線性方程組詳解.ppt

2020 3 14 1 線性代數(shù) LinearAlgebra 第2章線性方程組 2020 3 14 2 第2章線性方程組 再次討論線性方程組的求解問(wèn)題 在第一章的討論中 Cramer法則針對(duì)未知量與方程個(gè)數(shù)一樣的情形 將行列式作為工具 給出了方程組解存在且唯一的條件及解的行列式表示 但有其局限性 1 行列式的計(jì)算量大 2 系數(shù)行列式如何 3 未知量與方程個(gè)數(shù)不一樣的情形無(wú)法處理 不能用行列式來(lái)描述 2020 3 14 3 Example1 第2章線性方程組 如圖所示 是某城市某區(qū)域單行道路網(wǎng) 據(jù)統(tǒng)計(jì)進(jìn)入交叉路口A每小時(shí)車流量為500輛 而從路口B和C出來(lái)的 車輛分別為每小時(shí)350輛和150輛 如圖所示 Solution 設(shè)沿這些道路每小時(shí)車流量 分別為x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x5 x2 x3 x4 x6 求出沿每一個(gè)道 路每小時(shí)的車流量 鑒于出入每一個(gè)路口的車流量是相等的 于是有 路口A500 x1 x2 x3 路口Bx1 x4 x6 350 路口Cx3 x5 x6 150 路口Dx2 x4 x5 得線性方程組 一個(gè)可控的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中 計(jì)算平衡運(yùn)行問(wèn)題 可歸結(jié)為求解線性方程組 2020 3 14 4 1消元法 線性方程組的一般形式為 可以把未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按其原來(lái)的相對(duì)位置排成一個(gè)矩形的數(shù)表 來(lái)表示該方程組 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 矩陣與行列式一樣是從研究線性方程組的問(wèn)題引出的 由Cramer法則知 方程組的解與系數(shù) 自由項(xiàng)有關(guān) 2020 3 14 5 第2章線性方程組 Definition2 1 由個(gè)數(shù) 排成m行n列的數(shù)表 稱為m行n列矩陣 簡(jiǎn)稱矩陣 Note 1 前行后列 2 與行列式的區(qū)別 這個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素 稱為矩陣A的第i行 第j列元素 實(shí)矩陣 復(fù)矩陣 簡(jiǎn)記 如果兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等 列數(shù)也相等 則稱它們是同型矩陣 2020 3 14 6 1消元法 如果與是同型矩陣 且則稱矩陣A與B相等 記為A B 相等的必要條件是同型 常見的特殊矩陣 1 行矩陣只有一行的矩陣 2 列矩陣只有一列的矩陣 3 零矩陣元素都為零的矩陣 2020 3 14 7 第2章線性方程組 5 上三角形矩陣 上三角陣 在n階方陣中 若主對(duì)角線左下方所有元素全為零 即rik 0其中i k 即 6 下三角形矩陣 下三角陣 在n階方陣中 若主對(duì)角線右上方所有元素全為零 即lik 0其中i k 7 對(duì)角陣除對(duì)角線上元素外其他元素全為零的n階方陣 2020 3 14 8 1消元法 8 數(shù)量矩陣 成立的對(duì)角陣 9 單位矩陣 的數(shù)量矩陣 記作En簡(jiǎn)記E Note 5 9概念的前提是方陣 Example1婚姻問(wèn)題 matchingproblem 女兒 追求者 A B C E D F 3 27 1 5 10 4 26 28 如何嫁娶 使獲得的禮品最多 7 2020 3 14 9 Example2織物組織的表示 1 平紋 表示經(jīng)線在上 2 斜紋 3 緞紋 5枚緯面緞紋 第2章線性方程組 2020 3 14 10 Example3 贏得矩陣 這是對(duì)策論的問(wèn)題 我國(guó)古代有 齊王賽馬 的事例 戰(zhàn)國(guó)時(shí)代齊王與其大將田忌賽馬 雙方約定各出上 中 下3個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽 共賽馬3次 每次比賽的敗者付給勝者千金 已知在同一等級(jí)的比賽中 齊王之馬可穩(wěn)操勝券 但田忌的上 中等級(jí)的馬分別可勝齊王的中 下等級(jí)的馬 齊王與田忌在排列賽馬出場(chǎng)順序時(shí) 各可取下列6種策略之一 1 上 中 下 2 中 上 下 3 下 中 上 4 上 下 中 5 中 下 上 6 下 上 中 則可得齊王的贏得矩陣 Goon 1消元法 2020 3 14 11 對(duì)策論的例 對(duì)策也稱博弈 Game 是自古以來(lái)的政治家 軍事家 現(xiàn)在更多的是經(jīng)濟(jì)學(xué)家 關(guān)注研究的問(wèn)題 作為一門學(xué)科是20世紀(jì)40年代形成并發(fā)展起來(lái)的 1944年馮 諾依曼 VonNeumann 與摩根斯特 O Morgenstern 合作出版了 博弈論與經(jīng)濟(jì)行為 一書 標(biāo)志著現(xiàn)代系統(tǒng)博弈理論的初步形成 20世紀(jì)50年代 納什 Nash 建立了非合作博弈的 納什均衡 理論 標(biāo)志著博弈的新時(shí)代開始 是納什在經(jīng)濟(jì)博弈論領(lǐng)域劃時(shí)代的貢獻(xiàn) 是繼馮 諾依曼之后最偉大的博弈論大師之一 1994年納什獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng) 