初三單元整體教學設計 圓.doc

第二十四章 圓教學內(nèi)容1本單元數(shù)學的主要內(nèi)容（1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角（2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，（3）圓和圓的位置關(guān)系（4）正多邊形和圓（5）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積2本單元在教材中的地位與作用學生在學習本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗本章是在學習了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎上，進一步來探索一種特殊的曲線圓的有關(guān)性質(zhì)通過本章的學習，對學生今后繼續(xù)學習數(shù)學，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學思想、歸納的數(shù)學思想起著良好的鋪墊作用本章的學習是高中的數(shù)學學習，尤其是圓錐曲線的學習的基礎性工程教學目標1知識與技能（1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理（2）探索并理解點和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，探索切線與過切點的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線（3）進一步認識和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計算（4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應用；理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練掌握圓錐的側(cè)面積和全面積的計算2過程與方法（1）積極引導學生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公式（2）在教學過程中，鼓勵學生動手、動口、動腦，并進行同伴之間的交流（3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中，讓學生形成分類討論的數(shù)學思想和歸納的數(shù)學思想（4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學生明確圖形在運動變化中的特點和規(guī)律，進一步發(fā)展學生的推理能力（5）探索弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計算公式并理解公式的意義、理解算法的意義3情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學生的數(shù)學思考能力；通過積極引導，幫助學生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗；利用現(xiàn)實生活和數(shù)學中的素材，設計具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學生求知、探索的欲望教學重點1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其運用2在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等及其運用3在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半及其運用4半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑及其運用5不在同一直線上的三個點確定一個圓6直線L和O相交dr及其運用7圓的切線垂直于過切點的半徑及其運用8經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問題9從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運用10兩圓的位置關(guān)系：d與r1和r2之間的關(guān)系：外離dr1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1dr1+r2；內(nèi)切d=r1-r2；內(nèi)含dr2-r111正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角之間的等量關(guān)系并應用這個等量關(guān)系解決具體題目12n的圓心角所對的弧長為L= nR /180，n的圓心角的扇形面積是S扇形=nr2/360及其運用這兩個公式進行計算13圓錐的側(cè)面積和全面積的計算教學難點1垂徑定理的探索與推導及利用它解決一些實際問題2弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導，并運用它解決一些實際問題3有關(guān)圓周角的定理的探索及推導及其它的運用4點與圓的位置關(guān)系的應用5三點確定一個圓的探索及應用6直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應用7切線的判定定理與性質(zhì)定理的運用8切線長定理的探索與運用9圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運用10正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角的關(guān)系的應用11n的圓心角所對的弧長L= nR /180及S扇形=nr2/360的公式的應用12圓錐側(cè)面展開圖的理解教學關(guān)鍵1積極引導學生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學活動探索定理、性質(zhì)、“三個”位置關(guān)系并推理證明等活動2關(guān)注學生思考方式的多樣化，注重學生計算能力的培養(yǎng)與提高3在觀察、操作和推導活動中，使學生有意識地反思其中的數(shù)學思想方法，發(fā)展學生有條理的思考能力及語言表達能力單元課時劃分本單元教學時間約需13課時，具體分配如下：241圓3課時242與圓有關(guān)的位置關(guān)系4課時243正多邊形和圓1課時244弧長和扇形面積2課時教學活動、習題課、小結(jié)3課時241 圓第一課時 教學內(nèi)容 1圓的有關(guān)概念 2垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應用 教學目標 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸通過復合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解 重難點、關(guān)鍵 1重點：垂徑定理及其運用 2難點與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學口答下面兩個問題（提問一、兩個同學） 1舉出生活中的圓三、四個 2你能講出形成圓的方法有多少種？ 