定一個滿足條件的排列”、“確定一個滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”建議在概念和例題的教學(xué)中，都要求學(xué)生先思考并說出要完成的一件事情是什么在實際應(yīng)用中，學(xué)生容易把“完成一件事情”與“計算完成這件事情的方法總數(shù)”混同例如，在分析“從19這九個數(shù)字中任取兩個，共可組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？”時，學(xué)生容易把要完成的事情理解成為“求滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)”教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注意利用簡單實例引導(dǎo)學(xué)生消除這種誤解只有準確理解了什么叫“完成一件事情”，才能進一步分析可以用什么方法完成，是否需要分類或分步完成，這樣才能確定到底應(yīng)該用哪個計數(shù)原理3排列與組合的區(qū)別就是是否有“一定順序”，為了讓學(xué)生理解其含義，要結(jié)合實例進行認真分析例如，學(xué)生熟悉的排隊問題中，“從前到后”、“從左到右”、都是“一定順序”；安排工作時“上午在前下午在后”也是“一定順序”；“從19這九個數(shù)字中選三個不同數(shù)字組成三位數(shù)”中，“一定順序”可以規(guī)定為“百十個”等等最后要使學(xué)生明確，若干個元素按照一定的順序排成一列，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個排列的元素和順序都相同時才是同一個排列4關(guān)于“一個排列”與“排列數(shù)”、“一個組合”與“組合數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系，不應(yīng)抽象地解釋與強調(diào)，而應(yīng)多通過實例引導(dǎo)學(xué)生分析5關(guān)于組合數(shù)公式的推導(dǎo)，不要急于求成，而要通過具體的實例加以引導(dǎo)例如課本是通過從a，b，c三個元素中每次取出兩個元素給出的，在此基礎(chǔ)上，又通過表1-3-1給出了從四個元素中每次取出三個的組合數(shù)與排列數(shù)的對比，進一步引導(dǎo)學(xué)生理解組合與組合數(shù)的計算，以及組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系6一題多解在計數(shù)問題中，由于結(jié)果的正確性往往難以直接驗證，因而可以用多種不同的方法求解來加以驗證7二項式定理是本章的重點內(nèi)容，二項式定理的學(xué)習(xí)過程是應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”與以往教科書比較，猜想不是通過對中n取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出，而是直接應(yīng)用兩個計數(shù)原理對展開式的項的特征進行分析這個分析過程不僅使學(xué)生對二項式的展開式與兩個計數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得認識的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路在二項式定理的推導(dǎo)中，學(xué)生自覺地聯(lián)系到兩個計數(shù)原理是不容易的為此，教科書安排了如下過程：1在“情境問題”中給出了,的展開式，導(dǎo)出了的展開式問題；2詳細寫出用多項式乘法法則得到，的展開式的過程，并從兩個計數(shù)原理的角度對展開過程進行分析，概括出項數(shù)以及項的形式；3用組合知識分析的展開式中應(yīng)有的項，以及每一個項的構(gòu)成原由，得出系數(shù)的計數(shù)方法，從而得出的展開式從上述安排可以看到，得到二項式定理的猜想及其證明方法的核心就是應(yīng)用兩個計數(shù)原理總之，計數(shù)問題是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，是根據(jù)實際問題的需要而提出的，教學(xué)中，不把那些人為編制的計數(shù)難題、需要特殊技巧的計數(shù)問題納入課堂，而計算機程序設(shè)計中程序模塊命名、字符編碼、程序測試路徑，以及核糖核酸分子、汽車牌照號碼等計數(shù)問題，涉及大量的物理、生物、計算機的專業(yè)知識，體現(xiàn)了學(xué)