對(duì)策論 研究沖突對(duì)抗條件下最優(yōu)決策問(wèn)題的理論 2020 3 14 12 對(duì)策論的例 囚犯的兩難處境 一位富翁在家中被殺 財(cái)物被盜 警方抓到兩個(gè)犯罪嫌疑人 并從他們的住處搜出被害人家中丟失的財(cái)物 但是 他們矢口否認(rèn)曾殺過(guò)人 辯稱是先發(fā)現(xiàn)富翁被殺 然后只是順手牽羊偷了點(diǎn)兒東西 于是警方將兩人隔離 分別關(guān)在不同的房間進(jìn)行審訊 由地方檢察官分別和每個(gè)人單獨(dú)談話 檢察官給出了上表的政策 囚犯該怎么辦呢 他們面臨著兩難的選擇 坦白或抵賴 結(jié)果 兩人都選擇了坦白 各被判刑5年 這個(gè)結(jié)局被稱為 納什均衡 也稱非合作均衡 2020 3 14 13 對(duì)策論的例 納什均衡 對(duì)亞當(dāng) 斯密的 看不見的手 的原理提出挑戰(zhàn) 按照斯密的理論 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中 每一個(gè)人都從利己的目的出發(fā) 而最終全社會(huì)達(dá)到利他的效果 從 納什均衡 我們引出了 看不見的手 的原理的一個(gè)悖論 從利己目的出發(fā) 結(jié)果損人不利己 既不利己也不利他 納什均衡 提出的悖論實(shí)際上動(dòng)搖了西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的基石 2020 3 14 14 Example4圖的矩陣表示 鄰接矩陣 第2章線性方程組 Example5求解線性方程組 1 是否有解 2 如果有解 無(wú)窮多解 唯一解 2020 3 14 15 Solution 消去法化簡(jiǎn) 2 結(jié)論 該方程組有解 且有無(wú)窮多解 若 為0 C0則無(wú)解 同解變換 1 交換方程次序 2 用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程 3 將一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上 1消元法 自由未知量 2020 3 14 16 顯然線性方程組 則上述變換實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算 所以 上述變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B的變換 第2章線性方程組 2020 3 14 17 Definition2 2 設(shè)A是m n矩陣 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換 1 交換A的第i行和第j行的位置 記為 2 用非零常數(shù)k乘以A的第i行各元素 記為 3 將A的第i行各元素的k倍加到第j行對(duì)應(yīng)元素 記為 注意記號(hào) 把定義中的 行 換成 列 即得矩陣的初等列變換的定義 行row列column r 換成 c 1消元法 2020 3 14 18 稱為行階梯形矩陣 看前例的求解過(guò)程 稱為行最簡(jiǎn)形矩陣 第2章線性方程組 方程組是否有解由此判斷 由此求解方程組 2020 3 14 19 1消元法 Theorem2 1 任一m n非零矩陣A aij 必可通過(guò) 初等行變換化為行最簡(jiǎn)形 進(jìn)一步利用初等列變換可得 稱為矩陣B的 等價(jià) 標(biāo)準(zhǔn)形 Theorem2 2 任一m n非零矩陣A aij 必可通過(guò) 初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 r 矩陣的秩 proof 2020 3 14 20 第2章線性方程組 Theorem2 2的證明 Proof 對(duì)A1重復(fù)上述步驟 經(jīng)有限步 可使矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形 證畢 2020 3 14 21 1消元法 Example6 Solution 用初等行變換將矩陣 化為行最簡(jiǎn)形 2020 3 14 22 第2章線性方程組 給定一個(gè)方程組由m個(gè)方程組成 但本質(zhì)有幾個(gè)方程呢 Definition2 3 在矩陣A中 任取k行和k列 km kn 位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素按原有順序構(gòu)成的一個(gè)k階行列式 稱為矩陣A的一個(gè)k階子式 Definition2 4 在矩陣A中 有一個(gè)r階子式不為零 且所有r 1階子式 如果存在的話 全等于零 那么 數(shù)r稱為矩陣A的秩 rank 記作秩 A 或R A 規(guī)定R 0 0 2矩陣的秩 矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要的數(shù)字特征 方程組有解嗎 2020 3 14 23 2矩陣的秩 1 由行列式性質(zhì) 定義中說(shuō)r 1階子式全為零 則所有大于r 1階子式 如果有 也全為零 所以稱D為矩陣A的最高階非零子式 顯然 2 若A有一個(gè)非零k階子式 則必有 而 表示A有非零k階子式 但并不說(shuō)明A的所有k階子式全不為零 所以A有一個(gè)k階子式為零不能說(shuō)明 除非是所有的 2020 3 14 24 第2章線性方程組 稱R A n的n階方陣A為滿秩矩陣 否則 稱為降秩矩陣 Example7求矩陣A 的秩 Solution 在矩陣A中共有4個(gè)三階子式 因A的第一 第二行對(duì)應(yīng)成比例 而任一三階子式必包含第一 二行所以 