老師點評（口答）：（1）如車輪、杯口、時針等（2）圓規(guī)：固定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓 二、探索新知 從以上圓的形成過程，我們可以得出： 在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑 以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O” 學生四人一組討論下面的兩個問題： 問題1：圖上各點到定點（圓心O）的距離有什么規(guī)律？ 問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？ 老師提問幾名學生并點評總結(jié) （1）圖上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）； （2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形 同時，我們又把 連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC，AB； 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB； 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧（如圖所示）或叫做劣弧 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 （學生活動）請同學們回答下面兩個問題 1圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？ 2你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流 （老師點評）1圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數(shù)多條直徑 3我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的 因此，我們可以得到：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線 （學生活動）請同學按下面要求完成下題：如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M （1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由 （老師點評）（1）是軸對稱圖形，其對稱軸是CD （2）AM=BM，即直徑CD平分弦AB，并且平分及 這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑CD、弦AB且CDAB垂足為M 求證：AM=BM，. 分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個三角形全等因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可證明：如圖，連結(jié)OA、OB，則OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 點A和點B關(guān)于CD對稱 O關(guān)于直徑CD對稱 當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合 ， 進一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 （本題的證明作為課后練習）例1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中，點例2 O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點，例3 且OECD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑分析：例1是垂徑定理的應用，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握 解：如圖，連接OC 設彎路的半徑為R，則OF=（R-90）m OECD CF=CD=600=300（m） 根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 這段彎路的半徑為545m 三、鞏固練習教材 練習四、應用拓展例2有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由 分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數(shù)解求R 解：不需要采取緊急措施 設OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 連接OM，設DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合設） DE=4 不需采取緊急措施 五、歸納小結(jié)（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1圓的有關(guān)概念； 2圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸 3垂徑定理及其推論以及它們的應用 六、布置作業(yè) 1教材 復習鞏固1、2、324.1 圓(第2課時) 教學內(nèi)容 1圓心角的概念 2有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 3定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等 教學目標 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，及其它們在解題中的應用 通過復習旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，最后應用它解決一些具體問題 重難點、關(guān)鍵 1重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對弦也相等及其兩個推論和它們的應用 2難點與關(guān)鍵：探索定理和推導及其應用 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下題已知OAB，如圖所示，作出繞O點旋轉(zhuǎn)30、45、60的圖形 老師點評：繞O點旋轉(zhuǎn)，O點就是固定點，旋轉(zhuǎn)30，就是旋轉(zhuǎn)角BOB=30 二、探索新知如圖所示，AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角 （學生活動）請同學們按下列要求作圖并回答問題：如圖所示的O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ =，AB=AB 理由：半徑OA與OA重合，且AOB=AOB 半徑OB與OB重合 點A與點A重合，點B與點B重合 與重合，弦AB與弦AB重合 =，AB=AB 因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？