上海高中數(shù)學-復數(shù)講義.doc

.復數(shù)一、知識點梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、復數(shù)的代數(shù)形式：，叫實部，叫虛部，實部和虛部都是實數(shù)。叫做復數(shù)集。NZQRC.3、復數(shù)相等：；4、復數(shù)的分類：虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是也沒有大小。5、復數(shù)的模：若向量表示復數(shù)z，則稱的模r為復數(shù)z的模， ；積或商的?？衫媚５男再|（1），（2）6、復數(shù)的幾何意義：復數(shù)復平面內的點，7、復平面：這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的坐標平面叫做復平面，其中x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)8、復數(shù)代數(shù)形式的加減運算復數(shù)z1與z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 復數(shù)z1與z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 復數(shù)的加法運算滿足交換律和結合律數(shù)加法的幾何意義：復數(shù)z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)z1-z2的差(ac)+(bd)i對應由于，兩個復數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應.9. 特別地， zBzA.，為兩點間的距離。z對應的點的軌跡是線段的垂直平分線；， z對應的點的軌跡是一個圓；， z對應的點的軌跡是一個橢圓；， z對應的點的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式：11、復數(shù)的乘除法運算：復數(shù)的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 復數(shù)的乘法運算滿足交換律、結合律和分配律。實數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運算律,在復數(shù)集C中仍然成立.即對z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.復數(shù)的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母實數(shù)化是常規(guī)方法12、共軛復數(shù)：若兩個復數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫互為共軛復數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；，兩共軛復數(shù)所對應的點或向量關于實軸對稱。，13、熟記常用算式：，14、復數(shù)的代數(shù)式運算技巧：（1） （2）“1”的立方根的性質： 15、實系數(shù)一元二次方程的根問題：（1）當時，方程有兩個實根 。（2）當時，方程有兩個共軛虛根，其中 。此時有 且。注意兩種題型： 虛系數(shù)一元二次方程有實根問題：不能用判別式法，一般用兩個復數(shù)相等求解。但仍然適用韋達定理。已知是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當時，(2)當時， 已知是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當時，即，則 即，則 （2）當時，二、典例分析：例1（1）復數(shù)等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 復數(shù)=，選C（2）若復數(shù)同時滿足2，（為虛數(shù)單位），則 解：已知；（3）設a、b、c、dR，則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1）復數(shù)=為實數(shù)，選D；（4）已知（ ）(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析：，由、是實數(shù)，得，故選擇C。（5）設為實數(shù)，且，則 。解析：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。點評：本題考查復數(shù)的運算及性質，基礎題。例2：（1）計算： 答案：（2）設復數(shù)z滿足關系，求z；解：設z=a+bi（a,b為實數(shù)），由已知可得由復數(shù)相等可得：，解得，所以設z=a+bi-x+yi（a,b為實數(shù)）復數(shù)問題實數(shù)化。（3）若，解方程解：設x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復數(shù)相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例3：(1)復數(shù)z滿足，則z對應的點在復平面內表示的圖形為（A）A直線 B圓 C橢圓 D拋物線解：令z=x+yi（x，yR），則x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故選A。（2）設復數(shù)z滿足：，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為，最小值為；（3）已知zC，|z2|=1且復數(shù)z2對應的點落在直線y=x上，求z。解：設z2=a+ai，|z2|=1，或?！舅季S點撥】從整體出發(fā)利用條件，可簡化運算，本題也可設z=a+bi再利用條件，但運算復雜。(4)設，則復數(shù)，在復平面內對應的圖形面積為_。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面積S=?！舅季S點撥】復數(shù)問題實數(shù)化是處理復數(shù)問題的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b為實數(shù)，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。解：（1）=(1+i)2+3(1i)4=1i，。（2）由條件，?！舅季S點撥】利用復數(shù)的充要條件解題。例5：設且是純虛數(shù)，求的最大值。 1PO1/2xy解：令z=x+yi（x，yR），則，是純虛數(shù)，即，由數(shù)形結合可知本題是求圓上的點到A(0,1)的最大距離。max=|PA|=。練習：12.若，其中a、bR，i是虛數(shù)單位，則=（ D ）A0B2 CD53.設復數(shù)i，則1（ ） C（A）（B）2（C） （D）4.復數(shù)的共軛復數(shù)是（B ） ABCD5.若復數(shù)滿足方程，則 （ ） D A. B. C. D. 6. 設、，若為實數(shù)，則 ( C )(A) (B) (C) (D) 7.如果復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)（ ） BA B C D8.（ ） A A B CD9.滿足條件的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是（ ）C A. 一條直線 B. 兩條直線 C. 圓 D. 橢圓10.若 , ，且為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 11.已知 C(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、復數(shù)的虛部為（A）3 （B）3 （C）2 （D）2 解析:復數(shù)=,所以它的虛部為2，選D.13、在復平面內，復數(shù)對應的點位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故選D；點評：復數(shù)的概念和性質是高考對復數(shù)部分的一個考點，屬于比較基本的題目，主要考察復數(shù)的的分類和幾何性質。14、求滿足條件:(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z 解原方程化簡為, 設z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-