所有三階子式都為零 從而R A 2 A為n階方陣 則 2020 3 14 25 2矩陣的秩 考察下面兩個(gè)矩陣的秩 對(duì)B可經(jīng)復(fù)雜的計(jì)算 得R B 3 而對(duì)B1非常容易 R B 3即非零行數(shù) 猜想 矩陣經(jīng)初等變換秩不變 如果猜想成立 則化矩陣為階梯形來(lái)求秩是方便的 B1是階梯形矩陣 2020 3 14 26 第2章線性方程組 Theorem2 3 初等變換不改變矩陣的秩 Proof 先證A經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽 則 設(shè)R A r 且A的某個(gè)r階子式 這是因?yàn)锳經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽 則B也可經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锳 所以從而既然每一次初等行變換秩不變 則有限次也不變 2020 3 14 27 對(duì)情形 3 綜上 證明了若A經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽 則 即可知A經(jīng)有限次初等行變換變?yōu)锽 也成立 由于B也可經(jīng)有限次初等行變換變?yōu)锳 故也有 因此 2矩陣的秩 類似可證 Corollary1矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的 2020 3 14 28 Example8求矩陣A 的秩 并求一個(gè)最高階非零子式 Solution 要有規(guī)律 說(shuō)明A0中有3階非零子式 即為所求 第2章線性方程組 2020 3 14 29 Example9設(shè)求矩陣A及矩陣B A b 的秩 Solution A B作為方程組的系數(shù) 增廣矩陣 則無(wú)解 2矩陣的秩 R A 與R B 的關(guān)系 2020 3 14 30 第2章線性方程組 3解線性方程組 線性方程組的一般形式為 2 1 式含有m個(gè)方程 n個(gè)未知量 x1 x2 xn 可簡(jiǎn)記為 記 A B A b 分別為線性方程組 2 1 的系數(shù)矩陣 增廣矩陣 2020 3 14 31 3解線性方程組 若線性方程組有解 則稱該線性方程組相容 否則稱為不相容 3 1非齊次線性方程組解的研究 由前面的討論可知 非齊次線性方程組可用增廣矩陣表示 判斷方程是否有解 可以通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣 增廣矩陣的秩來(lái)判斷 求解線性方程組可將增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形進(jìn)行 可作列變換嗎 2020 3 14 32 第2章線性方程組 Theorem2 4 非齊次線性方程組 2 1 有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩與增廣矩陣B的秩相等 Corollary1 2 1 有唯一解的充分必要條件是R A R B A的列數(shù) 不是沒有多余方程 Corollary2 2 1 有無(wú)窮多解的充分必要條件是R A R B A的列數(shù) 求解非齊次線性方程組的步驟 1 化增廣矩陣B為行階梯形 若R A R B 則方程組無(wú)解2 若R A R B r 則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形 把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知量取作非自由未知量 其余n r個(gè)取作自由未知量 并令自由未知量分別等于k1 k2 kn r 由B的行最簡(jiǎn)形 即可得含n r個(gè)參數(shù)的通解 Note 解的表達(dá)式不唯一 proof 2020 3 14 33 3解線性方程組 Proof 則R A R B 則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程0 1 這與 2 1 有解矛盾 Theorem2 4的證明 設(shè) 2 1 有解 假如R A R B 所以 R A R B 設(shè)R A R B r r n 則B的行階梯形矩陣中含r個(gè)非零行 把這r行的第一個(gè)非零元素所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由未知量 其余n r個(gè)作為自由未知量 并令其全為零 即得方程組的一個(gè)解 2020 3 14 34 第2章線性方程組 Example10求解方程組 Solution 取x2 x3 x5為自由未知量 令x2 k1 x3 k2 x5 k3 有必要嗎 有必要嗎 2020 3 14 35 3解線性方程組 Example11設(shè)線性方程組 試就p t討論方程組的解的情況 Solution 討論 無(wú)解 有解 唯一解 無(wú)窮多解 2020 3 14 36 第2章線性方程組 3 2齊次線性方程組解的研究 對(duì)齊次線性方程組 一定有解x 0 0 0 關(guān)心的是什么條件有非零解 Theorem2 5 n元齊次線性方程組 2 1 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R A n proof 即只有零解的充分必要條件是R A A的列數(shù) Corollary具有n個(gè)未知量及n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 Goon 2020 3 14 37 3解線性方程組 Theorem2 5的證明 Proof 必