請同學們現(xiàn)在動手作一作（學生活動）老師點評：如圖1，在O和O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB得到如圖2，滾動一個圓，使O與O重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度，使得OA與OA重合 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)：=，AB=A/B/ 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數(shù)學思想上去呢化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等 （學生活動）請同學們現(xiàn)在給予說明一下 請三位同學到黑板板書，老師點評 例1如圖，在O中，AB、CD是兩條弦，OEAB，OFCD，垂足分別為EF （1）如果AOB=COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？AOB與COD呢？ 分析：（1）要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半徑，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可運用上面的定理得到= 解：（1）如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD =，AOB=COD 三、鞏固練習教材 練習1 四、應用拓展 例2如圖3和圖4，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，APM=CPM （1）由以上條件，你認為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由（2）若交點P在O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由 (3) (4) 分析：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的 解：（1）AB=CD 理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 連結(jié)OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足為E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 連接OA、OB、OC、OD 易證RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、歸納總結(jié)（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1圓心角概念 2在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都部分相等，及其它們的應用 六、布置作業(yè)1教材P94-95 復習鞏固4、5、24.1 圓(第3課時) 教學內(nèi)容 1圓周角的概念 2圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半 推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用 教學目標 1了解圓周角的概念 2理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半 3理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑 4熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用 設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學分類思想給予邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決一些實際問題 重難點、關(guān)鍵 1重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題 2難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理 3關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們口答下面兩個問題 1什么叫圓心角？ 2圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角 （2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等 剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題 二、探索新知問題：如圖所示的O，我們在射門游戲中，設E、F是球門，設球員們只能在所在的O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像EAF、EBF、ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題 1一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學生分組討論）提問二、三位同學代表發(fā)言 老師點評： 初中數(shù)學資源網(wǎng) 1一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個 2通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的 3通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半” （1）設圓周角ABC的一邊BC是O的直徑，如圖所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC（2）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過程 老師點評：連結(jié)BO交O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC（3）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請同學們獨立完成證明 老師點評：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC 現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角ABC，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的 從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半 進一步，我們還可以得到下面的推導： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑 下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目 例1如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是BAC的平分線即可 解：BD=CD 理由是：如圖24-30，連接AD AB是O的直徑 ADB=90即ADBC 又AC=AB BD=CD 三、鞏固練習 1教材P92 思考題 2教材P93 練習 四、應用拓展例2如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A、B、C的對邊分別設為a，b，c，O半徑為R，求證：=2R 分析：要證明=2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進行 證明：連接CO并延長交O于D，連接DB CD是直徑 DBC=90 又A=D 在RtDBC中，sinD=，即2R= 同理可證：=2R，=2R =2R 五、歸納小結(jié)（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1圓周角的概念； 2圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半； 3半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑 4應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題 六、布置作業(yè) 1教材P95 綜合運用9、10、24.2.1點和圓的位置關(guān)系教學目標(一)教學知識點了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念(二)能力訓練要求1經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，培養(yǎng)學生的探索能力2通過探索不在同一條直線上的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解決數(shù)學問題的策略(三)情感與價值觀要求1形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神2學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果教學重點1經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能掌握這個結(jié)論2掌握過不在同一條直線上的三個點作圓的方法3了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念教學難點經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能過不在同一條直線上的三個點作圓教學方法教師指導學生自主探索交流法教具準備投影片三張教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課師我們知道經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩點只能作一條直線那么，經(jīng)過一點能作幾個圓？經(jīng)過兩點、三點呢？本節(jié)課我們將進行有關(guān)探索新課講解1回憶及思考投影片(34A)1線段垂直平分線的性質(zhì)及作法2作圓的關(guān)鍵是什么？生1線段垂直平分線的性質(zhì)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等作法：如下圖，分別以A、B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，在AB的兩側(cè)找出兩交點C、D，作直線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線，直線CD上的任一點到A與B的距離相等師我們知道圓的定義是：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓定點即為圓心，定長即為半徑根據(jù)定義大家覺得作圓的關(guān)鍵是什么？生由定義可知，作圓的問題實質(zhì)上就是圓心和半徑的問題因此作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑的大小確定了圓心和半徑，圓就隨之確定2做一做(投影片34B)(1)作圓，使它經(jīng)過已知點A，你能作出幾個這樣的圓？(2)作圓，使它經(jīng)過已知點A、B你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？(3)作圓，使它經(jīng)過已知點A、B、C(A、B、C三點不在同一條直線上)你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？師根據(jù)剛才我們的分析已知，作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑，下面請大家互相交換意見并作出解答生(1)因為作圓實質(zhì)上是確定圓心和半徑，要經(jīng)過已知點A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來所以以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個圓由于圓心是任意的因此這樣的圓有無數(shù)個如圖(1)(2)已知點A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑因此圓心到A、B的距離相等根據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應在線段AB的垂直平分線上在AB的垂直平分線上任意取一點，都能滿足到A、B兩點的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點都可以作為圓心，這點到A的距離即為半徑圓就確定下來了由于線段AB的垂直平分線上有無數(shù)點，因此有無數(shù)個圓心，作出的圓有無數(shù)個如圖(2)(3)要作一個圓經(jīng)過A、B、C三點，就是要確定一個點作為圓心，使它到三點的距離相等因為到A、B兩點距離相等的點的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點距離相等的點的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點滿足到A、B、C三點的距離相等，就是所作圓的圓心因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條件的圓師大家的分析很有道理，究竟應該怎樣找圓心呢？3過不在同一條直線上的三點作圓投影片(34C)作法圖示1連結(jié)AB、BC2分別作AB、BC的垂直平分線DE和FG，DE和FG相交于點O3以O為圓心，OA為半徑作圓O就是所要求作的圓他作的圓符合要求嗎？與同伴交流生符合要求因為連結(jié)AB，作AB的垂直平分線ED，則ED上任意一點到A、B的距離相等；連結(jié)BC，作BC的垂直平分線FG，則FG上的任一點到B、C的距離相等ED與FG的滿足條件師由上可知，過已知一點可作無數(shù)個圓過已知兩點也可作無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點可以作一個圓，并且只能作一個圓不在同一直線上的三個點確定一個圓4有關(guān)定義由上可知，經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓(circumcircle of triangle)，這個三角形叫這個圓的內(nèi)接三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心(circumcenter)課堂練習已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點？解：如下圖O為外接圓的圓心，即外心銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部課時小結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容如下：1經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程方法3了解三角形的外接圓，三角形的外心等概念課后作業(yè)習題36活動與探究如下圖，CD所在的直線垂直平分線段AB怎樣使用這樣的工具找到圓形工件的圓心？解：因為A、B兩點在圓上，所以圓心必與A、B兩點的距離相等，又因為和一條線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，所以圓心在CD所在的直線上因此使用這樣的工具可以作出圓形工件的任意兩條直徑它們的交點就是圓心24.2.2直線和圓的位置關(guān)系教學目標(一)教學知識點1理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系2了解切線的概念，探索切線與過切點的直徑之間的關(guān)系(二)能力訓練要求1經(jīng)歷探索直線與圓位置關(guān)系的過程，培養(yǎng)學生的探索能力2通過觀察得出“圓心到直線的距離d和半徑r的數(shù)量關(guān)系”與“直線和圓的位置關(guān)系”的對應與等價，從而實現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(三)情感與價值觀要求通過探索直線與圓的位置關(guān)系的過程，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心教學重點經(jīng)歷探索直線與圓位置關(guān)系的過程理解直線與圓的三種位置關(guān)系了解切線的概念以及切線的性質(zhì)教學難點經(jīng)歷探索直線與圓的位置關(guān)系的過程，歸納總結(jié)出直線與圓的三種位置關(guān)系探索圓的切線的性質(zhì)教學方法教師指導學生探索法教具準備投影片三張教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課師我們在前面學過點和圓的位置關(guān)系，請大家回憶它們的位置關(guān)系有哪些？生圓是平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形即圓上的點到圓心的距離等于半徑；圓的內(nèi)部到圓心的距離小于半徑；圓的外部到圓心的距離大于半徑因此點和圓的位置關(guān)系有三種，即點在圓上、點在圓內(nèi)和點在圓外也可以把點與圓心的距離和半徑作比較，若距離大于半徑在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑在圓內(nèi)師本節(jié)課我們將類比地學習直線和圓的位置關(guān)系新課講解1復習點到直線的距離的定義生從已知點向已知直線作垂線，已知點與垂足之間的線段的長度叫做這個點到這條直線的距離如下圖，C為直線AB外一點，從C向AB引垂線，D為垂足，則線段CD即為點C到直線AB的距離2探索直線與圓的三種位置關(guān)系師直線和圓的位置關(guān)系，我們在現(xiàn)實生活中隨處可見，只要大家注意觀察，這樣的例子是很多的如大家請看課本113頁，觀察圖中的三幅照片，地平線和太陽的位置關(guān)系怎樣？作一個圓，把直尺的邊緣看成一條直線，固定圓，平移直尺，直線和圓有幾種位置關(guān)系？生把太陽看作圓，地平線看作直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系；把直尺的邊緣看成一條直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系師從上面的舉例中，大家能否得出結(jié)論，直線和圓的位置關(guān)系有幾種呢？生有三種位置關(guān)系：師直線和圓有三種位置關(guān)系，如下圖：它們分別是相交、相切、相離當直線與圓相切時(即直線和圓有唯一公共點)，這條直線叫做圓的切線(tangent line)當直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交當直線與圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離因此，從直線與圓有公共點的個數(shù)可以斷定是哪一種位置關(guān)系，你能總結(jié)嗎？生當直線與圓有唯一公共點時，這時直線與圓相切；當直線與圓有兩個公共點時，這時直線與圓相交；當直線與圓沒有公共點時，這時直線與圓相離師能否根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，點到圓心的距離d和半徑r作比較，類似地推導出如何用點到直線的距離d和半徑r之間的關(guān)系來確定三種位置關(guān)系呢？生如上圖中，圓心O到直線l的距離為d，圓的半徑為r，當直線與圓相交時，dr；當直線與圓相切時，dr；當直線與圓相離時，dr，因此可以用d與r間的大小關(guān)系斷定直線與圓的位置關(guān)系師由此可知：判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法一種是從直線與圓的公共點的個數(shù)來斷定；一種是用d與r的大小關(guān)系來斷定投影片(351A)(1)從公共點的個數(shù)來判斷：直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相切；直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離(2)從點到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷：dr時，直線與圓相交；dr時，直線與圓相切；dr時，直線與圓相離投影片(351B)例1已知RtABC的斜邊AB8cm，AC4cm(1)以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，AB與C相切？(2)以點C為圓心，分別以2cm和4cm的長為半徑作兩個圓，這兩個圓與AB分別有怎樣的位置關(guān)系？分析：根據(jù)d與r間的數(shù)量關(guān)系可知：dr時，相切；dr時，相交；dr時，相離解：(1)如上圖，過點C作AB的垂線段CDAC4cm，AB8cm；cosA，A60CDACsinA4sin602(cm)因此，當半徑長為2cm時，AB與C相切(2)由(1)可知，圓心C到AB的距離d2cm，所以，當r2cm時，dr，C與AB相離；當r4cm時，dr，C與AB相交3議一議(投影片351C)(1)你能舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實例嗎？(2)上圖(1)中的三個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，你能畫出它們的對稱軸嗎？(3)如圖(2)，直線CD與O相切于點A，直徑AB與直線CD有怎樣的位置關(guān)系？說一說你的理由對于(3)，小穎和小亮都認為直徑AB垂直于CD你同意他們的觀點嗎？師請大家發(fā)表自己的想法生(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圓，筷子看作直線，這時直線與圓相交；自行車的輪胎在地面上滾動，車輪為圓，地平線為直線，這時直線與圓相切；雜技團中騎自行車走鋼絲中的自行車車輪為圓，地平線為直線，這時直線與圓相離(2)圖(1)中的三個圖形是軸對稱圖形因為沿著d所在的直線折疊，直線兩旁的部分都能完全重合對稱軸是d所在的直線，即過圓心O且與直線l垂直的直線(3)所謂兩條直線的位置關(guān)系，即為相交或平行，相交又分垂直和斜交，直線CD與O相切于點A，直徑AB與直線CD垂直，因為圖(2)是軸對稱圖形，AB是對稱軸，所以沿AB對折圖形時，AC與AD重合，因此BACBAD90師因為直線CD與O相切于點A，直徑AB與直線CD垂直，直線CD是O的切線，因此有圓的切線垂直于過切點的直徑這是圓的切線的性質(zhì)，下面我們來證明這個結(jié)論在圖(2)中，AB與CD要么垂直，要么不垂直假設AB與CD不垂直，過點O作一條直徑垂直于CD、垂足為M，則OMOA，即圓心O到直線CD的距離小于O的半徑，因此CD與O相交，這與已知條件“直線CD與O相切”相矛盾，所以AB與CD垂直這種證明方法叫反證法，反證法的步驟為第一步假設結(jié)論不成立；第二步是由結(jié)論不成立推出和已知條件或定理相矛盾第三步是肯定假設錯誤，故結(jié)論成立課堂練習隨堂練習課時小結(jié)本節(jié)課學習了如下內(nèi)容：1直線與圓的三種位置關(guān)系(1)從公共點數(shù)來判斷(2)從d與r間的數(shù)量關(guān)系來判斷2圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑3例題講解課后作業(yè)習題37活動與探究如下圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向300千米的B處，并以每小時10千米的速度向北偏東60的BF方向移動，距臺風中心200千米的范圍是受臺風影響的區(qū)域(1)A城是否會受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風的影響，試計算A城遭受這次臺風影響的時間有多長？分析：因為臺風影響的范圍可以看成以臺風中心為圓心，半徑為200千米的圓，A城能否受到影響，即比較A到直線BF的距離d與半徑200千米的大小若d200，則無影響，若d200，則有影響解：(1)過A作ACBF于C在RtABC中，CBA30，BA300，ACABsin30300150(千米)AC200，A城受到這次臺風的影響(2)設BF上D、E兩點到A的距離為200千米，則臺風中心在線段DE上時，對A城均有影響，而在DE以外時，對A城沒有影響AC150，ADAE200，DCDE2DC100t10(小時)答：A城受影響的時間為10小時直線和圓的位置關(guān)系(2)教學目標(一)教學知識點1能判定一條直線是否為圓的切線 2會過圓上一點畫圓的切線3會作三角形的內(nèi)切圓(二)能力訓練要求1通過判定一條直線是否為圓的切線，訓練學生的推理判斷能力2會過圓上一點畫圓的切線，訓練學生的作圖能力(三)情感與價值觀要求經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點經(jīng)歷探究圓與直線的位置關(guān)系的過程，掌握圖形的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題教學重點探索圓的切線的判定方法，并能運用作三角形內(nèi)切圓的方法教學難點探索圓的切線的判定方法教學方法：師生共同探索法教具準備教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課師上節(jié)課我們學習了直線和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，懂得了直線和圓有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交判斷直線和圓屬于哪一種位置關(guān)系，可以從公共點的個數(shù)和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進行判斷，還掌握了圓的切線的性質(zhì)、圓的切線垂直于過切點的直徑由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢？本節(jié)課我們就繼續(xù)探索切線的判定條件新課講解1探索切線的判定條件投影片(352A)如下圖，AB是O的直徑，直線l經(jīng)過點A，l與AB的夾角，當l繞點A旋轉(zhuǎn)時，(1)隨著的變化，點O到l的距離d如何變化？直線l與O的位置關(guān)系如何變化？(2)當?shù)扔诙嗌俣葧r，點O到l的距離d等于半徑r？此時，直線l與O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？師大家可以先畫一個圓，并畫出直徑AB，拿直尺當直線，讓直尺繞著點A移動觀察發(fā)生變化時，點O到l的距離d如何變化，然后互相交流意見生(1)如上圖，直線l1與AB的夾角為，點O到l的距離為d1，d1r，這時直線l1與O的位置關(guān)系是相交；當把直線l1沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到l位置時，由銳角變?yōu)橹苯?，點O到l的距離為d，dr，這時直線l與O的位置關(guān)系是相切；當把直線l再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到l2位置時，由直角變?yōu)殁g角，點O到l的距離為d2，d2r，這時直線l與O的位置關(guān)系是相離師回答得非常精彩通過旋轉(zhuǎn)可知，隨著由小變大，點O到l的距離d也由小變大，當90時，d達到最大此時dr；之后當繼續(xù)增大時，d逐漸變小第(2)題就解決了生(2)當90時，點O到l的距離d等于半徑此時，直線l與O的位置關(guān)系是相切，因為從上一節(jié)課可知，當圓心O到直線l的距離dr時，直線與O相切師從上面的分析中可知，當直線l與直徑之間滿足什么關(guān)系時，直線l就是O的切線？請大家互相交流生直線l垂直于直徑AB，并經(jīng)過直徑的一端A點師很好這就得出了判定圓的切線的又一種方法：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線2做一做已知O上有一點A，過A作出O的切線分析：根據(jù)剛討論過的圓的切線的第三個判定條件可知：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于直徑的直線是圓的切線，而現(xiàn)在已知圓心O和圓上一點A，那么過A點的直徑就可以作出來，再作直徑的垂線即可，請大家自己動手生如下圖(1)連接OA(2)過點A作OA的垂線l，l即為所求的切線3如何作三角形的內(nèi)切圓投影片(352B)如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下一個圓使其與各邊都相切分析：假設符號條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離相等因此，圓心在這個三角形三個角的平分線上，半徑為圓心到三邊的距離解：(1)作B、C的平分線BE和CF，交點為I(如下圖)(2)過I作IDBC，垂足為D(3)以I為圓心，以ID為半徑作II就是所求的圓師由例題可知，BE和CF只有一